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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学3.1.3空间向量的数量积运算课时过关能力提升基础巩固1 下列命题正确的是()A.|a|a=a2B.(a b)2=a2 b2C.a(a b)=a2bD.|a b|a|b|解析:A 项左侧为向量,右侧为数,不正确.向量数量积不满足结合律,故 B,C 不正确.答案:D 2 已知 a=3p-2q,b=p+q,p 和 q 是相互垂直的单位向量,则 a b=()A.1 B.2 C.3 D.4 解析:pq,且|p|=|q|=1,a b=(3p-2q)(p+q)=3p2+p q-2q2=3+0-2=1.答案:A 3 设 a,b,c 是不共线的非零向量,
2、已知下列命题:(a b)c-(c a)b=0;|a|-|b|a-b|;(b a)c-(c a)b 不与 a 垂直;小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有()A.B.C.D.答案:D 4a,b是非零向量,“a b=|a|b|”是“a,b 共线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由 a b=|a|b|,知 cos=1,=0,a与 b 共线.反之,若 a 与 b 共线,则 a b=|a|b|.答案:A 5 若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且 ca,则向量 a 与
3、 b 的夹角是()A.30 B.60C.120D.150解析:ca,c a=(a+b)a=0,可得 a b=-1,cosa,b=-,故向量 a 与 b的夹角是120.答案:C 6 已知|a|=12,|b|=9,a b=-54,则=.解析:cos=-=-,=135.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学答案:1357 若向量 a 与 b 满足|a|=1,|b|=2,且 a 与 b 的夹角为,则 a b=.答案:1 8 已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为60,那么|3a-b|=.答案:9 已知在三棱锥O-ABC 中,M,N,P,Q 分别为 BC,AC,OA,OB 的中点,若
4、 AB=OC,求证:PMQN.证明 设=a,=b,=c.P,M 分别为 OA,BC 的中点,(b+c)-a=(b-a)+c.同理,(a+c)-b=-(b-a)-c.=-|b-a|2-|c|2.AB=OC,即|b-a|=|c|.=0.,即 PMQN.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学10 如图,已知 E 是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 C1D1的中点,试求向量与夹角的余弦值.解:设正方体的棱长为m,=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=m,a b=b c=a c=0.=a+b,=c+a,=(a+b)=a c+b c+a2+a b=a2=m2.又|=m,|=m
5、,cos=.能力提升1 已知 a,b 是异面直线,且 ab,e1,e2分别为取自直线a,b上的单位向量,若 a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,则实数 k 的值为()A.-6 B.6 C.3 D.-3 解析:ab,a b=(2e1+3e2)(ke1-4e2)=2k|e1|2+(3k-8)e1 e2-12|e2|2=2k-12=0,k=6.答案:B 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2如图,在正四面体ABCD 中,E 是 BC 的中点,则()A.B.C.D.与不能比较大小答案:C 3 设 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,则 BCD 是(
6、)A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定解析:=0,=0,=0.AB,AC,AD 两两垂直.BC2=AB2+AC2,CD2=AC2+AD2,BD2=AB2+AD2,BC2CD2+BD2,CD2BC2+BD2,BD2BC2+CD2.BCD 是锐角三角形.答案:B 4 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若 AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90,BAA1=DAA1=60,则 AC1的长为()A.B.C.D.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析:,|=.AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90,BAA1=DAA1=60,=90,=60.|=.答
7、案:B 5 若向量 a,b 的夹角为30,且|a|=3,|b|=4,则(a+2b)(a-b)=.解析:(a+2b)(a-b)=|a|2-a b+2a b-2|b|2=|a|2-|a|b|cos 30+2|a|b|cos 30-2|b|2=9-3 4+2 3 4-2 16=6-23.答案:6-23 6 已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+b,=135,m n,则 =.解析:由 m n,得(a+b)(a+b)=0,则 a2+a b+a b+b2=0,18+3 4 cos 135+3 4 cos 135+16=0,即 4+6=0,解得 =-.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+
8、努力=大学答案:-7 已知在空间四边形OABC 中,OABC,OBAC,求证:OCAB.证明()=.,()=0,()=0.-,得=0,=0.OCAB.8 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别为正方形ABCD 和 AA1B1B 的中心.(1)求证:AC1平面 A1BD;(2)求与夹角的余弦值.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(1)证明 设=a,=b,=c,则=a+b+c,=b-a,=a-c.注意到|a|=|b|=|c|,a b=a c=b c=0,则有=(a+b+c)(b-a)=a b-a2+b2-a b+b c-a c=|b|2-|a|2=0.同理=
9、0,AC1BD,AC1 A1B.又 A1B 与 BD 相交,AC1平面 A1BD.(2)解:设正方体的棱长为a,则=-c+(a-b),=-b+(c-a),|2=-=a2+a2+a2=a2,|=a.同理|=a.又=-=-|c|2-|a|2+|b|2=-a2,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学cos=-=-.即与夹角的余弦值为-.9 如图所示,正四面体V-ABC 的高 VD 的中点为 O,VC 的中点为M.(1)求证:AO,BO,CO 两两垂直;(2)求.分析(1)要证 AO,BO,CO 两两垂直只需证=0.(2)由公式 cos=,可求得.(1)证明 设=a,=b,=c,且正四面体的棱长为1,有|a|=|b|=|c|=1,a b=b c=a c.则(a+b+c),(b+c-5a),(a+c-5b),(a+b-5c),(b+c-5a)(a+c-5b)=(18a b-9|a|2)=-=0.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学,即 AOBO.同理 AOCO,BOCO.AO,BO,CO 两两垂直.(2)解:=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c),|=-,|=-,(-2a-2b+c)(b+c-5a)=.cos=.0,=.