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1、专题提升(八)二次函数在实际生活中的应用【经典母题】某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少 40瓶；当售价为每瓶 12元时，日均销量为 400瓶问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润每瓶售价每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？解：设售价为每瓶 x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为40040(x12)0.51 36080 x，y(x9)(1 36080 x)80 x22 080 x12 240(10 x14)b2a2 0802（80）13，101314，当 x1
2、3 时，y 取最大值，y最大801322 0801312 2401 280(元)答：售价定为每瓶13 元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论【中考变形】12017 锦州某商店购进一批进价为 20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出 400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少销售量 y(件)与销售单价
3、 x(元)的关系如图Z81所示(1)图中点P所表示的实际意义是 _当售价定为 35元/件时，销售量为300件_；销售单价每提高 1元时，销售量相应减少 _20_件；(2)请直接写出 y与x之间的函数表达式：_y20 x1_000_；自变量 x的取值范围为 _30 x50_；(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)图中点 P所表示的实际意义是：当售价定为 35 元/件时，销售量为 300件；第一个月的该商品的售价为20(150%)30(元)，销售单价每提高 1 元时，销售量相应减少数量为(400300)(3530)20(件)(2)设 y 与 x之间的函数表
4、达式为ykxb，将点(30，400)，(35，300)代入，得40030kb，30035kb，解得k20，b1 000，y 与 x 之间的函数表达式为y20 x1 000.当 y0 时，x50，自变量 x的取值范围为 30 x50.(3)设第二个月的利润为W元，由已知得 W(x20)y(x20)(20 x1 000)20 x21 400 x20 000 20(x35)24 500，200，当 x35 时，W取最大值 4 500.答：第二个月的销售单价定为35 元时，可获得最大利润，最大利润是4 500元22016 宁波一模 大学生自主创业，集资 5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a元
5、，市场调查发现日销售量y(件)与销售价 x(元/件)之间存在一次函数关系，如下表所示：销售价 x(元/件)110115120125 130销售量 y(件)50454035 30若该店某天的销售价定为 110元/件，雇有 3名员工，则当天正好收支平衡(即支出商品成本员工工资应支付的其他费用)已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)(1)求日销售量 y(件)与销售价 x(元/件)之间的函数关系式；图 Z81(2)该店现有 2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润销售收入商品成本员工工资应支付的其他费用)；(3)在(2)的条件
6、下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？解：(1)由表可知，y 是关于 x 的一次函数，设 ykxb，将 x110，y50；x115，y45 分别代入，得110kb50，115kb45，解得k1，b160，yx160(0 x160)；(2)由已知可得 5011050a3100200，解得 a100.设每天的毛利润为W元，则 W(x100)(x160)2100200 x2260 x16 400(x130)2500，当 x130时，W取最大值 500.答：每件服装的销售价定为130 元时，该服装店每天的毛利润最
7、大，最大毛利润为 500 元；(3)设需 t 天才能还清集资款，则 500t50 0000.000 250 000t，解得 t102249.t 为整数，t的最小值为 103天答：该店最少需要103天才能还清集资款32017 青岛青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨13.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：淡季旺季未入住房间数100 日总收入(元)24 00040 000(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，
8、每天未入住房间数增加 1间不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？(注：上涨价格需为 25的倍数)解：(1)设淡季每间的价格为x元，依题意得40 000 x 11324 000 x10，解得 x600，酒店豪华间有40 000 x 11340 00060011350(间)，旺季每间价格为x13x60013600800(元)答：该酒店豪华间有50 间，旺季每间价格为800元；(2)设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，y(800 x)50 x25125(x225)242 025，当 x225时，y 取最大值 42 025.答：该酒店将
9、豪华间的价格上涨225 元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是 42 025元4某公司经营杨梅业务，以3万元/t的价格向农户收购杨梅后，分拣成A，B两类，A类杨梅包装后直接销售，B类杨梅深加工再销售 A类杨梅的包装成本为1万元/t，根据市场调查，它的平均销售价格y(万元/t)与销售数量 x(x2)(t)之间的函数关系式如图 Z82，B类杨梅深加工总费用 s(单位：万元)与加工数量t(单位：t)之间的函数关系是 s123t，平均销售价格为 9万元/t.图Z82(1)直接写出 A类杨梅平均销售价格 y与销售量 x之间的函数关系式；(2)第一次该公司收购了 20 t 杨梅，其中 A类杨梅 xt，
10、经营这批杨梅所获得的毛利润为W万元(毛利润销售总收入经营总成本)求W关于x的函数关系式；若该公司获得了 30万元毛利润，问：用于直接销售的A类杨梅有多少吨？(3)第二次该公司准备投人 132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润解：(1)yx14（2x8），6（x8）；(2)销售 A 类杨梅 x t，则销售 B类杨梅(20 x)t.当 2x8 时，Wx(x14)9(20 x)320 x123(20 x)x27x48，当 x8 时，W6x9(20 x)320 x123(20 x)x48，函数表达式为Wx27x48（2x8），x48（x8）；当 2x8 时，x27x4
11、830，解得 x19，x22，均不合题意，当 x8 时，x4830，解得 x18.答：当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有 18 t；(3)设该公司用 132 万元共购买 m t 杨梅，其中 A 类杨梅为 x t，B 类杨梅为(mx)t，购买费用为 3m万元由题意，得 3mx123(mx)132，化简，得 3mx60.当 2x8 时，Wx(x14)9(mx)132，把 3mx60 代入，得W(x4)264，当 x4 时，有最大毛利润64 万元此时，m643，mx523；当 x8 时，W6x9(mx)132，由 3mx60，得 W48，当 x8 时，毛利润总为 48 万元答：综上所述，购
12、买杨梅共643t，且其中直销 A 类杨梅 4 t，B类杨梅523t，公司能获得最大毛利润64 万元【中考预测】某衬衣店将进价为 30元的一种衬衣以 40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少 10件(1)写出月销售利润 y(元)与售价 x(元/件)之间的函数关系式；(2)当销售价定为 45元时，计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10 000元，销售价应定为多少？(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润解：(1)由题意可得月销售利润y与售价之间的函数关系式为y(x30)60010(x40)10 x21 300 x30 000；(2)当 x45 时，60010(x40)550(件)，y104521 3004530 0008 250(元)；(3)令 y10 000，代入(1)中函数关系式，得10 00010 x21 300 x30 000，解得 x150，x280.当 x80时，60010(8040)200300(不合题意，舍去)，故销售价应定为50 元；(4)y10 x21 300 x30 00010(x65)212 250，x65时，y取最大值 12 250.答：当销售价定为65元时会获得最大利润，最大利润为12 250元