【推荐下载】全国通用版2019版高考数学一轮复习第九单元不等式学案文.pdf-淘文阁

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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第九单元不等式教材复习课“不等式”相关基础知识一课过不等式、一元二次不等式过双基 1两个实数比较大小的方法(1)作差法ab0?ab，ab0?ab，ab0?a1?abaR，b，ab1?aba R，b0，ab1?ab?bb，bc?ac；(3)可加性：ab?acbc；ab，cd?acbd；(4)可乘性：ab，c0?acbc；ab0，cd0?acbd；(5)可乘方性：ab0?anbn(nN，n1)；(6)可开方性：ab0?nanb(nN，n2)3三个“二次”间的关系判别式 b24ac 000 二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax

2、2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2b2a没有实数根小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学ax2bxc0(a0)的解集x|xx2或xb0，则下列不等式中恒成立的是()A.bab 1a 1B a1ab1bCa1bb1aD.2aba2bab解析：选 C 由ab0?01ab1a，故选 C.2设M2a(a2)，N(a1)(a 3)，则()AM NB MNCMND MN解析：选A 由题意知，MN2a(a2)(a1)(a3)2a24a(a22a3)(a1)220 恒成立，所以MN.3已知一元二次不等式f(x)0 的解集为xx 1 或x12，则f(1

3、0 x)0 的解集为()Ax|x 1 或xlg 2 B x|1xlg 2 Cx|x lg 2 D x|x lg 2 解析：选 C 一元二次不等式f(x)0 的解集为xx 1 或x12，则不等式f(10 x)0可化为 10 x 1 或 10 x12，解得xlg 12，即x lg 2，所以所求不等式的解集为x|xlg 24不等式 6x22x的解集是 _解析：不等式6x22x可化为 6x2x2 0，即(3x 2)(2x1)0，解不等式得x12，所以该不等式的解集是，2312，.答案：，2312，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学清易错 1在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号

4、”，例如当c0时，有ab?ac2bc2；若无c0这个条件，ab?ac2bc2就是错误结论(当c0 时，取“”)2对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0 时的情形3当 0(a0)的解集为R还是?，要注意区别a的符号1若(m1)x2(m1)x3(m1)0 对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A(1，)B (，1)C.，1311D.，1311(1，)解析：选 C 当m 1 时，不等式为2x60，即x3，不符合题意当m 1 时，则m10，0，解得m0，故ab0，则a0，b0，故为真命题故为真命题答案：3若不等式ax2bxc0 的解集是(2,3)，则不等式bx2axc0 的解集是_小学

5、+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析：不等式ax2bxc 0 的解集是(2,3)，a0，且对应方程ax2bxc0 的实数根是2 和 3，由根与系数的关系，得ca2 3，ba 2 3，即ca 6，ba1，b0，且ab1，cb 6，不等式bx2axc0 可化为x2x60，解得 3x 2，该不等式的解集为(3,2)答案：(3,2)简单的线性规划问题过双基 1一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0 不包括边界直线AxByC0直线AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2线性规划中的基本概念名称意义约束条

6、件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学小题速通 1不等式(x2y1)(xy3)0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()解析：选 C 由(x 2y1)(xy3)0?x2y10，xy30或x2y10，xy30.结合图形可知选C.2(20

7、17全国卷)设x，y满足约束条件x3y3，xy1，y0，则zxy的最大值为()A0 B 1 C2 D 3 解析：选 D 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平移直线yx，当直线经过点A(3,0)时，zxy取得最大值，此时zmax303.3在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组y1，xy20，xy10所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为()A2 B.13C.12D 1 解析：选 D 作出可行域如图中阴影部分所示，当点P位于xy2，y1的交点(1,1)时，(kOP)max1.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学4已知z2xy，实数x，y满足yx，xy2，xm，

8、且z的最大值是最小值的4 倍，则m的值是()A.14B.15C.16D.17解析：选 A 根据题意画出如图所示的可行域如图中阴影部分所示平移直线l：2xy0，当l过点A(m，m)时z最小，过点B(1,1)时z最大，由题意知，zmax4zmin，即 343m，解得m14.清易错 1画出平面区域避免失误的重要方法就是首先把二元一次不等式化为axbyc0(a0)2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有实数x，y满足xy0，|xy|1，使zaxy取得最大值的最优解有2 个，则z1axy1的最小值为()A0 B 2 C1 D 1

9、解析：选A 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，zaxy取得最大值的最优解有2 个，a1，a 1，当x1，y0 或x0，y 1 时，zaxyxy有最小值 1，axy1的最小值是0.基本不等式过双基 1基本不等式abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)等号成立的条件：当且仅当ab.2几个重要的不等式(1)a2b2 2ab(a，bR)；(2)baab2(a，b同号)；(3)abab22(a，bR)；(4)ab22a2b22(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为ab2，几何平均数为

10、ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2p(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是q24(简记：和定积最大)小题速通 1若实数a，b满足1a2bab，则ab的最小值为()A.2 B 2 C22 D 4 解析：选 C 由1a2bab，知a0，b 0，所以ab1a2b2 2ab，即ab22，当且仅当1a2b，1a2bab，即a42，b242时取“”，所以ab的最小值为22.2已知直线2axby20(a0，b0)过点(1,2)，则1

11、a1b的最小值是()A2 B 3 C4 D 1 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析：选 C 由直线 2axby20(a0，b0)过点(1,2)，可得 2a2b2，即ab1.则1a1b1a1b(ab)2abba2 2 baab4，当且仅当ab12时取等号1a1b的最小值为4.3已知x，yR且 2x2y1，则xy的取值范围为_解析：根据题意知，2x0,2y0，所以 12x2y2 2x2y22xy，即 2xy142 2，xy 2，所以xy的取值范围为(，2 答案：(，2 清易错 1求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件2多次使用基本不等式时，

12、易忽视取等号的条件的一致性1在下列函数中，最小值等于2 的函数是()Ayx1xBycos x1cos x0 x2Cyx2 3x22Dyex4ex2 解析：选 D 当x0 时，yx1x 2，故 A错误；因为0 x2，所以 0cos x2，故 B 错误；因为x222，所以yx221x2 22，故 C错误；因为ex0，所以y ex4ex22ex4ex22，当且仅当ex4ex，即 ex2 时等号成立，故选D.2(2017天津高考)若a，bR，ab0，则a44b41ab的最小值为 _解析：因为ab0，所以a44b41ab24a4b41ab4a2b21ab4ab1ab24ab1ab 4，小学+初中+高中+

13、努力=大学小学+初中+高中+努力=大学当且仅当a2 2b2，ab12时取等号，故a4 4b41ab的最小值是4.答案：4 一、选择题1(2018洛阳统考)已知a0，1babab2B ab2abaCabaab2D abab2a解析：选 D 1b0，bb21，又aab2a.2下列不等式中正确的是()A若aR，则a2 96aB若a，bR，则abab2C若a0，b0，则 2lgab2lg a lg bD若xR，则x21x211 解析：选 C a26a9(a3)20，A错误；显然 B不正确；a0，b0，ab2ab.2lgab22lgablg(ab)lg alg b，C正确；当x0 时，x21x21 1，

14、D错误，故选C.3若角，满足2，则的取值范围是()A.32，32B.32，0C.0，32D.2，0解析：选 B 2，2，2，32 32.又，0，从而320.4 若关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a()小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学A.52B.72C.154D.152解析：选A 由条件知x1，x2为方程x22ax8a2 0，(a0)的两根，则x1x22a，x1x2 8a2，故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152，解得a52.5不等式组yx2，yx1，y0所表示的平面区域的面积为()A1

15、B.12C.13D.14解析：选D 作出不等式组对应的区域为BCD，由题意知xB1，xC2.由yx2，yx1，得yD12，所以SBCD12(21)1214.6(2018成都一诊)已知x，y(0，)，且 log2xlog2y2，则1x1y的最小值是()A4 B 3 C2 D 1 解析：选D 1x1yxyxy2xyxy2xy，当且仅当xy时取等号log2xlog2ylog2(xy)2，xy4.1x1y2xy1.故1x1y的最小值为1.7设变量x，y满足约束条件3xy60，xy20，y30，则目标函数zy2x的最小值为()A 7 B 4 C1 D 2 解析：选 A 法一：将zy2x化为y2xz，作出

16、可行域和直线y2x(如图所示)，当直线y2xz向右下方平移时，直小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学线y2xz在y轴上的截距z减小，数形结合知当直线y2xz经过点A(5，3)时，z取得最小值310 7.法二：易知平面区域的三个顶点坐标分别为B(1,3)，C(2,0)，A(5,3)，分别代入zy2x，得z的值为 1，4，7，故z的最小值为7.8(2017山东高考改编)若直线xayb1(a 0，b0)过点(1,2)，则 2ab的最小值为()A4 B 322 C8 D 42 解析：选 C 直线xayb1(a0，b0)过点(1,2)，1a2b1，a0，b0，2ab(2ab)1a2b

17、4ba4ab4 2ba4ab 8，当且仅当ba4ab，即a2，b4 时等号成立，2ab的最小值为8.二、填空题9(2018沈阳模拟)已知实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值为 _解析：因为x2y2xy1，所以x2y21xy.所以(xy)213xy13xy22，当且仅当xy时等号成立，即(xy)24，解得 2xy2.所以xy的最大值为2.答案：2 10(2017郑州二模)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组2ab5，ab2，a7，设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x_.解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作小学+初中+高中+努力=大学小学+初中

18、+高中+努力=大学直线l：ba0，平移直线l，再由a，b N，可知当a6，b7 时，招聘的教师最多，此时xab13.答案：13 11一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_ m，宽为 _ m 时菜园面积最大解析：设矩形的长为xm，宽为ym 则x2y 30，所以Sxy12x(2y)12x2y222252，当且仅当x2y，即x 15，y152时取等号答案：15 15212(2018邯郸质检)若不等式组xy30，ykx3，0 x3表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的取值范围是_解析：直线ykx3 恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域知，

19、要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线ykx3 的斜率在0 与 1 之间，即k(0,1)答案：(0,1)三、解答题13已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值解：(1)f(x)3x2a(6 a)x6，f(1)3a(6 a)6 a26a3，原不等式可化为a26a30，解得 323a323.原不等式的解集为a|3 23ab的解集为(1,3)等价于方程3x2a(6 a)x6b0 的两根为 1,3，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学故1 3aa3，136b3，解得a33，b 3.14(2

20、018济南一模)已知x0，y0，且 2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求1x1y的最小值解：(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2 10 xy.2x 5y20，210 xy20，即xy10，当且仅当2x5y时等号成立因此有2x5y20，2x5y，解得x5，y2，此时xy有最大值 10.ulg xlg ylg(xy)lg 10 1.当x5，y2 时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，1x1y1x1y2x5y2012075yx2xy1207 2 5yx2xy721020，当且仅当5yx2xy时等号成立1x1y的最小值为7 21020.高考研究课一不等式性质

21、、一元二次不等式全国卷 5 年命题分析考点考查频度考查角度不等式性质5 年 2 考比较大小一元二次不等式解法5 年 8 考与集合交汇命题考查解法不等式恒成立问题5 年 1 考利用不等式恒成立求参数不等式的性质及应用利用不等式性质比较大小或判断命题真假，一般直接利用性质推导或特殊值法验证.典例若1a1b0，给出下列不等式：1ab0；a1ab1b；ln a2ln 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学b2.其中正确的不等式是()AB CD 解析法一：用“特值法”解题因为1a1b0，故可取a 1，b 2.显然|a|b1 2 10，所以错误，综上所述，可排除A、B、D，选C.

22、法二：用“直接法”解题由1a1b0，可知ba0.中，因为ab0，所以1ab1ab，故正确；中，因为baa0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又1a1b1b0，所以a1ab1b，故正确；中，因为baa20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确答案 C 方法技巧不等式性质应用问题的3 大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件(2)与充要条件相结合问题用不等式的性质分别判断p?q和q?p是否正确，要注意特殊值法的应用(3)与命题真假判断相

23、结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法即时演练 1(2018泰安调研)设a，bR，若p：ab，q：1b1a0，则p是q的()A充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件D 既不充分也不必要条件解析：选 B 当ab时，1b1a0 不一定成立；当1b1a0时，ab0，则ab2ba2与1a1b的大小关系是_解析：ab2ba21a1babb2baa2(ab)1b21a2abab2a2b2.ab0，(ab)20，abab2a2b20.ab2ba21a1b.答案：ab2ba21a1b一元二次不等式的解法典例解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0 x2x24；(

24、3)ax2(a1)x10(a 0)解(1)原不等式可化为3x22x80，即(3x 4)(x2)0.解得 2x43，所以原不等式的解集为x2x43.(2)原不等式等价于x2x2 0，x2x24?x2x20，x2x60?xx0，xx?x2或x 1，2x3.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学借助于数轴，如图所示，故原不等式的解集为x|2x 1或2x3.(3)原不等式变为(ax1)(x 1)0，因为a0，所以a x1a(x1)0.所以当a1 时，解为1ax1；当a1 时，解集为?；当 0a1 时，解为1x1a.综上，当 0a1 时，不等式的解集为x1x1a；当a1 时，不等式的解

25、集为?；当a1 时，不等式的解集为x1ax1.方法技巧解一元二次不等式的4 个步骤即时演练 1若(x1)(x2)2，则(x1)(x3)的取值范围是()A(0,3)B 4，3)C 4,0)D (3,4 解析：选C 解不等式(x1)(x2)2，可得0 x3，(x1)(x3)x22x3，由二次函数的性质可得(x1)(x 3)的取值范围是 4,0)2(2018昆明、玉溪统考)若不等式ax2bxc0 的解集为 x|1x2ax的解集为()Ax|2x1 B x|x1 Cx|0 x3 D x|x3 解析：选 C 由题意a(x21)b(x1)c2ax，整理得ax2(b2a)x(acb)0 小学+初中+高中+

26、努力=大学小学+初中+高中+努力=大学，又不等式ax2bxc0 的解集为 x|1x2，则a0，且 1,2 分别为方程ax2bxc0 的两根，由根与系数的关系得12ba，ca，即ba 1，ca 2，将两边同除以a得x2ba2x 1caba0，将代入得x23x0，解得 0 x3.一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.,常见的命题角度有：形如fxx确定参数的范围；形如fxxa，b确

27、定参数范围；形如fx参数ma，b确定x的范围.角度一：形如f(x)0(0)(xR)确定参数的范围1(2018南昌一模)已知函数f(x)mx22xm1，是否存在实数m对所有的实数x，f(x)0，gxx24x40，解得x3.故当x(，1)(3，)时，对任意的m 1,1，函数f(x)的值恒大于零方法技巧解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解1(2014全国卷)已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB()A 2，1 B 1,2)C 1,1 D 1,2)

30、|2x1，则函数yf(x)的图象为()解析：选B 由根与系数的关系得1a 21，ca 2，得a 1，c 2，f(x)x2x2(经检验知满足题意)，f(x)x2x2，其图象开口向下，对称轴为x小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学12，结合图象知选B.6(2018合肥一模)若不等式2kx2kx380 对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0)B 3,0)C 3,0 D (3,0 解析：选 D 当k0 时，显然成立；当k0 时，即一元二次不等式2kx2kx380 对一切实数x都成立，则k0，k242k 380，解得 3k0.综上，满足不等式2kx2kx380 对一切实数

31、x都成立的k的取值范围是(3,0 7若不等式x2(a 1)xa0 的解集是 4,3 的子集，则a的取值范围是()A 4,1 B 4,3 C1,3 D 1,3 解析：选 B 原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a 4即可，即 4a1 时，不等式的解集为1，a，此时只要a3 即可，即1aab，则实数b的取值范围是 _解析：ab2aab，a0，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学当a0时，b21b，即b21，b1，解得b1；当a0时，b21b，即b21，此式无解综上可得实数b的取值范围为(，1)答案：(，1)10(2018河南六市一联)不等式x2

32、ax40 的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析：不等式x2ax40，即a216.a4 或a 4.答案：(，4)(4，)11 已知函数f(x)x2ax，x0，bx23x，x0为奇函数，则不等式f(x)0 时，x0，即f(x)bx23x，因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，即bx23xx2ax，可得a 3，b 1，所以f(x)x23x，x0，x2 3x，x0.当x0时，由x23x4，解得0 x4；当x0 时，由x23x4，解得x0，所以不等式f(x)4的解集为(，4)答案：(，4)12对一切实数x，不等式x2a|x|10 恒成立，则实数a的取值范围是 _解析：当x0 时，不等式恒成立

33、，当x0时，将问题转化为a1|x|x|，由1|x|x|2，故a2，即a 2.所以实数a的取值范围为 2，)答案：2，)三、解答题13已知aR，解关于x的方程ax2(a2)x20.解：原不等式等价于(ax2)(x1)0.(1)当a0 时，原不等式为(x1)0，解得x1.即原不等式的解集为(1，)(2)若a0，则原不等式可化为x2a(x1)0，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学对应方程的根为x 1 或x2a.当2a1，即 0a2 时，不等式的解为1x2a；当a2 时，不等式的解集为?；当2a1，即a2 时，不等式的解为2ax1.(3)若a0，则原不等式可化为x2a(x1)0，

34、所以2a 1，所以不等式的解为x1 或x2a.综上，当a0 时，不等式的解集为(1，)当 0a2 时，不等式的解集为1，2a.当a2 时，不等式的解集为?.当a2 时，不等式的解集为2a，1.当a0 时，不等式的解集为，2a(1，)14某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10 万元/辆，出厂价为12 万元/辆，年销售量为 10 000 辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0 x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x

35、的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)由题意得，y12(1 0.75x)10(1x)10 000(1 0.6x)(0 x1)，整理得y 6 000 x22 000 x20 000(0 x1)(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有y，0 x0，0 x1，解得 0 x13，所以投入成本增加的比例应在0，13范围内15已知函数f(x)2kxx26k(k0)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(1)若f(x)m的解集为 x|x 3 或x 2，求不等式5mx2kx30 的解集；(2)若存在x3，使得f(x)1

36、成立，求k的取值范围解：(1)由不等式f(x)m?2kxx26km?mx22kx6km0，不等式mx22kx6km0 的解集为 x|x 3 或x 2，3，2 是方程mx22kx6km0 的根，2km 5，6k6，解得k1，m25，故有 5mx2kx3 0?2x2x30?1x32，不等式 5mx2kx30的解集为1，32.(2)f(x)1?2kxx26k1?x22kx6k0?(2x6)kx2.存在x3，使得f(x)1 成立，即存在x3，使得kx22x6成立令g(x)x22x6，x(3，)，则kg(x)min.令 2x6t，则xt62，则t(0，)，yt622tt49t32 t49t3 6，当且仅

37、当t49t，即t6 时等号成立当t6 时，x6，g(x)ming(6)6，故k的取值范围为(6，)1已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为(，0，若关于x的不等式f(x)c1 的解集为(m4，m1)，则实数c的值为 _解析：函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为(，0，a24b0，ba24.关于x的不等式f(x)c1 的解集为(m4，m1)，方程f(x)c1 的两根分别为m4，m1，即x2axa24c1 的两根分别为m4，m1，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学x2axa24c1 的根为xa21c，两根之差为：21c(m1)(m4)，解得c214.答案：214

38、2已知实数x，y，z满足xy2z1，x2y2z25，则xyz的最小值为 _解析：由xy2z1，可得z1xy2，则 5x2y21xy222|xy|xy24.当xy0 时，不等式可化为x2y2 6xy190；当xy0 时，不等式可化为x2y210 xy190.由x2y26xy190，解得0 xy 327.由x2y210 xy190，解得5211xy0，y0，2xy6所表示的平面区域内的整点个数为()A2 B 3 C4 D 5 解析：选 C 由不等式2xy6 得y0，y0，则当x 1时，0y4，则y1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x2 时，0y0；当a0 时，ab有最小值

39、，无最大值；a2b21；当a0 且a1 时，b1a1的取值范围是，9434，.正确的个数是()A1 B 2 C3 D 4 解析：选 B 因为点M(a，b)与点N(0，1)在直线 3x4y50 的两侧，所以9(3a4b5)0，即 3a4b50，故错误；作出可行域(如图中阴影部分，不包含边界)，当a0 时，由图知，ab无最小值，也无最大值，故错误；3a4b50)的最大距离为22，则实数k_.解析：题中的不等式组表示的平面区域是以(0,1)，(0,3)，(1,2)为顶点的三角形区域(如图所示)，易得平面区域内的点(0,3)到直线ykx1(k0)的距离最大，所以|0 k31|k2122，又k0，得k小

40、学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1.答案：1 12设x，y满足约束条件3xy60，xy20，x0，y0，若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为10，则a2b2的最小值为 _解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知当直线zaxby过点A(4,6)时，取得最大值10，即 2a3b5，而a2b2表示原点(0,0)与直线 2a3b5 上的点的距离的平方，显然a2b2的最小值为原点到直线2a3b5 的距离的平方，又原点到直线 2a3b5 的距离d513，所以a2b2的最小值为2513.答案：2513三、解答题13(2017天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧

41、，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560 乙60525 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2 倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为70 x60y600，

42、5x5y30，x2y，x0，y0，即7x6y60，xy6，x2y0，x0，y0，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60 x 25y.考虑z60 x25y，将它变形为y125xz25，这是斜率为125，随z变化的一族平行直线.z25为直线在y轴上的截距，当z25取得最大值时，z的值最大又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z 60 x 25y经过可行域上的点M时，截距z25最大，即z最大解方程组7x6y60，x2y0，得点M的坐标为(6,3)所以电视台每周播出甲连续剧

43、6 次、乙连续剧3 次时才能使总收视人次最多14 投资人制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，一投资人打算投资甲、乙两项目根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为50%和 40%，可能的最大亏损率分别为30%和 20%.投资人计划投资金额不超过10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过2.4 万元设甲、乙两个项目投资额分别为x，y万元(1)写出x，y满足的约束条件；(2)求可能盈利的最大值(单位：万元)解：(1)x，y满足约束条件为xy10，0.3x 0.2y2.4，x0，y0，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)设目标函数z0.5x0

44、.4y，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线l0：0.5x 0.4y 0，当经过点M时，z0.5x 0.4y取得最大值解方程组xy10，0.3x0.2y2.4，得x4，y6.此时zmax0.5 40.4 6 4.4(万元)1已知x，y满足约束条件xy20，5x 3y120，y3，当目标函数zaxby(a0，b0)在该约束条件下取得最小值1时，(a1)2(b1)2的最小值为()A.110B.1010C.31010D.910解析：选 D 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，把zaxby(a0，b0)化为yabxzb，由图可知，当直线yabxzb过点A时，直线在y轴上的截距

45、最小，z有最小值1，联立xy2 0，5x3y120，解得A(3,1)，所以 3ab1，因为a0，b0，所以 0a13.则(a1)2(b1)2(a1)29a210a22a110a1102910.则当a110时，(a 1)2(b 1)2取得最小值，最小值为910.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2在平面直角坐标系中，点P是由不等式组x0，y0，xy40所确定的平面区域内的动点，M，N是圆x2y21 的一条直径的两端点，则PMPN的最小值为()A4 B 221 C42 D 7 解析：选 D 因为M，N是圆x2y21 的一条直径的两端点，所以可设M(a，b)，N(a，b)，则a

46、2b2 1.设P(x，y)，则PMPN(ax，by)(ax，by)x2a2y2b2x2y21，设zx2y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示则原点到直线xy40 的距离最小，此时d|0 04|222，则zd28，则PMP PN x2y21 817.高考研究课三基本不等式全国卷 5 年命题分析考点考查频度考查角度基本不等式求最值未考查基本不等式的实际应用未考查利用基本不等式求最值利用基本均值不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，高考对其考查的频率较低，但也要引起重视.,

47、常见的命题角度有：通过配凑法求最值；通过常值代换法求最值；通过消元法求最值.角度一：通过配凑法求最值1(2018泉州检测)已知 0 x1，则x(3 3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23解析：选 B 0 x0，y0，4xx 3y3yx4xx3yx3yx12 4xx 3yx 3yx141 3(当且仅当x3y时等号成立)3若ba1，且 3logab6logba11，则a32b1的最小值为 _解析：因为ba1，所以 logab1.又 3logab6logba3logab6logab11，解得logab3，即a3b，所以a32b 1b2b1b12b 11221(当且仅当b2 1

48、时等号成立)，即a32b1的最小值为22 1.答案：221 方法技巧 (1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式角度二：通过常值代换法求最值4(2017日照二模)已知第一象限的点(a，b)在直线 2x3y10 上，则代数式2a3b的最小值为()A24 B 25 C26 D 27 解析：选 B 因为第一象限的点(a，b)在直线 2

49、x3y10 上，所以2a3b10，a0，b0，即 2a3b 1，所以2a3b2a3b(2a3b)4 96ba6ab13 2 6ba6ab25，当且仅当6ba6ab，即ab15时取等号，所以2a3b的最小值为25.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学5已知正数x，y满足xy1，则4x21y1的最小值为 _解析：正数x，y满足xy1，即有(x2)(y1)4，则4x21y114xy4x21y 1145x2y1yx2145 2 x2y1yx214(5 4)94，当且仅当x2y23时，取得最小值为94.答案：946已知x0，y0，且x16yxy，则xy的最小值为 _解析：已知x0，y

50、0，且x 16yxy.即16x1y1.则xy(xy)16x1y16116yxxy17 2 16yxxy25，当且仅当x4y20 时等号成立，所以xy的最小值为25.答案：25 方法技巧将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决此类问题的常用方法角度三：通过消元法求最值7(2018山西大学附中检测)已知函数f(x)|lg x|，ab0，f(a)f(b)，则a2b2ab的最小值为 _解析：由函数f(x)|lg x|，ab0，f(a)f(b)，可知a1b0，所以 lg a lg b，b1a，aba1a0，则a2b2aba21a2a1aa1a2a1a2 2(当且仅当a1a2a1a，即a262时，等号

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