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1、第一节 方阵的特征值与特征向量本讲稿第一页，共四十四页说明说明一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念本讲稿第二页，共四十四页本讲稿第三页，共四十四页本讲稿第四页，共四十四页本讲稿第五页，共四十四页解解例例1 1 本讲稿第六页，共四十四页本讲稿第七页，共四十四页例例 解解本讲稿第八页，共四十四页本讲稿第九页，共四十四页本讲稿第十页，共四十四页例例 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解本讲稿第十一页，共四十四页本讲稿第十二页，共四十四页得基础解系为：得基础解系为：本讲稿第十三页，共四十四页二二.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质本讲稿第十四页，共四十四页本讲稿
2、第十五页，共四十四页注意注意.属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.属于同一特征值的特征向量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值一个特征向量不能属于不同的特征值数学归纳法证明数学归纳法证明本讲稿第十六页，共四十四页定理定理2 2定理定理3 3本讲稿第十七页，共四十四页 C本讲稿第十八页，共四十四页例例5
3、5例例6 6 设设A是是 阶方阵阶方阵，其特征多项式为，其特征多项式为解解本讲稿第十九页，共四十四页求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：四、小结本讲稿第二十页，共四十四页第二节 矩阵相似对角化v 二二、相似矩阵与相似变换的性质v 三、利用相似变换将方阵对角化v 一一、相似矩阵与相似变换的概念v 四、小结 思考题本讲稿第二十一页，共四十四页一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念本讲稿第二十二页，共四十四页1.等价关系等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质二、相似矩阵与相似变换的性质(1)(1)反身性反身性本讲稿第二十三页，共四十四页2.相似不变性相似不变性
4、本讲稿第二十四页，共四十四页设方阵设方阵与与相似，求相似，求解：解：例例1即即本讲稿第二十五页，共四十四页三、利用相似变换将方阵对角化三、利用相似变换将方阵对角化本讲稿第二十六页，共四十四页本讲稿第二十七页，共四十四页本讲稿第二十八页，共四十四页 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论1本讲稿第二十九页，共四十四页如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果有对角化，但如果有 个线性无关的特征向量，个线性无关的
5、特征向量，还是能对角化还是能对角化说明：说明：本讲稿第三十页，共四十四页例例2:2:判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解:得得本讲稿第三十一页，共四十四页得基础解系得基础解系当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为本讲稿第三十二页，共四十四页得基础解系得基础解系线性无关线性无关即即A A有有3 3个线性无关的特征向量，所以个线性无关的特征向量，所以A A可以对角化。可以对角化。本讲稿第三十三页，共四十四页得基础解系得基础解系所以所以 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为本
6、讲稿第三十四页，共四十四页A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角例例3 3解解本讲稿第三十五页，共四十四页解之得基础解系解之得基础解系本讲稿第三十六页，共四十四页所以所以 可对角化可对角化.本讲稿第三十七页，共四十四页注意注意即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应本讲稿第三十八页，共四十四页设设3阶阶 方阵的特征值为方阵的特征值为 ；对应的特征向量依次为对应的特征向量依次为求求 .例例4：解解 根据特征向量的性质知根据特征向量的性质知,应用一应用一 由特征值、特征向量反求矩阵由特征值、特征向量反求矩阵本讲稿第三十九页，共四十四页相
7、似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的这种变换的重要意义重要意义在于简化对矩阵的各种在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算相似变换是对方阵进行的一种运算，它把相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵相似矩阵的定义相似矩阵的定义四、小
8、结本讲稿第四十页，共四十四页可对角化的矩阵主要有以下可对角化的矩阵主要有以下几种应用：几种应用：1.由特征值、特征向量反求矩阵由特征值、特征向量反求矩阵2.求方阵的幂求方阵的幂3.求行列式求行列式4.判断矩阵是否相似判断矩阵是否相似本讲稿第四十一页，共四十四页解：解：方法方法1的特征值为的特征值为令令3阶矩阵阶矩阵 有有3个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角化。可以对角化。例例5：已知已知3阶矩阵阶矩阵 的特征值为的特征值为1，2，3，设设问矩阵问矩阵B 能否与对角阵相似？能否与对角阵相似？本讲稿第四十二页，共四十四页即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 ,使得使得方法方法2：因为矩阵因为矩阵 有有3个不同的特征值，所以可以对角化，个不同的特征值，所以可以对角化，所以矩阵所以矩阵 能与对角阵相似。能与对角阵相似。本讲稿第四十三页，共四十四页思考题本讲稿第四十四页，共四十四页