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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学三角函数基本概念回归课本复习材料2 1 象限角的概念：已知为第三象限角，则2所在的象限是D（A）第一或第二象限（B）第二或第三象限（C）第一或第三象限（D）第二或第四象限2.弧长公式 已知球 O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2，则球心 O到平面 ABC的距离为（B）A 31B 33 C 32 D 364、任意角的三角函数的定义：已知角的终边经过点P(5，12)，则cossin的值为。（答：713）；5.三角函数线（1）已知 sin sin，那么下列命题成立的是（D）A.若、是第一象限角，则cos cosB.
2、若、是第二象限角，则tan tan C.若、是第三象限角，则cos cosD.若、是第四象限角，则tan tan（2）若为锐角，则,sin,tan的大小关系为_（答：sintan）；6.特殊角的三角函数值：7.同角三角函数的基本关系式：8.三角函数诱导公式97costan()sin 2146的值为（答：2323）；9、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：(2)函数4()cosf xx2sincosxx4sin x的最小正周期为_（答：）；10.三角函数的恒等变形（1）巧变角已知,为锐角，sin,cosxy，3cos()5，则y与x的函数关系为_（答：23431(1)555yxxx）(2
3、)三角函数名互化(切割化弦)，求值sin 50(13 tan10)（答：1）；(3)公式变形使用tan20tan403 tan20tan40的值为3为sincosyxx得到的图象，只要把函数sincosyxx的图象按向量a平移，则a等于小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学A(,0)2 B(-,0)2 C4(,0)D(-,0)4(4)三角函数次数的降升，(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。(6)常值变换主要指“1”的变换已知tan2，求22sinsincos3cos（答：35）.(7)正余弦“三兄妹 sincos sin cosxxxx、”函数 f(x)=xx
4、xxcossin1cossin的值域为 _。2122,11,212211、辅助角公式12、正弦函数和余弦函数的图象：五点法13、三角函数的性质：（1）周期性：的最小正周期为函数2tantan1sinxxxy（）A、B、2 C、2 D、23正确答案：B 求函数 y=xx2tan1tan的最小正周期周期 函数的最小正周期是（B ）。A.B.C.D.。函数|31)32sin(|xy的最小正周期是正解：(3)设函数)52sin(2)(xxf，若对任意Rx都有)()()(21xfxfxf成立，则|21xx的最小值为 _（答：2）（4）奇偶性与对称性：将函数()tan(2)13f xx的图象按向量a平移后
5、得到奇函数()g x 的图象，要使|a|最小，则a=A(,1)6B(,1)6C(,1)12 D(,1)12（2）已知函数31f(x)axb sin x(a,b为常数），且57f()，则5f()_（答：5）；（3）（4）若两个函数的图像经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数 给出下列三个函数：小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学P1P2I II IV O 1()sincosfxxx，2()2sin2fxx，3()sinfxx，则123(),(),()fxfxfx为“同形”函数12(),()fxfx为“同形”函数，且它们与3()fx不为“同形”函数13(),()
6、fxfx为“同形”函数，且它们与2()fx不为“同形”函数23(),()fxfx为“同形”函数，且它们与1()fx不为“同形”函数如图，平面内的两条相交直线1OP和2OP将该平面分割成四个部分、（不包括边界）若12OPaOPbOP，且点P落在第部分，则实数ba、满足 A0,0abB0,0ab C0,0abD0,0ab（5）单 调 性：特 别 提 醒，别 忘 了kZ！函 数3 s i n(2)3yx的 单 调 递 减 区 间 是5,1212kkkZ函数),0)(26sin(2xxy为增函数的区间是(C)A.3,0 B.127,12C.65,3D.,6516、形如sin()yAx的函数：（1）几个
7、物理量：A振幅；1fT频率（周期的倒数）；x相位；初相；（2）函数sin()yAx表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，（3）函数sin()yAx图象的画法：“五点法”设Xx，令X0，3,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函 数sin()yAxk的 图 象 与sinyx图 象 间 的 关 系：若 由si nyx得 到si nyx的图象，则向左或向右平移应平移|个单位，如（1）函数2sin(2)14yx的图象经 过 怎 样 的 变 换 才 能 得 到sinyx的 图 象？（答：2sin(2)14yx向 上
8、平 移1 个 单 位 得2sin(2)4yx的图象，再向左平移8个单位得2sin 2yx的图象，横坐标扩大到原来的2 倍得2 sinyx的图象，最后将纵坐标缩小到原来的12即得sinyx的图象）；(2)要得到函数cos()24xy的图象，只需把函数sin2xy的图象向 _平移 _个单位（答：左；2）；（3）将函数72sin(2)13yx图像，按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a；若不唯一，求 出 模 最 小 的 向 量（答：存 在 但 不 唯 一，模 最 小 的 向 量(,1)6a）；（4）若 函 数cossin0,2fxxxx的图象与直线yk有且仅有四
9、个不同的交点，则k的取值范围是（答：1,2)）小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（5）研究函数sin()yAx性质的方法：类比于研究sinyx的性质，只需将sin()yAx中的x看成sinyx中的x，但在 求sin()yAx的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。（1）函数23ysin(x)的递减区间是_（答：51212 k,k(kZ)）；（2）1234xylogcos()的递减区间是 _（答：336644k,k(kZ)）；（3）（4）（5）函数)42sin(log21xy的单调减区间为（）A(,()4kkkZB(,()88kkkZC 3(,()88kk
10、kZ17、正切函数tanyx的图象和性质：（1）定义域：|,2x xkkZ。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？（2）周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。如xyxysin,sin2的周期都是,但sinyxcosx的周期为2，而1|2 s i n(3)|,|2 s i n(3)2|626yxyx，|tan|yx的周期不变；（4）正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是
11、图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。18.三角形中的有关公式：(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和 与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：正弦定理的一些变式：sinsinsini a b cABC；sin,sin,sin22abiiABCRR2cR；2 sin,2sin,2siniiiaRA bRB bRC；已知球的体积为36，球面上三个点满足1,3ABACB
12、C，则球心到平面ABC距离是2 2(3)余弦定理：2222222cos,cos2bcaabcbcAAbc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.(4)面积公式：111sin()222aSahabCr abc（其中r为三角形内切圆半径）.（1）（2）在ABC中，AB是sinAsinB成立的 _条件（答：充要）；（3）；(4)；（5）；（6）在ABC中，601A,b，这个三角形的面积为3，则ABC外接圆的直径是_（答：2 393）；（7）；已知点O为 ABC所在平面内一定点，点P 满足)sinsin(CACACBABABOAOP，当在0，+变化时，动点P的轨迹一定通过ABC的A.外心 B垂心 C内心
13、D重心小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（8）；（9）在锐角ABC中，若 C=2B，则cb的范围是（C ）A、（0，2）B、(2,2)C、(2,3)D、(0,3)19.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a,且这个角在,22内(11)a。(2)反正弦arcsin x、反余弦arccosx、反正切arctanx的取值范围分别是)2,2(,0,2,2.20、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。（1
14、）若,(0,)，且tan、tan是方程2560 xx的两根，则求的值 _（答：34）；（2）ABC中，3sin4cos6,4sin3cos1ABBA，则C_（答：3）；（3）若02且0sinsinsin，0coscoscos，求的值（答：23）.ABC中，已知 cosA=135，sinB=53，则 cosC的值为（）A、6516 B、6556 C、6516或6556 D、6516答案：A A，B，C是ABC的三个内角，且BA tan,tan是方程01532xx的两个实数根，则ABC是（）A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形正解：A 在ABC中，若0tantan1AB,
15、那么ABC(B)A 是锐角三角形 B 是钝角三角形 C 是直角三角形 D 形状不能确定在ABC中，若2 sincbC，那么B的度数为（C ）A 45 B 60 C 45或135 D 60或120（本小题满分12 分，第 1 小问满分 4 分，第 2 小问满分4 分，第 3 小问满分4 分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ABACBABC1（）求证：AB；（）求边长c的值；（）若|ABAC|6，求ABC的面积17解：（）ABACBABC小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学bccosAaccosA，即bcosAacosB1分由正弦定理得sinBcosAsinA
16、cosBsin(AB)0 2分 AB3分AB0，AB4分（）ABAC1，bccosA1 5分由余弦定理得bc2222bcabc1，即b2c2a22 6分由（）得ab，c22，c28分（）|ABAC|6，|AB|2|AC|22|ABAC|6 9分即c2b226 c2b24 10 分c22 b22，b2ABC为正三角形11 分SABC3 4(2)23 2 12 分在ABC中，若3A，2b，3 3ABCS，则sinsinsinabcABC的值为（D ）A、4 7 B、4 573 C、4 393 D、4 213已知向量2(2cos,tan(),(2 sin(),tan(),()2242424xxxf
17、xaba b求函数()f x的最大值、最小正周期，并写出()f x在0,上的单调区间。解：()22 cossin()tan()tan()2242424xxxxf xa b1tantan122222 2cos(sincos)222221tan1tan22xxxxxx22sincos2cos1sincos2sin().22224xxxxxx所以()f x的最大值为2，最小正周期2，在0,4上递增，在,4上递减。设函数()sinyf xx的图象为1C，将1C按向量)0,4(a平移，可得曲线2C，若曲线2C与函数cos2yx的图象关于x轴对称，那么()yf x可以是xcos2_ 小学+初中+高中+努力
18、=大学小学+初中+高中+努力=大学在ABC中，已知5 3BC，外接圆半径为5（1）求A的大小；（2）若112AB AC，求ABC的周长解：（1）由正弦定理得sinA=a 2R=3 2 A(0,)A=3或23(2)0211cos|AACABACAB,A=3,bc=11 由余弦定理得12=b2+c2-a22bc,即(b+c)2=3bc+75=108,b+c=63,所以三角形周长为113。、若函数12cos)(xxf的图象按向量a平移后，得到的图象关于原点对称，则向量a可以是：（A）)0,1(（B）（)1,2（C）)1,4(（D）)1,4(函数)32cos(3xy的初相是A、67 B、31 C、31
19、 D、65函数sin 2yx的图像按向量a平移后，所得函数的解析式是cos21yx，则a等于A.,14B.,14 C.,12D.,12ABC中，若BAc o ss i n，则A B C为（C）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定已知直线6x是函数sincosyaxbx图象的一条对称轴，则函数sincosybxax图象的一条对称轴方程是A、6xB、3x C、2x D、x若关于x的方程 4cos x-cos2x+m-3=0 恒有实数解，则实数m的取值范围是 A.-1，+B.-1,8 C.0,5 D.0,8D.将03coscos42mxx变形成3cos4cos2xxm，令xt
20、co s，则342ttm，t-1,1，作图或配方可得m 0，8.设函数32sin2xxf，若对任意Rx都有321xfxfxf成立，则21xx的最小值小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(A)4 (B)2 (C)1 (D)21设 P为 ABC所在平面内一点，且满足PAPCPCPBPBPA，则 P是 ABC 的（）A重心 B 垂心 C外心 D内心在ABC中，角CBA，的对边分别为cba，若1a，oB45，ABC的面积2S，那么ABC的外接圆的直径为已知 ABC的周长为6，,BCCAAB成等比数列，求（I）ABC的面积 S的最大值；（）BA BC的取值范围.解:设,BC CA AB依次为,a b c,则26,abcbac,由余弦定理得2222221cos2222acbacacac acBacacac故有03B，又6,22a cbbac从而02b6 分（1）所以11122sinsin2sin32223SacBbB，即3maxS 8 分（2）所以22222()2cos22a cac bacbBA BCacB22(6)32(3)272bbb12 分02218bBA BC 14 分