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1、第 31 课时弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积(70 分)一、选择题(每题 5分，共 30分)12017 宿迁若将半径为 12 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是(D)A2 cm B3 cm C4 cm D6 cm【解析】圆锥的侧面展开图的弧长为212212(cm)，圆锥的底面圆半径为 1226(cm)2如图 311，要拧开一个边长为a6 mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为(C)A6 2 mm B12 mm C6 3 mm D4 3 mm 图 311 图 312 32017 兰州如图 312，正方形 ABCD 内接于半径为 2 的O，则图中阴影部分的
2、面积为(D)A1 B 2 C 1 D 2【解析】由图可知，圆的面积为4，正方形的对角线长度等于圆的直径为4，所以对应的边长为 2 2，即正方形的面积为8，根据图形的对称性，阴影面积为484，化简得 2，故选 D.42017 咸宁如图 313，O 的半径为 3，四边形 ABCD 内接于 O，连结 OB，OD，若BODBCD，则BD的长为(C)图 313 AB.32C2D3【解析】四边形 ABCD 内接于 O，BCDA180，BOD2A，BODBCD，2AA180，解得A60，BOD120，BD1203 1802.52017 重庆 B 卷如图 314，在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，分别以点
3、 A，C为圆心，AD，CB 为半径画弧，交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，则图中阴影部分的面积是(C)图 314A42 B82C82 D84【解析】矩形面积为8，两个全等扇形面积和为12222，阴影部分面积为 82.62017 衢州运用图形变化的方法研究下列问题：如图315，AB 是O 的直径，CD，EF 是O 的弦，且 ABCDEF，AB10，CD6，EF8，则图中阴影部分的面积是(A)A.252B10C244D245图 315 第 6 题答图【解析】如答图，连结 OC，OD，OE，OF，过 O 作 OMEF 于 M，反向延长线交 CD 于 N.ABCDEF，易证阴影部分面积即为扇形C
4、OD 与扇形 EOF 的和，由 AB10，CD6，EF8，MOEF，ONCD，易知 ODOF5，FMON4，OMDN3，OFMDON，FOMDON90，EOFCOD180，故阴影部分面积等于半圆面积，为1252252.二、填空题(每题 5分，共 30分)7 2017 菏泽一个扇形的圆心角为100，面积为 15，则此扇形的半径长为 _3 6_.【解析】圆心角为 100，面积为 15 cm2，由扇形面积公式SnR2360，得 R360Sn360151003 6.82017 自贡圆锥的底面周长为6 cm，高为 4 cm，则该圆锥的全面积是 _ 24_；侧面展开扇形的圆心角是_216_【解析】圆锥的底
5、面周长为6，底面半径为r623，根据勾股定理，得圆锥的母线 Rr2h232425，侧面展开扇形的弧长l2r6，侧面展开扇形的面积S侧12lR126515，底面积 S底r29，该圆锥的全面积S全159 24；设侧面展开扇形的圆心角为n，则nR180l，即n51806，解得 n216.9如图 316，已知 C，D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径 OA2，COD120，则图中阴影部分的面积等于_23_图 316【解析】S阴影nR2360（180120）2236023.102017 日照如图 317，四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC，以点 B 为圆心，BA 为半径的圆弧与
6、BC交 于点 E，四边形 AECD 是平行四边形，AB6，则扇形(图中阴影部分)的面积是 _6_【解析】四边形 AECD 是平行四边形，AECD，ABBECD6，ABBEAE，ABE 是等边三角形，B60，S扇形BAE60623606.11 2017 安徽改编 如图 318，已知等边三角形 ABC 的边长为 6，以 AB 为直径的 O与边 AC，BC 分别交于 D，E 两点，则劣弧 DE的长为 _图 318 第 11 题答图【解析】如答图，连结OD，OE，ABC 是等边三角形，ABC60，OAOD，OBOE，AOD，BOE 是等边三角形，AODBOE60，DOE60，OA12AB3，DE603
7、180.12 2017 岳阳我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率 的近似值设半径为r 的圆内接正 n 边形的周长为L，圆的直径为 d.如图 319 所示，当 n6 时，Ld6r2r3，那么当 n12 时，Ld_3.11_(结果精确到 0.01，参考数据：sin15cos750.259)【解析】如答图所示，则 AOB30，AOC15.在 RtAOC 中，sin15ACAOACr0.259，AC0.259r，AB2AC0.518r，L12AC6.216r，Ld错误!图 317图 319第 12 题答图3.1083.11.13
8、(10 分)2017 湖州如图 3110，O 为 RtABC 的直角边AC上一点，以 OC 为半径的 O 与斜边 AB相切于点 D，交OA 于点 E.已知 BC3，AC3.(1)求 AD 的长；(2)求图中阴影部分的面积解：(1)在 RtABC 中，BC3，AC3.ABAC2BC22 3，BCOC，BC 是圆的切线，O 与斜边 AB 相切于点 D，BDBC，ADABBD2 333；(2)在 RtABC 中，sinABCAB32 312，A30，O 与斜边 AB 相切于点 D，ODAB，AOD90A60，ODADtanAtan30，OD333，OD1，S阴影60123606.(18 分)14(8
9、 分)2017 长沙如图 3111，AB 与O 相切于点 C，OA，OB 分别交 O 于点 D，E，CDCE，(1)求证：OAOB；(2)已知 AB4 3，OA4，求阴影部分的面积图 3111第 14 题答图解：(1)如答图，连结 OC，AB 与O 相切于点 C，ACO90，图 3110CDCE，AOCBOC，AB，OAOB；(2)由(1)可知OAB是等腰三角形，BC12AB2 3，sinCOBBCOB32，COB60，B30，OC12OB2，S扇形OCE60436023，SOCB122 322 3，S阴影2 323.15.(10 分)2017 潍坊如图 3112，AB 为半圆 O 的直径，A
10、C 是半圆 O 的一条弦，D为BC的中点，作 DEAC，交 AB 的延长线于点 F，连结 DA.(1)求证：EF 为半圆 O 的切线；(2)若 DADF6 3，求阴影区域的面积(结果保留根号和)图 3112 第 15 题答图解：(1)证明：如答图，连结OD，D 为BC的中点，CADBAD.OAOD，BADADO.CADADO，AEOD，DEAC，ODEF.EF 为半圆 O 的切线；(2)如答图，连结 OC 与 CD.DADF，BADF，BADFCAD.又BADCADF90，F30，BAC60.OCOA，AOC 为等边三角形AOC60，COB120.ODEF，F30，DOF60.在 RtODF
11、中，DF6 3，ODDF tan306.在 RtAED 中，DA6 3，CAD30，DEDA sin303 3，EADA cos309.COD180AOCDOF60，CDAB，故 SACDSCOD.S阴影 SAEDS扇形COD1293 3603606227 326.(12 分)16(12 分)2017 孝感如图 3113，O 的直径 AB10，弦 AC6，ACB 的平分线交O 于 D，过点 D 作 DEAB 交 CA 的延长线于点 E，连结 AD，BD.(1)由 AB，BD，AD围成的曲边三角形(阴影部分)的面积是252254；(2)求证：DE 是O 的切线；(3)求线段 DE 的长图 3113 第 16 题答图解：(1)如答图，连结 OD，AB 是直径，且 AB10，ACB90，AOBODO5，CD 平分ACB，ABDACD12ACB45，AOD90，SS扇形AODSBOD90523601255252254；(2)证明：由(1)知AOD90，即 ODAB，DEAB，ODDE，DE 是O 的切线；(3)AB10，AC6，BCAB2AC28，如答图，过点 A 作 AFDE 于点 F，则四边形 AODF 是正方形，AFODFD5，EAF90CABABC，tanEAFtanABC，EFAFACBC，即EF568，EF154，DEDFEF5154354.