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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第 2 课时 集合的基本运算导入新课问题:分别在整数范围和实数范围内解方程(x-3)(x3-)=0,其结果会相同吗?若集合A=x|0 x2,x Z,B=x|0 x2,x R,则集合 A、B相等吗？学生回答后,教师指明:在不同的范围内集合中的元素会有所不同,这个“范围”问题就是本节学习的内容,引出课题.推进新课新知探究提出问题用列举法表示下列集合:A=x Z|(x-2)(x+31)(x2-)=0;B=xQ|(x-2)(x+31)(x2-)=0;C=xR|(x-2)(x+31)(x2-)=0.问题中三个集合相等吗？为什么？由此看,解方程时要注
2、意什么？问题,集合Z,Q,R 分别含有所解方程时所涉及的全部元素,这样的集合称为全集,请给出全集的定义.已知全集U=1,2,3,A=1,写出全集中不属于集合A的所有元素组成的集合B.请给出补集的定义.用 Venn图表示A.活动：组织学生充分讨论、交流,使学生明确集合中的元素,提示学生注意集合中元素的范围.讨论结果：A=2,B=2,31,C=2,31,2.不相等,因为三个集合中的元素不相同.解方程时,要注意方程的根在什么范围内,同一个方程,在不同的范围其解会有所不同.一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记为U.B=2,3.对于一个集合A,全集 U中
3、不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集.集合 A相对于全集U的补集记为A,即 A=x|x U,且如图 1-1-3-9所示,阴影表示补集.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学图 1-1-3-9 应用示例思路 11.设 U=x|x 是小于 9 的正整数,A=1,2,3,B=3,4,5,6,求A,B.活动：让学生明确全集U 中的元素,回顾补集的定义,用列举法表示全集U,依据补集的定义写出A,B.解：根据题意,可知 U=1,2,3,4,5,6,7,8,所以A=4,5,6,7,8;B=1,2,7,8.点评：本题主要考查补集的概念和求法.用列举法表示的集合,依据补
4、集的含义,直接观察写出集合运算的结果.常见结论:(AB)=(A)(B);(AB)=(A)(B).变式训练1.2007吉林高三期末统考,文 1 已知集合U=1,2,3,4,5,6,7,A=2,4,5,7,B=3,4,5,则(A)(B)等于()A.1,6 B.4,5 C.2,3,4,5,7 D.1,2,3,6,7 分析:思路一:观察得(A)(B)=1,3,61,2,6,7=1,6.思路二:AB=2,3,4,5,7,则(A)(B)=(AB)=1,6.答案：A 2.2007 北京东城高三期末教学目标抽测一,文 1 设集合U=1,2,3,4,5,A=1,2,4,B=2,则A(B)等于()A.1,2,3,
5、4,5 B.1,4 C.1,2,4 D.3,5 答案：B 3.2005 浙江高考,理 1 设全集 U=1,2,3,4,5,6,7,P=1,2,3,4,5,Q=3,4,5,6,7,则 P(Q)等于()A.1,2 B.3,4,5 C.1,2,6,7 D.1,2,3,4,5 答案：A 2.设 全 集U=x|x是 三 角 形,A=x|x是 锐 角 三 角 形,B=x|x是 钝 角 三 角 形.求AB,(AB).活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义.结合交集、并集和补集的含义写出结果.AB是由集合 A,B 中公共元素组成的集合,(AB)是全集中除去集合AB 中剩下的元素组成的集合.解
6、：根据三角形的分类可知AB=,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学AB=x|x是锐角三角形或钝角三角形,(AB)=x|x是直角三角形.变式训练1.已知集合A=x|3 x8,求A.解：A=x|x2+3.而 4,5,6都大于 2+3,(A)B=4,5,6.答案：B 思路 21.已知全集U=R,A=x|-2x4,B=x|-3x3,求:(1)A,B;(2)(A)(B),(AB),由此你发现了什么结论？(3)(A)(B),(AB),由此你发现了什么结论？活动：学生回想补集的含义,教师指导学生利用数轴来解决.依据补集的含义,借助于数轴求得.在数轴上表示集合A,B.解：如图 1-1-3-
7、10所示,图 1-1-3-10(1)由图得A=x|x4,B=x|x3.(2)由图得(A)(B)=x|x4x|x3=x|x3;小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学AB=x|-2x4x|-3x3=x|-2x3,(AB)=x|-2x3=x|x3.得出结论(AB)=(A)(B).(3)由图得(A)(B)=x|x4x|x3=x|x4;AB=x|-2x4x|-3x3=x|-3x4,(AB)=x|-3x4=x|x4.得出结论(AB)=(A)(B).变式训练1.2006 重庆高考,理 1 已知集合U=1,2,3,4,5,6,7,A=2,4,5,7,B=3,4,5,则(A)(B)等于()A.
8、1,6 B.4,5 C.1,2,3,4,5,7 D.1,2,3,6,7 答案：D 2.2005江西高考,理 1 设集合I=x|x|0,试用文字语言表述A的意义.解：A=x|2x+10 即不等式2x+10 的解集,A中元素均不能使2x+10 成立,即A中元素应当满足 2x+10.A即不等式2x+10 的解集.2.如图 1-1-3-14所示,U 是全集,M,P,S 是 U的三个子集,则阴影部分表示的集合是_.图 1-1-3-14 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学分析:观察图可以看出,阴影部分满足两个条件:一是不在集合S 内;二是在集合M,P 的公共部分内,因此阴影部分表示的
9、集合是集合S的补集与集合M,P 的交集的交集,即(S)(MP).答案：(S)(MP)3.2007安 徽 淮 南 一 模,理1设 集 合A、B 都 是U=1,2,3,4的 子 集,已 知(A)(B)=2,(A)B=1,则A等于()A.1,2 B.2,3 C.3,4 D.1,4 分析:如图 1-1-3-15所示.图 1-1-3-15 由于(A)(B)=2,(A)B=1,则有A=1,2.A=3,4.答案：C 4.2006 安徽高考,文 1 设全集 U=1,2,3,4,5,6,7,8,集合 S=1,3,5,T=3,6,则(ST)等于()A.B.2,4,7,8 C.1,3,5,6 D.2,4,6,8 分
10、析:直接观察(或画出 Venn图),得 ST=1,3,5,6,则(ST)=2,4,7,8.答案：B 5.2007 河北石家庄一模,文 1 已知集合I=1,2,3,4,A=1,B=2,4,则 A(B)等于()A.1 B.1,3 C.3 D.1,2,3 分析:B=1,3,A(B)=1 1,3=1,3.答案：B 拓展提升问题:某班有学生50 人,解甲、乙两道数学题,已知解对甲题者有34 人,解对乙题者有28 人,两题均解对者有20 人,问:(1)至少解对其中一题者有多少人？(2)两题均未解对者有多少人？分析:先利用集合表示解对甲、乙两道数学题各种类型,然后根据题意写出它们的运算,问题便得到解决.解：
11、设全集为U,A=只解对甲题的学生,B=只解对乙题的学生,C=甲、乙两题都解对的学生,则 AC=解对甲题的学生,BC=解对乙题的学生,ABC=至少解对一题的学生,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(ABC)=两题均未解对的学生.由已知,AC 有 34 个人,C 有 20 个人,从而知 A有 14 个人;BC 有 28 个人,C 有 20 个人,所以 B有 8 个人.因此 ABC 有 N1=14+8+20=42(人),(ABC)有 N2=50-42=8(人).至少解对其中一题者有42 个人,两题均未解对者有8 个人.课堂小结本节课学习了:全集和补集的概念和求法.常借助于数轴或
12、Venn 图进行集合的补集运算.作业课本 P12习题 1.1A 组 9、10,B 组 4.设计感想本节教学设计注重渗透数形结合的思想方法,因此在 教学过程 中要重点指导学生借助于数轴或 Venn图进行集合的补集运算.由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合,本节也对此也予以体现,可以利用课余时间学习有关解不等式的知识.习题详解(课本 P5练习)1.(1)中国 A,美国A,印度 A,英国A.(2)A=x|x2=x=0,1,-1A.(3)B=x|x2+x-6=0=-3,2,3A.(4)C=xN|1x10=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,8C,9.1C.2.(1)x|x2=9 或-
13、3,3;(2)2,3,5,7;(3)(x,y)|6-2xy3xy 或(1,4);(4)x R|4x-53或x|x2.(课本 P7练习)1.,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c.2.(1)a a,b,c.(2)x2=0,x=0.x|x2=0=0.00.(3)x2+1=0,x2=-1.又x R,方程 x2=-1 无解.x R|x2+1=0=.=.(4).(5)x2=x,x=0 或 x=1.x|x2=x=0,1.00,1.(6)x2-3x+2=0,x=1 或 x=2.x|x2-3x+2=0=1,2.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2,1=1,2.3.(1)由于1
14、是任何正整数的公约数,任何正整数都是自身的公约数,所以8 的公约数是1,2,4,8,即 B=1,2,4,8.AB.(2)显然 BA,又3A,且 3B,BA.(3)4 与 10 的最小公倍数是20,4 与 10 的公倍数应是20 的倍数,显然 A=B.(课本 P11练习)1.AB=5,8,A B=3,5,6,7,8.2.x2-4x-5=0,x=-1 或 x=5.A=x|x2-4x-5=0=-1,5,同理,B=-1,1.AB=-1,5 -1,1=-1,1,5,AB=-1,5 -1,1=-1.3.AB=x|x是等腰直角三角形,AB=x|x是等腰三角形或直角三角形.4.B=2,4,6,A=1,3,6,
15、7,A(B)=2,4,52,4,6=2,4,(A)(B)=1,3,6,72,4,6=6.(课本 P11习题 1.1)A组1.(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.(1)(2)(3)3.(1)2,3,4,5;(2)-2,1;(3)0,1,2.(3)-32x-13,-22x4.-1x2.又x Z,x=0,1,2.B=x Z|-32x-13=0,1,2.4.(1)y|y-4;(2)x|x0;(3)x|x54.5.(1)A=x|2x-3-3,B=x|x 2,-4B,-3A,2B,BA.(2)A=x|x2-1=0=-1,1,1A,-1A,A,1,-1=A.(3);.6.B=x|3x-78-2x=x|x
16、 3,AB=x|2 x4x|x 3=x|x 2,AB=x|2 x4x|x 3=x|3 x4.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学7.依题意,可知 A=1,2,3,4,5,6,7,8,所以 AB=1,2,3,4,5,6,7,81,2,3=1,2,3=B,AC=1,2,3,4,5,6,7,83,4,5,6=3,4,5,6=C.又BC=1,2,3 3,4,5,6=1,2,3,4,5,6.A(BC)=1,2,3,4,5,6,7,81,2,3,4,5,6=1,2,3,4,5,6.又BC=1,2,3 3,4,5,6=3,A(BC)=1,2,3,4,5,6,7,83=1,2,3,4,5,
17、6,7,8=A.8.(1)A B=x|x是参加一百米跑的同学或参加二百米跑的同学.(2)A C=x|x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学.9.BC=x|x是正方形,B=x|x是邻边不相等的平行四边形,A=x|x是梯形.10.AB=x|3 x7x|2x10=x|2x10,(AB)=x|x 2 或 x10.又AB=x|3 x7x|2x10=x|3x7,(AB)=x|x3或 x7.(A)B=x|x3或 x7x|2x10=x|2x3或 7x10,A(B)=x|3 x7x|x 2 或 x10=x|x 2 或 3x7 或 x10.B组1.A=1,2,A B=1,2,BA.B=,1,2,1,2.2.集合
18、D=(x,y)|2x-y=1(x,y)|x+4y=5表示直线2x-y=1 与直线 x+4y=5 的交点坐标;由于 D=(x,y)|54yx1y-2x=(1,1),所以点(1,1)在直线 y=x 上,即 DC.3.B=1,4,当 a=3 时,A=3,则 AB=1,3,4,A B=;当 a3 时,A=3,a,若 a=1,则 AB=1,3,4,A B=1;若 a=4,则 AB=1,3,4,A B=4;若 a1 且 a4,则 AB=1,a,3,4,AB=.综上所得,当 a=3 时,AB=1,3,4,A B=;当 a=1,则 AB=1,3,4,A B=1;当 a=4,则 AB=1,3,4,A B=4;小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学当 a3 且 a1 且 a4 时,AB=1,a,3,4,AB=.4.作出韦恩图,如图 1-1-3-16所示,图 1-1-3-16 由 U=A B=xN|0 x10,A(B)=1,3,5,7,可知 B=0,2,4,6,8,9,10.