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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2015-2016 学年陕西省渭南市蒲城县尧山补习学校高三（上）第四次质检数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知 an是等差数列，a1+a7=2，a3=2，则 an的公差 d=（）A 1 B 2 C 3 D 4 2已知向量=（1，n），=（1，n），若+与垂直，则|=（）A1 B C D4 3 设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1=11，a4+a6=6，则当 Sn取最小值时，n 等于（）A6 B 7 C 8 D9 4设 R，则“=0”
2、是“f（x）=cos（x+）（xR）为偶函数”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5已知 an是首项为1 的等比数列，Sn是an的前 n 项和，且 9S3=S6，则数列的前 5项和为（）A或 5 B或 5 CD 6在 ABC中，则 sin BAC=（）A B CD7在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别是a，b，c已知 8b=5c，C=2B，则 cosC=（）AB CD 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学8在平行四边形ABCD中，AD=1，BAD=60，E为 CD的中点若?=1，则 AB的长为（）AB C D1 9已知函数
3、y=f（x）的图象如图，则f（xA）与 f（xB）的大小关系是（）Af（xA）f（xB）Bf（xA）f（xB）Cf（xA）=f（xB）D不能确定10已知，且与共线，则 sin2x 2cos2x=（）AB CD11下列区间中，函数f（x）=|ln（2x）|在其上为增函数的是（）A（，1 B 1，C0，）D1，2）12函数 f（x）=x3ax2bx+a2在 x=1 处有极值10，则点（a，b）为（）A（3，3）B（4，11）C（3，3）或（4，11）D不存在二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13已知数列 an的前项和为，则数列的通项公式是an=小学+初中+高中+努力=大学小
4、学+初中+高中+努力=大学14已知 sin=+cos，且 （0，），则的值为15（文科）设向量=（cos23，cos67），=（cos68，cos22），=+t（tR），则|的最小值是16曲线在点 M（，0）处的切线的斜率为三、解答题（共6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17已知和的夹角为，|=5，|=4，求：（1）|+|；（2）求向量+在方向上的投影18已知函数f（x）=（1）求 f（x）的定义域及最小正周期；（2）求 f（x）的单调递增区间19在ABC中，三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知 sinC=2sin（B+C）cosB（1）判断 ABC
5、的形状；（2）设向量，若，求 A20已知 an是等差数列，其前n 项和为 Sn，bn 是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4b4=10（1）求数列 an 与bn 的通项公式；（2）记 Tn=anb1+an 1b2+a1bn，nN*，证明：Tn+12=2an+10bn（n N*）21已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26an的前 n 项和为 Sn小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（）求an及 Sn；（）令（nN*），求数列 bn 的前 n 项和 Tn22设 f（x）=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f（x），若函数y=f（x）的图象关于直线x=对
6、称，且f（1）=0（）求实数a，b 的值（）求函数f（x）的极值小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2015-2016 学年陕西省渭南市蒲城县尧山补习学校高三（上）第四次质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知 an是等差数列，a1+a7=2，a3=2，则 an的公差 d=（）A 1 B 2 C 3 D 4【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质结合已知求得a4，再由等差数列的通项公式求得公差【解答】解：在等差数列an 中，由
7、 a1+a7=2，得 2a4=2，即 a4=1，又 a3=2，故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题2已知向量=（1，n），=（1，n），若+与垂直，则|=（）A1 B C D4【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】首先求出+的坐标，然后按照向量的数量积的坐标运算表示+与垂直，得到关于 n 的方程解之，然后求|的模【解答】解：向量=（1，n），=（1，n），+与垂直+=（1，3n），（+）?=3n21=0，解得 n=，|=；故选：C【点评】本题考查了向量的加减运算以及数量积的坐标运算小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大
8、学3 设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1=11，a4+a6=6，则当 Sn取最小值时，n 等于（）A6 B 7 C 8 D9【考点】等差数列的前n 项和【专题】等差数列与等比数列【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n 的二次函数解得【解答】解：设该数列的公差为d，则 a4+a6=2a1+8d=2（11）+8d=6，解得 d=2，所以，所以当 n=6 时，Sn取最小值故选 A【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力4设 R，则“=0”是“f（x）=cos（x+）（xR）为偶函数”的（）A充分而不必要条件 B必
9、要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数奇偶性的判断【专题】简易逻辑【分析】直接把=0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可【解答】解：因为=0 时，f（x）=cos（x+）=cosx 是偶函数，成立；但 f（x）=cos（x+）（xR）为偶函数时，=k，kZ，推不出=0故“=0”是“f（x）=cos（x+）（x R）为偶函数”的充分而不必要条件故选：A【点评】判断充要条件的方法是：若 p?q为真命题且q?p 为假命题，则命题p是命题 q 的充分不必要条件；若 p?q为假命题且q?p 为真命题，则命题p是命题 q 的必要不充分条
10、件；若 p?q为真命题且q?p 为真命题，则命题p是命题 q 的充要条件；若 p?q为假命题且q?p 为假命题，则命题p是命题 q 的即不充分也不必要条件小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学判断命题p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系5已知 an是首项为1 的等比数列，Sn是an的前 n 项和，且 9S3=S6，则数列的前 5项和为（）A或 5 B或 5 CD【考点】等比数列的前n 项和；等比数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列求和公式代入9s3=s6求得 q，进而根据等比数列求和公式求得
11、数列的前 5 项和【解答】解：显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，前 5 项和故选：C【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题 在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用6在 ABC中，则 sin BAC=（）A B CD【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】由 AB，BC及 cosABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin BAC的值【解答】解：ABC=，AB=，BC=3，由余弦定理得：AC2=AB2+BC22AB?BC?cos ABC=2+9 6=5，小学+初中+高中+努力=大学小学+
12、初中+高中+努力=大学AC=，则由正弦定理=得：sin BAC=故选 C【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键7在ABC中，内角 A，B，C所对的边分别是a，b，c已知 8b=5c，C=2B，则 cosC=（）AB CD【考点】正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用【专题】解三角形【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC 的值即可【解答】解：因为在 ABC 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知 8b=5c，C=2B，所以 8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以 cosB=
13、，B为三角形内角，所以B（0，）C所以 sinB=所以 sinC=sin2B=2=，cosC=故选：A【点评】本题考查正弦定理的应用，三角函数中的恒等变换应用，考查计算能力，注意角的范围的估计8在平行四边形ABCD中，AD=1，BAD=60，E为 CD的中点若?=1，则 AB的长为（）AB C D1【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【专题】平面向量及应用小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【分析】以为基底，把用表示，代入?=1，结合数量积运算可求得答案【解答】解：如图：四边形ABCD 为平行四边形，=，AB的长为故选：C【点评】求向量的模一般有两种情况：若已知向量的
14、坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解，属中档题9已知函数y=f（x）的图象如图，则f（xA）与 f（xB）的大小关系是（）小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学Af（xA）f（xB）Bf（xA）f（xB）Cf（xA）=f（xB）D不能确定【考点】导数的几何意义【专题】导数的概念及应用【分析】根据导数的几何意义，判断在A，B两处的切线斜率即可得到结论【解答】解：由图象可知函数在A处的切线斜率小于B处的切线斜率，根据导数的几何意义可知f（
15、xA）f（xB），故选：B【点评】本题主要考查导数的几何意义，根据导数和切线斜率之间的关系是解决本题的关键，比较基础10已知，且与共线，则 sin2x 2cos2x=（）AB CD【考点】三角函数的化简求值；平行向量与共线向量【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用【分析】由条件利用两个向量共线的性质求得tanx 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值【解答】解：已知，且与共线，3cosx 4sinx=0，即 tanx=，sin2x 2cos2x=，故选：B小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，同角三角函数的
16、基本关系，属于基础题11下列区间中，函数f（x）=|ln（2x）|在其上为增函数的是（）A（，1 B 1，C0，）D1，2）【考点】复合函数的单调性【专题】函数的性质及应用【分析】先求函数f（x）的定义域，然后按照x 1，1x 2 两种情况讨论去掉绝对值符号，再根据复合函数单调性的判断方法可求得函数的单调区间【解答】解：由 2x0 得，x2，f（x）的定义域为（，2），当 x1 时，ln（2x）0，f（x）=|ln（2x）|=ln（2x），y=lnt递增，t=2 x 递减，f（x）单调递减；当 1x 2 时，ln（2x）0，f（x）=|ln（2x）|=ln（2 x），y=t 递减，t=ln（2
17、x）递减，f（x）递增，即f（x）在 1，2）上单调递增，故选 D【点评】本题考查复合函数单调性的判断，正确理解其判断规则“同增异减”是关键，注意单调区间须在定义域内求解12函数 f（x）=x3ax2bx+a2在 x=1 处有极值10，则点（a，b）为（）A（3，3）B（4，11）C（3，3）或（4，11）D不存在【考点】函数在某点取得极值的条件【专题】计算题【分析】首先对 f（x）求导，然后由题设在x=1 时有极值10 可得解之即可求出 a 和 b 的值【解答】解：对函数f（x）求导得f（x）=3x22axb，又在 x=1 时 f（x）有极值10，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中
18、+努力=大学解得或，验证知，当a=3，b=3 时，在 x=1 无极值，故选 B【点评】掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13已知数列 an的前项和为，则数列的通项公式是an=【考点】数列的求和【专题】转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用递推关系即可得出【解答】解：，当 n=1 时，a1=1；当 n2 时，an=SnSn1=n23n+1（n1）23（n1）+1=2n 4则数列的通项公式是an=故答案为：【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14已知 sin=+c
19、os，且 （0，），则的值为【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系【专题】三角函数的求值【分析】由已知的等式变形后，记作，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作，再根据 为锐角，联立求出sin 和 cos 的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【解答】解：由 sin=+cos，得到 sin cos=，又 sin2+cos2=1，且（0，），联立解得：sin=，cos=，cos2=cos2 sin2=，sin（）=（sin cos）=，则=故答案为：【
20、点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键15（文科）设向量=（cos23，cos67），=（cos68，cos22），=+t（tR），则|的最小值是【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【专题】计算题【分析】利用向量模的平方等于向量的平方求出|2=t2+t+1，利用二次函数最值的求法求出最小值【解答】解：=+t=（cos23+tcos68，cos67+tcos22）=（cos23+tsin22，sin23+cos22），|2=（cos23+tsin22）2+（sin23+tcos22）2=t2+t+1=（t+）
21、2+，当=时，|u|有最小值为故答案为：【点评】本题考查向量模的平方等于向量的平方；考查三角函数的诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、二次函数的最值的求法16曲线在点 M（，0）处的切线的斜率为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【专题】导数的概念及应用【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在 x=处的导数，从而求出切线的斜率【解答】解：y=y|x=|x=故答案为：【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算，同时考查了计算能力，属于基础题三、解答题（共6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明
22、过程）17已知和的夹角为，|=5，|=4，求：（1）|+|；（2）求向量+在方向上的投影【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用【分析】（1）根据条件可先求出，而，进行数量积的运算便可求出；（2）根据一个向量在另一个向量方向上投影的定义便可得出所求投影为，然后进行数量积的运算便可得出答案【解答】解：（1），=；（2）向量在方向上的投影为：=小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，根据求向量长度的方法，以及一个向量在另一个向量方向上的投影的定义18已知函数f（x）=（1）求 f（x）的定义域及最小正周期；（
23、2）求 f（x）的单调递增区间【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性【专题】三角函数的图像与性质【分析】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可【解答】解：=sin2x 1 cos2x=sin（2x）1 k Z，x|x k，kZ（1）原函数的定义域为 x|x k ，kZ，最小正周期为（2）由，kZ，解得，k Z，又x|x k，kZ，原函数的单调递增区间为，kZ，kZ【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，复合
24、三角函数的单调性，注意函数的定义域在单调增区间的应用，考查计算能力19在ABC中，三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知 sinC=2sin（B+C）cosB（1）判断 ABC 的形状；（2）设向量，若，求 A【考点】余弦定理；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数【专题】计算题；解三角形小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【分析】（1）ABC中，利用A+B+C=，得 sinC=sin（A+B），sin（B+C）=sinA，结合题意可得 A=B，从而可判断 ABC 的形状；（2）由，利用向量的坐标运算可求得cosC=，从而可求得 A【解答】解：（1）在 ABC
25、中，sin（A+B）=sinC，sin（B+C）=sinA，sin（A+B）=2sinAcosB，sinAcosB cosAsinB=0，sin（AB）=0，A=B ABC为等腰三角形（2）由，得（a+c）（c a）=b（b+a）?a2+b2c2ab=0，cosC=，0 C，C=，又ABC为等腰三角形A=【点评】本题考查余弦定理，考查两角和与差的正弦函数，考查向量的平行，利用共线向量的坐标运算求得cosC=是难点，属于中档题20已知 an是等差数列，其前n 项和为 Sn，bn 是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4b4=10（1）求数列 an 与bn 的通项公式；（2）记 Tn=
26、anb1+an 1b2+a1bn，nN*，证明：Tn+12=2an+10bn（n N*）【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项（2）先写出Tn的表达式；方法一：借助于错位相减求和；方法二：用数学归纳法证明其成立【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由 a1=b1=2，得 a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学由条件 a4+b4=27，s4b4=10，得方程组，解得，故 an=3n1
27、，bn=2n，nN*（2）证明：方法一，由（1）得，Tn=2an+22an1+23an2+2na1；2Tn=22an+23an 1+2na2+2n+1a1；由得，Tn=2（3n1）+322+323+32n+2n+2=+2n+26n+2=102n6n10；而 2an+10bn12=2（3n1）+102n12=102n6n 10；故 Tn+12=2an+10bn（nN*）方法二：数学归纳法，当 n=1 时，T1+12=a1b1+12=16，2a1+10b1=16，故等式成立，假设当n=k 时等式成立，即Tk+12=2ak+10bk，则当 n=k+1 时有，Tk+1=ak+1b1+akb2+ak1b
28、3+a1bk+1=ak+1b1+q（akb1+ak1b2+a1bk）=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q（2ak+10bk12）=2ak+14（ak+13）+10bk+124=2ak+1+10bk+112即 Tk+1+12=2ak+1+10bk+1，因此 n=k+1 时等式成立对任意的nN*，Tn+12=2an+10bn成立【点评】本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法并考察计算能力21已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26an的前 n 项和为 Sn（）求an及 Sn；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（）令
29、（nN*），求数列 bn 的前 n 项和 Tn【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和；数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）根据等差数列所给的项和项间的关系，列出关于基本量的方程，解出等差数列的首项和公差，写出数列的通项公式和前n 项和公式（2）根据前面做出的数列构造新数列，把新数列用裂项进行整理变为两部分的差，合并同类项，得到最简结果，本题考查的是数列求和的典型方法裂项法，注意解题过程中项数不要出错【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，a3=7，a5+a7=26，有，解得 a1=3，d=2，an=3+2（n1）=2n+1；Sn=n2+2n；（）由（）知an=2n+1
30、，bn=，Tn=，即数列 bn 的前 n 项和 Tn=【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键是每年要考的一道高考题目22设 f（x）=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f（x），若函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，且f（1）=0（）求实数a，b 的值小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（）求函数f（x）的极值【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质【专题】计算题【分析】（）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由 f（1）=0 即可求出b（）对f（x）求导，
31、分别令f（x）大于 0 和小于 0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值【解答】解：（）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故 f（x）=6x2+2ax+b 从而 f（x）=6y=f（x）关于直线x=对称，从而由条件可知=，解得 a=3 又由于 f（x）=0，即 6+2a+b=0，解得 b=12（）由（）知f（x）=2x3+3x212x+1 f（x）=6x2+6x12=6（x1）（x+2）令 f（x）=0，得 x=1 或 x=2 当 x（，2）时，f（x）0，f（x）在（，2）上是增函数；当 x（2，1）时，f（x）0，f（x）在（2，1）上是减函数；当 x（1，+）时，f（x）0，f（x）在（1，+）上是增函数从而 f（x）在 x=2 处取到极大值f（2）=21，在 x=1 处取到极小值f（1）=6【点评】本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值，考查运算能力