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1、第一章第一节逆序数全排列对换本讲稿第一页，共十六页 第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式121311 全排列、逆序数与对换全排列、逆序数与对换2第一章第一章 行列式行列式1415本讲稿第二页，共十六页第一节第一节第一节第一节 全排列、逆序数与对换全排列、逆序数与对换全排列、逆序数与对换全排列、逆序数与对换二、三阶行列式二、三阶行列式三、小结、思考题三、小结、思考题一、引例一、引例3第一章第一章 行列式行列式本讲稿第三页，共十六页引例引例用用1 1、2 2、3 3三个数字，可以组成多少个没有重复三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？数字的三位数？解解1 2 3123百位百位
2、3 3种放法种放法十位十位1231个位个位1232 2种放法种放法1 1种放法种放法种放法种放法.共有共有这个问题相当于把三个数字分别放在百位、十位、这个问题相当于把三个数字分别放在百位、十位、与个位上，有几种不同的方法？与个位上，有几种不同的方法？4第一章第一章 行列式行列式本讲稿第四页，共十六页把把 3 3 个不同的元素排成一列，共有几种个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？不同的排法？对于对于 n n 个不同的元素，也可以提出个不同的元素，也可以提出类似的问题。类似的问题。5第一章第一章 行列式行列式本讲稿第五页，共十六页定义定义 个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有
3、排列的种数，通常用用 表示表示.由引例由引例把把 n n 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 n n 个个元素的全排列（也简称排列）元素的全排列（也简称排列）.6第一章第一章 行列式行列式本讲稿第六页，共十六页7第一章第一章 行列式行列式本讲稿第七页，共十六页 对于对于n n 个不同的元素，若规定各元素之间有一个标准个不同的元素，若规定各元素之间有一个标准次序次序,通常对通常对n n 个不同的自然数，我们选定个不同的自然数，我们选定1 1，2 2，3 3，n n，即按由小到大排列起来的排列叫即按由小到大排列起来的排列叫标准排列标准排列.定义定义在一个排列中，如果一对数的前
4、后位置与大小顺序在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个一个逆序逆序.一个排列中所有逆序的总数称此排列的一个排列中所有逆序的总数称此排列的逆序数逆序数.逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.8第一章第一章 行列式行列式本讲稿第八页，共十六页下面来讨论计算排列的逆序数的方法下面来讨论计算排列的逆序数的方法9第一章第一章 行列式行列式本讲稿第九页，共十六页例例1 1 求排列求排列3251432514的逆序数的逆序数.解解在排列
5、在排列3251432514中中,3 3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;0;2 2的前面比的前面比2 2大的数只有一个大的数只有一个3,3,故逆序数为故逆序数为1;1;5 5是最大数是最大数,其逆序数为其逆序数为0;0;1 1的前面比的前面比1 1大的数有大的数有3 3个个,故逆序数为故逆序数为3;3;4 4的前面比的前面比4 4大的数有大的数有1 1个个,故逆序数为故逆序数为1;1;于是排列于是排列3251432514的逆序数为的逆序数为10第一章第一章 行列式行列式本讲稿第十页，共十六页定义定义 把一个排列中任意两个元素的位置互换，而其余把一个排列中任意两个元素的位置互换，而其余的元素
6、不动，就得到另一个排列，这样一个变换叫做的元素不动，就得到另一个排列，这样一个变换叫做对对换换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换经过经过1，2对换，排列对换，排列 2431 就变成了就变成了 1432；例如，例如，排列排列 2134 就变成了就变成了 1234。11第一章第一章 行列式行列式本讲稿第十一页，共十六页定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性改变奇偶性证明证明先证相邻对换的情形，设排列为先证相邻对换的情形，设排列为对换对换 与与 显然，在排列显然，在排列（1）中，中，a,b与其它元素构成逆序，与其它
7、元素构成逆序，12第一章第一章 行列式行列式 则在排列则在排列（2）中仍然构成逆序，中仍然构成逆序，如不构成逆序则在如不构成逆序则在（2）中也不构成逆序；中也不构成逆序；本讲稿第十二页，共十六页因此，对于相邻对换的情形，定理是对的。因此，对于相邻对换的情形，定理是对的。如果原来如果原来 a,b 组成逆序，那么经过对换，逆序数就组成逆序，那么经过对换，逆序数就减少一个；减少一个；如果原来如果原来 a,b 不组成逆序，那么经过换，逆序数就增不组成逆序，那么经过换，逆序数就增加一个加一个.无论是增加无论是增加 1 1还是减少还是减少 1 1，排列的逆序数的奇偶性总，排列的逆序数的奇偶性总是变了是变了
8、.13第一章第一章 行列式行列式不同的只是不同的只是 a,b 的次序。的次序。本讲稿第十三页，共十六页经过对换经过对换 ，再证一般对换的情形再证一般对换的情形设排列为设排列为排列（排列（3 3）变为）变为 不难看出，这样一个对换可以经过一系列相邻对不难看出，这样一个对换可以经过一系列相邻对换来实现。换来实现。14第一章第一章 行列式行列式本讲稿第十四页，共十六页 次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换 2m+1 是奇数，相邻对换改变排列的奇偶性，是奇数，相邻对换改变排列的奇偶性，故这两个排列的奇偶性相反故这两个排列的奇偶性相反.15第一章第一章 行列式行列式本讲稿第十五页，共十六页推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，证明证明 由定理由定理1 1知对换的次数就是排列知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0),0),因此，知推论成立因此，知推论成立.16第一章第一章 行列式行列式偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.本讲稿第十六页，共十六页