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1、2017 年江苏省常州市中考数学模拟试卷（3 月份）一、选择题（本大题共8 小题，每小题2 分，共 16 分在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的）1在函数y=中，自变量x 的取值范围是（）Ax2 B x2 Cx2 Dx 2 2若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（）AB C D3某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示：年龄（岁）18 19 20 21 22 人数2 5 2 2 1 则这 12 名队员年龄的众数、中位数分别是（）A2，20 岁B2，19 岁C19 岁，20 岁D19 岁，19 岁4如图，在 ABC中，DE BC，分别交 AB，AC于点
2、D，E若 AD=1，DB=2，则 ADE的面积与 ABC的面积的比等于（）AB C D5如图，AB是半圆的直径，点D是弧 AC的中点，ABC=50，则DAB等于（）A60 B65 C70 D756在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2 为半径的圆必定（）A与 x 轴相离，与y 轴相切B与 x 轴，y 轴都相离C与 x 轴相切，与y 轴相离D与 x 轴，y 轴都相切7若二次函数y=x2+bx 的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x的方程 x2+bx=5 的解为（）Ax1=0，x2=4 B x1=1，x2=5 C x1=1，x2=5 Dx1=1，x2=5 8如图 1，
3、一个电子蜘蛛从点A出发匀速爬行，它先沿线段AB爬到点 B，再沿半圆经过点M爬到点 C 如果准备在M、N、P、Q四点中选定一点安装一台记录仪，记录电子蜘蛛爬行的全过程设电子蜘蛛爬行的时间为x，电子蜘蛛与记录仪之间的距离为y，表示 y 与 x 函数关系的图象如图2 所示，那么记录仪可能位于图1 中的（）A点 M B 点 N C 点 P D点 Q 二、填空题（本大题共10 小题每小题2 分，共 20 分）9已知，在RtABC中，C=90，tanB=，则 cosA=10反比例函数y=的图象经过点（1，6）和（m，3），则 m=11某工厂 2014 年缴税 20 万元，2016 年缴税 24 万元，这这
4、两年该工厂缴税的年平均增长率为 x，根据题意，可得方程为12已知一组数据1，2，x，5 的平均数是4，则这组数据的方差是13点 A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x24x1 的图象上，若当1x12，3x24 时，则 y1与 y2的大小关系是y1y2（用“”、“”、“=”填空）14已知扇形的圆心角为150，它所对应的弧长20cm，则此扇形的半径是cm 15直角坐标系中点A坐标为（5，3），B坐标为（1，0），将点 A绕点 B逆时针旋转90得到点 C，则点 C的坐标为16一次函数y=x+1 与反比例函数，x 与 y 的对应值如下表：x 3 2 1 1 2 3 y=x+1 4 3 2
5、0 1 2 1 2 2 1 不等式 x+1的解为17如图，ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，5），B（3，0），C（2，0），将ABC绕点 B顺时针旋转一定角度后使A落在 y 轴上，与此同时顶点C恰好落在 y=的图象上，则 k 的值为18如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1t）（t0），点P 在以 D（3，3）为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足BPC=90，则t的最小值是三、解答题（本大题共有10 小题，共84 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19（8 分）化简：（1）tan45+sin245（2）|+sin30 +（+3）02
6、0（10 分）解方程：（1）（4x 1）29=0（2）3（x 2）2=2x21（7 分）某区对即将参加中考的5000 名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分请根据图表信息回答下列问题：视力频数（人）频率4.0 x4.3 20 0.1 4.3 x4.6 40 0.2 4.6 x4.9 70 0.35 4.9 x5.2 a 0.3 5.2 x5.5 10 b（1）本次调查的样本为，样本容量为；（2）在频数分布表中，a=，b=，并将频数分布直方图补充完整；（3）若视力在4.6 以上（含4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？22
7、（8 分）甲、乙、丙三位同学用质地、大小完全一样的纸片分别制作一张卡片a、b、c，收集后放在一个不透明的箱子中，然后每人从箱子中随机抽取一张（1）用列表或画树状图的方法表示三位同学抽到卡片的所有可能的结果；（2）求三位同学中至少有一人抽到自己制作卡片的概率23（7分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1 的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，1）（1）在如图的方格纸中把ABC以点 O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1：2，画出 A1B2C2（ABC与 A1B2C2在位似中心O点的两侧，A，B
8、，C的对应点分别是A1，B2，C2）（2）利用方格纸标出A1B2C2外接圆的圆心P，P点坐标是，P的半径=（保留根号）24（7 分）已知：如图，等腰ABC中，AB=BC，AEBC于 E，EF AB于 F，若 CE=2，cosAEF=，求 BE的长25（8 分）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得 CAO=45，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为 45km/h和 36km/h，经过 0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得 DBO=58，此时 B处距离码头O多远？（参考数据：sin58 0.85，cos58 0.
9、53，tan58 1.60）26（9 分）旅游公司在景区内配置了50 辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金是x（元）发现每天的营运规律如下：当x 不超过 100 元时，观光车能全部租出；当x 超过 100 元时，每辆车的日租金每增加5 元，租出去的观光车就会减少1 辆已知所有观光车每天的管理费是1100 元当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？（注：净收入=租车收入管理费）27（10 分）如图，射线AM上有一点B，AB=6，点 C是射线 AM上异于 B的一点，过C作CD AM，且 CD=AC，过 D点作 DEAD，交射线AM于 E，在射线CD取
10、点 F，使得 CF=CB，连接 AF并延长，交DE于点 G，设 AC=3x（1）当 C在 B点右侧时，求AD DF的长（用关于x 的代数式表示）（2）当 x 为何值时，AFD是等腰三角形；（3）作点 D关于 AG的对称点D，连接FD，GD，若四边形DFD G是平行四边形，求x 的值（直接写出答案）28（10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x1 与抛物线y=x2+bx+c 交于 A，B两点，点A在 x 轴上，点 B的横坐标为8，点 P是直线 AB上方的抛物线上的一动点（不与点 A，B重合）（1）求该抛物线的函数关系式；（2）连接 PA、PB，在点 P运动过程中，是否存在某一位置，使PAB
11、恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过 P作 PD y 轴交直线AB于点 D，以 PD为直径作 E，求 E在直线 AB上截得的线段的最大长度2017 年江苏省常州市中考数学模拟试卷（3 月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8 小题，每小题2 分，共 16 分在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的）1在函数y=中，自变量x 的取值范围是（）Ax2 B x2 Cx2 Dx 2【考点】函数自变量的取值范围【分析】根据被开方数大于等于0 列不等式求解即可【解答】解：由题意得，x20，解得 x 2故选 D【点评】本题考查了函数自变量
12、的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负2若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（）AB C D【考点】特殊角的三角函数值；三角形内角和定理【分析】根据比例设三个内角分别为k、2k、3k，然后根据三角形内角和等于180列出方程求出最小角，继而可得出答案【解答】解：三角形三个内角度数的比为1：2：3，设三个内角分别为k、2k、3k，k+2k+3k=180，解得 k=30，最小角的正切值=tan30=故选：C【点评】本题主要考查了三角
13、形的内角和定理，利用“设k 法”求解更加简单3某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示：年龄（岁）18 19 20 21 22 人数2 5 2 2 1 则这 12 名队员年龄的众数、中位数分别是（）A2，20 岁B2，19 岁C19 岁，20 岁D19 岁，19 岁【考点】众数；中位数【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可【解答】解：把这些数从小到大排列，最中间的数是第6、7 个数的平均数，则这 12 名队员年龄的中位数是=19（岁）；19 岁的人数最多，有5 个，则众数是19 岁故选 D【点评】此题考查了中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数将一组数据按照从小到
14、大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数4如图，在 ABC中，DE BC，分别交 AB，AC于点 D，E若 AD=1，DB=2，则 ADE的面积与 ABC的面积的比等于（）AB C D【考点】相似三角形的判定与性质【分析】根据DE BC，即可证得 ADE ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解【解答】解：AD=1，DB=2，AB=AD+DB=3，DEBC，ADE ABC，=（）2=（）2=故选：D【点评】本题考查了三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的
15、面积比等于相似比的平方是解题的关键5如图，AB是半圆的直径，点D是弧 AC的中点，ABC=50，则DAB等于（）A60 B65 C70 D75【考点】圆周角定理；三角形内角和定理【分析】连接 BD，由点 D是弧 AC的中点结合ABC的度数即可得出ABD的度数，根据AB是半圆的直径即可得出ADB=90，再利用三角形内角和定理即可求出DAB的度数【解答】解：连接BD，如图所示点 D是弧 AC的中点，ABD=CBD ABC=50，AB是半圆的直径，ABD=ABC=25，ADB=90，DAB=180 ABD ADB=65 故选 B【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的内角和定理，根据圆周角定理结合A
16、BC的度数找出 ABD的度数是解题的关键6在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2 为半径的圆必定（）A与 x 轴相离，与y 轴相切B与 x 轴，y 轴都相离C与 x 轴相切，与y 轴相离D与 x 轴，y 轴都相切【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切【解答】解：是以点（2，3）为圆心，2 为半径的圆，如图所示：这个圆与y 轴相切，与x 轴相离故选 A【点评】直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径7若二次函数y=x2+bx 的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则
17、关于x的方程 x2+bx=5 的解为（）Ax1=0，x2=4 B x1=1，x2=5 C x1=1，x2=5 Dx1=1，x2=5【考点】抛物线与x 轴的交点【分析】根据对称轴方程=2，得 b=4，解 x24x=5 即可【解答】解：对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，=2，解得：b=4，解方程 x24x=5，解得 x1=1，x2=5，故选：D【点评】本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大8如图 1，一个电子蜘蛛从点A出发匀速爬行，它先沿线段AB爬到点 B，再沿半圆经过点M爬到点 C 如果准备在M、N、P、Q四点中选定一点安装一台记录仪，记录电子蜘蛛爬行的
18、全过程设电子蜘蛛爬行的时间为x，电子蜘蛛与记录仪之间的距离为y，表示 y 与 x 函数关系的图象如图2 所示，那么记录仪可能位于图1 中的（）A点 M B 点 N C 点 P D点 Q【考点】动点问题的函数图象【分析】根据函数的增减性：不同的观察点获得的函数图象的增减性不同，可得答案【解答】解：A、从 A点到 M点 y 随 x 而减小一直减小到0，故 A不符合题意；B、从 A到 B点 y 随 x 的增大而减小，从B到 C点 y 的值不变，故B不符合题意；C、从 A到 AB的中点 y 随 x 的增大而减小，从AB的中点到M点 y 随 x 的增大而增大，从M点到 C点 y 随 x 的增大而减小，故
19、C符合题意；D、从 A到 M点 y 随 x 的增大而增大，从 M点到 C点 y 随 x 的增大而减小，故 D不符合题意；故选：C【点评】本题考查了动点问题的函数图象，利用观察点与动点P之间距离的变化关系得出函数的增减性是解题关键二、填空题（本大题共10 小题每小题2 分，共 20 分）9已知，在RtABC中，C=90，tanB=，则 cosA=【考点】互余两角三角函数的关系【分析】根据正切的定义，可得直角边，根据勾股定理，可得斜边，根据余弦函数，可得答案【解答】解：如图，由 tanB=，得AC=4k，BC=3k，由勾股定理，得AB=5k，cosA=，故答案为：【点评】本题考查了锐角三角函数的定
20、义，利用正切的定义得出直角边是解题关键10反比例函数y=的图象经过点（1，6）和（m，3），则 m=2【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【分析】先把点（1，6）代入反比例函数y=，求出k 的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把点（m，3）代入即可得出m的值【解答】解：反比例函数y=的图象经过点（1，6），6=，解得 k=6，反比例函数的解析式为y=点（m，3）在此函数图象上上，3=，解得 m=2故答案为：2【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键11某工厂 2014 年缴税 20 万元，2016 年缴税 24 万
21、元，这这两年该工厂缴税的年平均增长率为 x，根据题意，可得方程为20（1+x）2=24【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），如果设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，首先表示出2015 年的缴税额，然后表示出2016 年的缴税额，即可列出方程【解答】解：若该公司这两年缴税的年平均增长率为x，则 2015 年缴税 20（1+x），2016 年缴税 20（1+x）2，根据题意，得：20（1+x）2=24故答案为：20（1+x）2=24【点评】主要考查由实际问题抽象出一元二次方程中增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a 为起始时间的
22、有关数量，b 为终止时间的有关数量12已知一组数据1，2，x，5 的平均数是4，则这组数据的方差是7.5【考点】方差；算术平均数【分析】先根据平均数的定义确定出x 的值，再根据方差的计算公式S2=（x1）2+（x2）2+（xn）2，代值计算即可【解答】解：数据 1，2，x，5 的平均数是4，（1+2+x+5）4=4，x=8，这组数据的方差是：（14）2+（24）2+（84）2+（54）2=7.5；故答案为7.5【点评】此题考查了平均数和方差的定义，平均数是所有数据的和除以数据的个数方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数13点 A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2
23、4x1 的图象上，若当1x12，3x24 时，则 y1与 y2的大小关系是y1y2（用“”、“”、“=”填空）【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小【解答】解：由二次函数y=x24x1=（x2）25 可知，其图象开口向上，且对称轴为x=2，1x12，3 x24，A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，y1y2故答案为：【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键14已知
24、扇形的圆心角为150，它所对应的弧长20cm，则此扇形的半径是24 cm【考点】弧长的计算【分析】根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解【解答】解：设扇形的半径是r，则=20解得：R=24 故答案为：24【点评】本题主要考查了扇形的面积和弧长，正确理解公式是解题的关键15直角坐标系中点A坐标为（5，3），B坐标为（1，0），将点 A绕点 B逆时针旋转90得到点 C，则点 C的坐标为（2，4）【考点】坐标与图形变化旋转【分析】根据题意画出图形，易证ADB BEC，求出 CE、OE的长即可求出C的坐标【解答】解：如图所示，点A绕点 B逆时针旋转90到点 C，A坐标为（5，3），B坐标为（1
25、，0），AD=3，BD=4，AB=5，根据旋转的性质，AB=BC，ABC=90，EBC+ABD=90，DAB+ABD=90，EBC=DAB 在 EBC和 BAD中，EBC BAD，CE=BD=4，BE=AD=3，OB=1，OE=2，C（2，4）故答案为：（2，4）【点评】本题主要考查了旋转变换和三角形全等的判定与性质，证明EBC BAD是解决问题的关键16一次函数y=x+1 与反比例函数，x 与 y 的对应值如下表：x 3 2 1 1 2 3 y=x+1 4 3 2 0 1 2 1 2 2 1 不等式 x+1的解为x 1 或 0 x2【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象【分析】先判断出交点
26、坐标，进而判断在交点的哪侧相同横坐标时一次函数的值都大于反比例函数的值即可【解答】解：易得两个交点为（1，2），（2，1），经过观察可得在交点（1，2）的左边或在交点（2，1）的左边，y 轴的右侧，相同横坐标时一次函数的值都大于反比例函数的值，所以不等式 x+1的解为 x 1 或 0 x2【点评】给出相应的函数值，求自变量的取值范围应该从交点入手思考17如图，ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，5），B（3，0），C（2，0），将ABC绕点 B顺时针旋转一定角度后使A落在 y 轴上，与此同时顶点C恰好落在 y=的图象上，则 k 的值为3【考点】坐标与图形变化旋转；反比例函数图象上点的坐标特征【
27、分析】根据点 A、B、C 的坐标求出AB、BC的长，从而得到ABC是等腰直角三角形，过点 A作 AE AB于 E，过点 C作 CF x 轴于 F，然后求出AE、BE，再利用“AAS”证明 ABE 和CBF 全等，根据全等三角形对应边相等求出BF，CF，再求出OF，从而得到点 C的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式解答【解答】解：A（3，5），B（3，0），C（2，0），AB=5，BC=2（3）=2+3=5，AB x 轴，ABC是等腰直角三角形，过点 A作 AE AB于 E，过点 C作 CF x 轴于 F，则 AE=3，BE=4，ABC 是 ABC旋转得到，ABE=CBF，在ABE 和CB
28、F 中，ABE CBF（AAS），BF=BE=4，CF=A E=3，OF=BF OB=4 3=1，点 C的坐标为（1，3），把（1，3）代入 y=得，=3，解得 k=3故答案为：3【点评】本题考查了坐标与图形的变化旋转，反比例函数图象上点的坐标特征，判断出ABC是等腰直角三角形，根据旋转角得到ABE=CBF是解题的关键18如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1t）（t0），点P 在以 D（3，3）为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足BPC=90，则t的最小值是1【考点】直角三角形斜边上的中线；坐标与图形性质【分析】先求出 AB，AC进而得出AC=AB，
29、结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即 AP=t，即可得出t 最小时，点P在 AD上，用两点间的距离公式即可得出结论【解答】解：如图，连接AP，点 A（0，1）、点 B（0，1+t）、C（0，1t）（t 0），AB=（1+t）1=t，AC=1（1 t）=t，AB=BC，BPC=90，AP=BC=AB=t，要 t 最小，就是点A到 D上的一点的距离最小，点 P在 AD上，A（0，1），D（3，3），AD=，t 的最小值是AP=AD PD=1，故答案为1【点评】此题主要考查了直角三角形斜边的中线的性质，平面坐标系内，两点间的距离公式，极值的确定；判断出点A是 BC的中点是解本题的关键是一道基
30、础题三、解答题（本大题共有10 小题，共84 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19化简：（1）tan45+sin245（2）|+sin30 +（+3）0【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式利用绝对值的代数意义，算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可得到结果【解答】解：（1）原式=1+=；（2）原式=+3+1=4【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键20（10 分）（2017?常州模拟）解方程：（1）（4x 1）29=0（2）3（x 2）2=
31、2x【考点】解一元二次方程因式分解法；解一元二次方程直接开平方法【分析】（1）先将常数项移项到方程右边，再利用直接开平方法即可求出解；（2）先移项，使方程的右边化为零，再将左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0 转化为两个一元一次方程来求解【解答】解：（1）方程变形得：（4x1）2=9，4x 1=3，或 4x1=3，解得：x1=1，x2=；（2）方程整理得：3（x 2）22+x=0，分解因式得：（x2）（3x6+1）=0，可得 x 2=0 或 3x5=0，解得：x1=2，x2=【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键21某区对即将参加中
32、考的5000 名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分请根据图表信息回答下列问题：视力频数（人）频率4.0 x4.3 20 0.1 4.3 x4.6 40 0.2 4.6 x4.9 70 0.35 4.9 x5.2 a 0.3 5.2 x5.5 10 b（1）本次调查的样本为200名初中毕业生的视力情况，样本容量为200；（2）在频数分布表中，a=60，b=0.05，并将频数分布直方图补充完整；（3）若视力在4.6 以上（含4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表
33、【分析】（1）用第 1 组的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量，然后根据样本的定义写出样本；（2）用样本容量乘以0.3 得到 a 的值，用10 除以 10 得到 b 的值；（3）用样本值后面三组的频率和乘以5000 可估计全区初中毕业生中视力正常的学生数【解答】解：（1）200.1=200（人），所以本次调查的样本为200 名初中毕业生的视力情况，样本容量为200；（2）a=2000.3=60，b=10200=0.05；故答案为 200 名初中毕业生的视力情况，200；60，0.05；（2）5000（0.35+0.3+0.05）=3500（人），估计全区初中毕业生中视力正常的学生有3500
34、 人【点评】本题考查了频数（率）分布直方图：频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积=组距频数组距=频率从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容也考查了用样本估计总体22甲、乙、丙三位同学用质地、大小完全一样的纸片分别制作一张卡片a、b、c，收集后放在一个不透明的箱子中，然后每人从箱子中随机抽取一张（1）用列表或画树状图的方法表示三位同学抽到卡片的所有可能的结果；（2）求三位同学中至少有一人抽到自己制作卡片的概率【考点】列表法与树状图法【分析】此题可以采用列举法求概率，要
35、注意不重不漏；此题需要三步完成，可以采用树状图法，注意此题为不放回实验；此题也可认为两步完成，因为确定了甲乙，也就确定了丙，所以也可采用列表法求概率【解答】解：（1）列表或画树状图表示三位同学抽到卡片的所有可能结果如下：甲a a b b c c 乙b c a c a b 丙c b c a b a（2）如图可知，三位同学抽到卡片的所有可能的结果共有6 种，所以三位同学中有一人抽到自己制作的卡片有3 种，有三人抽到自己制作的卡片有1 种所以，三位同学中至少有一人抽到自己制作卡片有4 种，8 分所以，三位同学中至少有一人抽到自己制作的卡片的概率为：10 分【点评】此题考查的是用列表法或树状图法或列举
36、法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验；列举法要注意做到不重不漏用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比23如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1 的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点 C的坐标为（0，1）（1）在如图的方格纸中把ABC以点 O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1：2，画出 A1B2C2（ABC与 A1B2C2在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B2，C2）（
37、2）利用方格纸标出A1B2C2外接圆的圆心P，P 点坐标是（3，1），P 的半径=（保留根号）【考点】作图位似变换；三角形的外接圆与外心【分析】（1）利用关于原点为位似中心的两图形的对应的坐标关系写出点A1，B2，C2的坐标，然后描点即可得到A1B2C2；（2）利用网格特点，作A1C2和 C2B2的垂值平分线得到A1B2C2外接圆的圆心P，然后写出P点坐标和计算PA1【解答】解：（1）如图，A1B2C2为所作；（2）点 P的坐标为（3，1），PA1=，即 P的半径为故答案为（3，1），【点评】本题考查了作图位似变换：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代
38、表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形也考查了三角形的外心24已知：如图，等腰ABC中，AB=BC，AE BC于 E，EFAB于 F，若 CE=2，cosAEF=，求 BE的长【考点】解直角三角形【分析】根据题意，通过变化可得B=AEF，CE=2，cosAEF=，从而可以得到BE、AB的关系，从而可以解答本题【解答】解：AEBC于 E，EF AB于 F，AEB=AFE=90 B+BAE=BAE+AEF=90 B=AEF cosAEF=，cosB=cosB=，AB=BC，CE=2，设 BE=4a，则 AB=5a，CE=a a=2BE=8【点评】本题考查解直角三角形，解题
39、的关键是建立各个角之间的关系，找准所求问题需要的条件25如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得CAO=45，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h 和 36km/h，经过 0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得 DBO=58，此时 B处距离码头O多远？（参考数据：sin58 0.85，cos58 0.53，tan58 1.60）【考点】解直角三角形的应用【分析】设 B处距离码头Oxkm，分别在 RtCAO 和 Rt DBO 中，根据三角函数求得CO和 DO，再利用 DC=DO CO，得出 x 的值即可【
40、解答】解：设 B处距离码头Oxkm，在 RtCAO 中，CAO=45，tan CAO=，CO=AO?tan CAO=（45 0.1+x）?tan45=4.5+x，在 RtDBO 中，DBO=58，tan DBO=，DO=BO?tan DBO=x?tan58，DC=DO CO，360.1=x?tan58（4.5+x），x=13.5 因此，B处距离码头O大约 13.5km【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角形中的边角关系是解题的关键26旅游公司在景区内配置了50 辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金是x（元）发现每天的营运规律如下：当x 不超
41、过 100 元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100 元时，每辆车的日租金每增加5 元，租出去的观光车就会减少1 辆已知所有观光车每天的管理费是1100 元当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？（注：净收入=租车收入管理费）【考点】二次函数的应用【分析】由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值【解答】解：设每天的净收入为y 元，当 0 x100 时，y1=50 x1100，y1随 x 的增大而增大，当 x=100 时，y1的最大值为50 1001100=3900；当 x100 时，y2=（50）x1100=x2+70 x1100=（x175）2+502
42、5，当 x=175 时，y2的最大值为5025，50253900，故当每辆车的日租金为175 元时，每天的净收入最多是5025 元【点评】本题用分段函数模型考查了一次函数，二次函数的性质与应用，解决问题的关键是弄清题意，分清收费方式27（10 分）（2017?常州模拟）如图，射线AM上有一点B，AB=6，点 C是射线 AM上异于B的一点，过C作 CD AM，且 CD=AC，过 D点作 DE AD，交射线AM于 E，在射线CD取点F，使得 CF=CB，连接 AF并延长，交DE于点 G，设 AC=3x（1）当 C在 B点右侧时，求AD DF的长（用关于x 的代数式表示）（2）当 x 为何值时，AF
43、D是等腰三角形；（3）作点 D关于 AG的对称点D，连接FD，GD，若四边形DFD G是平行四边形，求x 的值（直接写出答案）【考点】四边形综合题【分析】（1）由已知条件可得：CD=4x，根据勾股定理得：AD=5x，由 AB=6且 C在 B点右侧，可以依次表示BC、CF、DF的长；（2）分两种情况：当 C在 B点的右侧时，AF=DF，当 C在线段 AB上时，又分两种情况：i）当 CFCD时，如图 3，ii）当 CF CD时，如图 4，由 AF=DF，作等腰三角形的高线FN，由等腰三角形三线合一得：AN=ND=2.5x，利用同角的三角函数列比例式可求得x 的值；（3）先根据四边形DFD G是平行
44、四边形证明它为菱形，由角的关系得：AF平分 DAC，作辅助线，由角平分线的性质得：FN=FC，根据第2 问分两种情况进行计算，根据同角的三角函数列式可求得x 的值【解答】解：（1）CD=，AC=3x，CD=4x，CD AM，ACD=90，由勾股定理得：AD=5x，AB=6，C在 B点右侧，BC=AC AB=3x 6，BC=FC=3x 6，DF=CD FC=4x（3x6）=x+6；（2）分两种情况：当 C在 B点的右侧时，ACAB，F 必在线段CD上，ACD=90，AFD是钝角，若 ADF为等腰三角形，只可能AF=DF，过 F 作 FN AD于 N，如图 2，AN=ND=2.5x，cosADC=
45、，x=；当 C在线段 AB上时，同理可知若ADF为等腰三角形，只可能AF=DF，i）当 CFCD时，过 F 作 FNAD于 N，如图 3，AB=6，AC=3x，BC=CF=6 3x，DF=4x（63x）=7x 6，cosADC=，x=，ii）当 CF CD时，如图4，BC=CF=6 3x，FD=AD=6 3x4x=67x，则 67x=5x，x=，综上所述，当x=或或时，AFD是等腰三角形；（3）四边形DFD G是平行四边形，且DF=D F，?DFD G是菱形，DF=DG，DFG=DGF，AFC=DFG，DGF=AFC，ACD=ADG=90，FAC=DAG，即 AF平分 DAC，过 F 作 FN
46、 AD于 N，当 C在 AB的延长线上时，如图2，FN=FC=3x 6，DF=x+6，sin CDA=，解得：x=4，当 C在 AB边上时，如图5，FN=FC=6 3x，DF=7x6，sin CDA=，x=，综上所述，若四边形DFD G是平行四边形，x 的值是 4 或【点评】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、同角的三角函数以及动点问题，采用分类讨论的思想，并参考数形结合解决问题28（10 分）（2017?常州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x1 与抛物线y=x2+bx+c 交于 A，B两点，点 A在 x 轴上，点 B的横坐标为 8，点 P
47、是直线 AB上方的抛物线上的一动点（不与点A，B重合）（1）求该抛物线的函数关系式；（2）连接 PA、PB，在点 P运动过程中，是否存在某一位置，使PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过 P作 PD y 轴交直线AB于点 D，以 PD为直径作 E，求 E在直线 AB上截得的线段的最大长度【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据直线y=x 1与抛物线y=x2+bx+c 交于 A、B两点，点A在 x 轴上，点 B的横坐标为8，求出点 A（2，0），B（8，5）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）假设存在这样点P，使 PAB恰好是一
48、个直角三角形，只有APB=90，即AP PB，设出点 P 的坐标，表示出直线PA，PB的解析式，由直线AP和直线 PB的斜率乘积等于1建立方程，则可求得点P的坐标，再利用勾股定理求得PA和 PB，进行判断即可；（3）先判断出 OCA=QDF进而得出 AOC PFD，得出 DF=PD，最后建立DF=PD=（x2x+4），即可得出结论【解答】解：（1）点 A在 x 轴上，点B的横坐标为 8，且在直线y=x1，A（2，0），B（8，5），点 A，B在抛物线y=x2+bx+c 上，0=1+2b+c，168b+c=5，b=1，c=3，抛物线的解析式为y=x2x+3；（2）解：假设存在这样点P，使 PAB
49、恰好是一个直角三角形，PAB恰好是一个直角三角形，直线y=x1 与抛物线 y=x 2+bx+c 交于 A、B两点，P为抛物线上的点，只能是 APB=90，即AP PB，直线 AP和直线 PB的斜率乘积等于1，设 P（x，x 2x+3），而 A坐标为（2，0），B坐标为（8，5），=1，（x+6）（x4）=16，解得 x=2（舍）或x=4P（4，3），A（2，0），B（8，5），PA=3，PB=4，PAPB，不存在使 PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形；（3）如图，OA=2，OC=1，AC=，PDOC，OCA=QDF，PFD=AOC=90，AOC PFD，=，DF=PD，设 D（x，x 1），P（x，x2x+3），PD=x2x+3x+1=x2x+4，DF=PD=（x2x+4），当 x=3 时，DF最大=（32+3+4）=【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，涉及到的知识点主要有，相似三角形的判定和性质，平面坐标系中互相垂直的直线，比例系数的乘积是1，判断出 AOC PFD是解本题的关键