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1、数论与有限域 第五章第1页，共100页，编辑于2022年，星期六 通通过过前前面面的的学学习习，我我们们已已经经知知道道对对于于给给定定的的两两个个整整数数a和和b，利利用用带带余余数数除除法法一一定定会会找找到到一一个个整整数数q以以及及一一个个非非负负整整数数r，使使得得a=qb+r，在在后后面面的的学学习习过过程程中中，还还会会发发现现，这这个个规规则则对对于于多多项项式式，高高斯斯整整数数等等也也是是成成立立的的。于于是是，人人们们为为了了将将这这样样一一大大类类的的研研究究对对象象进进行行统统一一处处理理，引引入入了了一一个个新新的的概概念念欧欧氏氏环环。如如此此，就就可可以以在在欧
2、欧氏氏环环中中做做我我们们所所熟熟知知的的除除法法，因因子子分分解解等等等等，许许多多的的结结论论我我们们不不必必再再分分别别对对整整数数，多多项项式式，高高斯斯整整数数等等一一一一验验证证，只只要要知知道道是是欧欧氏氏环环，那那么么相相应应的的结结论论就就是正确的。是正确的。类似这样的一套由具体到抽象的理论是由一些伟大类似这样的一套由具体到抽象的理论是由一些伟大的数学家迦罗瓦，阿贝尔等将我们所熟知的数上的一些的数学家迦罗瓦，阿贝尔等将我们所熟知的数上的一些理论加以高度概括，提炼出来的结果称之为近世代数理论加以高度概括，提炼出来的结果称之为近世代数又称之为又称之为抽象代数抽象代数。和我们已经接
3、触到的经典代数中的初等。和我们已经接触到的经典代数中的初等代数、高等代数和线性代数不同，其研究对象不再是代数方程代数、高等代数和线性代数不同，其研究对象不再是代数方程和线性方程组，而是和线性方程组，而是代数系统代数系统。第2页，共100页，编辑于2022年，星期六定定义义设设S是是任任意意一一个个集集合合，并并记记SSS为为所所有有有有序序对对(s1,s2,sn)，si S，1in，所所构构成成的的集集合合，则则称称由由SSS到到S的的映映射射为为集集合合S上上的的（n元元）代代数数运运算算，并并称称由由集集合合S以以及及定定义义在在集集合合S上上的的一一个个或或多多个个代代数数运运算构成的系
4、统为代数系统或代数结构。算构成的系统为代数系统或代数结构。在在 这这 个个 定定 义义 中中，要要 求求 有有 序序 对对(s1,s2,sn)SSS的的像像必必须须在在集集合合S中中，即即运运算算要要满满足足封封闭闭性。性。例如例如，由整数集合，由整数集合Z以及定义在其上的整数加法运算以及定义在其上的整数加法运算“+”所构成的系统就是一个代数系统；而由整数集合所构成的系统就是一个代数系统；而由整数集合Z和整数加法运算和整数加法运算“+”以及乘法运算以及乘法运算“”所构成的系统所构成的系统也是一个代数系统，也是一个代数系统，第3页，共100页，编辑于2022年，星期六第一节第一节 群群定定义义5
5、.1.1 设设G是是定定义义了了二二元元运运算算“”的的非非空空集集合合，如如果果在在集合集合G中：中：a,b,c G，有，有(ab)c=a(bc)；存在一个特殊的元素存在一个特殊的元素e，使得，使得 a G，有，有ea=ae=a；a G，可以找到一个特殊的元素，可以找到一个特殊的元素a1 G，使得，使得aa1=a1a=e。则称则称G,为群，并称元素为群，并称元素e为群为群G,的单位元，而称的单位元，而称a1为元素为元素a的逆元。的逆元。定义定义5.1.2若对群若对群G,中任意的元素中任意的元素a，b，有，有ab=ba，即运算，即运算“”满足交换律，则称该群为阿贝尔（或满足交换律，则称该群为阿
6、贝尔（或可换）群。可换）群。第4页，共100页，编辑于2022年，星期六第一节第一节 群群例例5.1.1证明证明(Z,+)构成阿贝尔群，构成阿贝尔群，(Z,)不构成群。不构成群。证证明明：由由整整数数加加法法的的运运算算性性质质知知加加法法运运算算满满足足封封闭闭性性(即即任任意意两两个个整整数数做做加加法法还还是是整整数数)，结结合合律律与与交交换换律律，同同时容易验证：时容易验证：整数整数0是整数集合在加法运算下的单位元；是整数集合在加法运算下的单位元；对任意的整数对任意的整数a，都可以找到其对应地逆元，都可以找到其对应地逆元a。因而因而(Z,+)构成阿贝尔群。构成阿贝尔群。虽虽然然容容易
7、易验验证证整整数数集集合合在在乘乘法法运运算算下下有有单单位位元元1，但但是是对对任任意意的的整整数数a1都都找找不不到到其其对对应应的的逆逆元元。因因而而(Z,)不构成群。不构成群。第5页，共100页，编辑于2022年，星期六第一节第一节 群群例例5.1.1证明证明(Z,+)构成阿贝尔群，构成阿贝尔群，(Z,)不构成群。不构成群。证证明明：由由整整数数加加法法的的运运算算性性质质知知加加法法运运算算满满足足封封闭闭性性(即即任任意意两两个个整整数数做做加加法法还还是是整整数数)，结结合合律律与与交交换换律律，同时容易验证：同时容易验证：整数整数0是整数集合在加法运算下的单位元；是整数集合在加
8、法运算下的单位元；对任意的整数对任意的整数a，都可以找到其对应地逆元，都可以找到其对应地逆元a。因而因而(Z,+)构成阿贝尔群。构成阿贝尔群。虽虽然然容容易易验验证证整整数数集集合合在在乘乘法法运运算算下下有有单单位位元元1，但但是是对对任任意意的的整整数数a1都都找找不不到到其其对对应应的的逆逆元元。因因而而(Z,)不构成群。不构成群。第6页，共100页，编辑于2022年，星期六第一节第一节 群群例例5.1.2 给给定定由由模模4的的全全体体剩剩余余类类构构成成的的集集合合Z4=0,1,2,3，则则可可对对Z4定定义义加加法法“+”运运算算：i+j=i+j。该该“+”运算可用如下运算表来完全
9、刻划运算可用如下运算表来完全刻划表表51 群群Z4,+中运算表中运算表在如上定义的在如上定义的“+”运算下，运算下，Z4,+构成群。构成群。+012300123112302230133012第7页，共100页，编辑于2022年，星期六第一节第一节 群群例例5.1.1证明证明(Z,+)构成阿贝尔群，构成阿贝尔群，(Z,)不构成群。不构成群。证证明明：由由整整数数加加法法的的运运算算性性质质知知加加法法运运算算满满足足封封闭闭性性(即即任任意意两两个个整整数数做做加加法法还还是是整整数数)，结结合合律律与与交交换换律律，同时容易验证：同时容易验证：整数整数0是整数集合在加法运算下的单位元；是整数集
10、合在加法运算下的单位元；对任意的整数对任意的整数a，都可以找到其对应地逆元，都可以找到其对应地逆元a。因而因而(Z,+)构成阿贝尔群。构成阿贝尔群。虽虽然然容容易易验验证证整整数数集集合合在在乘乘法法运运算算下下有有单单位位元元1，但但是是对对任任意意的的整整数数a1都都找找不不到到其其对对应应的的逆逆元元。因因而而(Z,)不构成群。不构成群。第8页，共100页，编辑于2022年，星期六第一节第一节 群群由上述运算表易知由上述运算表易知Z4对该加法对该加法“+”运算封闭；运算封闭；“+”满足结合律；满足结合律；由于对任意的元素由于对任意的元素a Z4，都有，都有0+a=0+a=a+0=a+0=
11、a，因而因而0为为Z4中的加法零元；中的加法零元；而对而对Z4中任意的元素中任意的元素a，都可以找到，都可以找到Z4中的元素中的元素a，使得，使得a+a=a+a=0=a+(a)=a+a，因而因而Z4中的每个元素都有负元，具体地中的每个元素都有负元，具体地0的负元是自身，的负元是自身，1的负元为的负元为1=3，2的负元是的负元是2=2，3的负元为的负元为3=1。因因而而Z4,+构构成成了了加加法法群群，称称之之为为整整数数模模4的的剩剩余余类类加加群群。利利用用同同样样的的证证明明过程，可以得到整数模的剩余类加群过程，可以得到整数模的剩余类加群Zn,+。第9页，共100页，编辑于2022年，星期
12、六第一节第一节 群群一一般般地地，在在乘乘法法群群中中，一一个个元元素素a G作作n次次运运算算的的结结果果可可以以记记为为an=aaa，同同时时称称an为为a的的n次次幂幂；而而在在加加法法群群中中，一一个个元元素素a G作作n次次运运算算的的结结果果则则可可以以记记为为na=a+a+a。并并且且类类似似于于普普通通的的数数的的集集合合中中的的加加法法和和乘乘法法运运算算，群群中中的加法和乘法运算具有如下性质的加法和乘法运算具有如下性质对于乘法：对于乘法：a-n=(a-1)n，anam=an+m，(am)n=anm;对于加法：对于加法：(-n)a=n(-a)，na+ma=(n+m)a，m(n
13、a)=(mn)a。在在n=0时时，作作如如下下约约定定：在在乘乘法法记记号号中中a0=e；在在加加法法记记号号中中0a=0，其中最后一个，其中最后一个“0”为加法群中的零元。为加法群中的零元。第10页，共100页，编辑于2022年，星期六第一节第一节 群群定定义义5.1.3 设设a为为群群G中中的的元元素素，则则称称使使得得an=e的的最最小小正正整整数数n为为元元素素a的的阶阶，记记为为|a|，如如果果这这样样的的n不不存存在在，则则称称a的的阶阶为无限（或称是零）。为无限（或称是零）。由由定定义义5.1.3可可知知，群群中中单单位位元元的的阶阶是是l，而而其其他他任任何何元元素素的的阶阶都
14、都大大于于1，例例如如在在非非零零有有理理数数乘乘法法群群中中，单单位位元元1的的阶阶是是1，而元素，而元素1的阶是的阶是2，其余元素的阶均为无限。，其余元素的阶均为无限。定义定义5.1.4 群群G中的元素个数称为中的元素个数称为G的阶，通常记为的阶，通常记为|G|。例例5.1.3 集集合合G=1,1,i,i关关于于数数的的普普通通乘乘法法作作成成群群，即即4次次单单位位根根群群。其其中中群群G的的阶阶为为4，元元素素l的的阶阶是是l，1的的阶阶是是2，而虚单位根而虚单位根i与与i的阶都是的阶都是4。第11页，共100页，编辑于2022年，星期六第一节第一节 群群定定义义5.1.5 设设S为为
15、定定义义了了代代数数运运算算“”的的任任一一非非空空集集合合。若若在在集集合合S中中，运运算算“”满满足足封封闭闭性性与与结结合合律律，则则称称S,为半群。为半群。例例5.1.4 设设A=1,2,3,4，而而令令S为为A的的全全部部子子集集构构成成的的集集合合（通通常称之为常称之为A的幂集），则易知的幂集），则易知S,及及S,都是半群。都是半群。第12页，共100页，编辑于2022年，星期六第二节第二节 子群、陪集与拉格朗日子群、陪集与拉格朗日定理定理 一、子群一、子群二、二、陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理 第13页，共100页，编辑于2022年，星期六一、一、子群子群定定义义5.1.5
16、 如如果果群群G的的子子集集H对对于于群群G的的运运算算也也构构成成了了群群，则则称称H为为群群G的的子群，并称群子群，并称群G的除了的除了e和和G之外的子群为之外的子群为G的真子群。的真子群。例如容易验证所有偶数构成的集合就是整数加法群的真子群。例如容易验证所有偶数构成的集合就是整数加法群的真子群。定定义义5.1.6 如如果果群群G中中存存在在一一个个子子集集H，使使得得子子集集H中中的的任任意意元元素素b，都都可可以以表表示示为为H中中某某个个特特殊殊的的元元素素a的的幂幂次次，则则称称子子集集H为为群群G的的循循环环子子群群，而而称称元元素素a为为H的的生生成成元元，记记为为H=(a)。
17、特特别别地地，若若H=G，则则称称群群G为为循环群。循环群。例例5.1.5 容容易易验验证证整整数数模模4的的剩剩余余类类加加群群Z4中中的的任任意意元元素素都都可可以以由由元元素素1做若干次运算而得到做若干次运算而得到，即即1是是Z4的生成元。的生成元。第14页，共100页，编辑于2022年，星期六一、一、子群子群显显然然循循环环群群的的乘乘法法满满足足交交换换律律，故故循循环环群群都都是是可可换换群群。同同时时一一个个循循环环群群的的生生成成元元很很可可能能不不止止一一个个。例例如如容容易易证证明明3也也是是整数模整数模4的剩余类加群的剩余类加群Z4的生成元。的生成元。推推论论5.1.1由
18、由群群G中中一一个个固固定定的的元元素素a的的所所有有幂幂次次所所构构成成的的子子群群，称为由称为由a生成的子群，记为（生成的子群，记为（a）。）。子子群群（a）必必然然是是循循环环群群，并并且且若若这这个个子子群群的的阶阶是是有有限限的的，则则此此子子群群的的阶阶就就是是元元素素a的的阶阶，而而若若子子群群的的阶阶是是无无限限的的，则则元素元素a的阶也是无限的。的阶也是无限的。第15页，共100页，编辑于2022年，星期六二、陪集与拉格朗日定理二、陪集与拉格朗日定理 定定义义5.1.7(集集合合的的积积)设设X和和Y是是群群G的的两两个个非非空空子子集集，于于是是子子集集X与与Y 的的积积记
19、记为为 XY=xy|x X,y Y。特特别别地地，如如果果Y=y是是一一个个单单元元素素集集，而而子子集集X=x1,x2,，那那么么子子集集X和和Y的的积积为为XY=x1y,x2y,，此此时时我我们们记记XY为为Xy，并并称称Xy为为元元素素y右乘右乘X的积。的积。定定 义义 5.1.8 设设H为为 群群G的的 子子 群群，a G，则则 称称 群群G的的 子子 集集aH=ax|x H为为 群群G关关 于于 子子 群群H的的 一一 个个 左左 陪陪 集集，而而 称称Ha=xa|x H为为群群G关关于于子子群群H的的一一个个右右陪陪集集。同同时时称称a为为代表元。代表元。第16页，共100页，编辑
20、于2022年，星期六二、陪集与拉格朗日定理二、陪集与拉格朗日定理 定定理理5.1.1设设H为为群群G的的子子群群，则则 a，b G，Ha=Hb与与下下面面两两个条件等价个条件等价a Hb ab1 H证明证明：(a HbHa=Hb)：设：设a Hb，则存在，则存在hH使得使得a=hb，因而，因而h1a=h1hb=b，即，即b=h1a。首先首先 x Ha，存在，存在h1 H使得使得x=h1a=h1(hb)=(h1h)b，由子群由子群H对乘法运算的封闭性得到对乘法运算的封闭性得到h1h H，因而，因而x=(h1h)b Hb，故，故Ha Hb。第17页，共100页，编辑于2022年，星期六二、陪集与拉
21、格朗日定理二、陪集与拉格朗日定理 (a HbHa=Hb)：h1a=h1hb=b，即，即b=h1a。其次其次 y Hb，存在，存在h2 H使得使得y=h2b=h2(h1a)=(h2h1)a，由子群由子群H对乘法运算的封闭性得到对乘法运算的封闭性得到h2h1 H，因而，因而y=(h2h1)a Ha，故，故Hb Ha。综上，得到综上，得到Ha=Hb。(Ha=Hbab1 H)：设设Ha=Hb，则则 ha Ha，都都存存在在h H，使得，使得ha=hb，即，即ab1=h1h H，进而，进而ab1 H。(ab1Ha Hb)：设设ab1 H，则则存存在在h H，使使得得ab1=h，于是，于是a=hb Hb，
22、即，即a Hb。第18页，共100页，编辑于2022年，星期六二、陪集与拉格朗日定理二、陪集与拉格朗日定理 定理定理5.1.2 设设H为群为群G的子群，的子群，a，b G，则，则a Ha；右右陪陪集集Ha与与Hb或或者者相相等等或或者者相相交交为为空空集集，即即Ha=Hb或或HaHb=；G=证明证明：因因为为H为为群群G的的子子群群，所所以以H中中有有单单位位元元e，使使得得 a G，有，有a=ea Ha；第19页，共100页，编辑于2022年，星期六二、陪集与拉格朗日定理二、陪集与拉格朗日定理 若若HaHb，则存在，则存在x HaHb，由由x Ha，可以得到，可以得到Hx=Ha，而由而由x
23、Hb，又可以得到，又可以得到Hx=Hb，所以所以Ha=Hb；第20页，共100页，编辑于2022年，星期六二、陪集与拉格朗日定理二、陪集与拉格朗日定理 因因为为每每个个右右陪陪集集Ha都都是是G的的子子集集，所所以以这这些些右右陪陪集的并也是集的并也是G的子集，即的子集，即另一方面，另一方面，g G，由，由1)知知g Hg，而显然有，而显然有所以所以g ，由，由g的任意性得到的任意性得到所以所以第21页，共100页，编辑于2022年，星期六二、陪集与拉格朗日定理二、陪集与拉格朗日定理 由定理由定理5.1.2我们看到：我们看到：每个右陪集的代表元都含在该右陪集内，每个右陪集的代表元都含在该右陪集
24、内，任两个右陪集要么相等，要么不相交，任两个右陪集要么相等，要么不相交，将将不不重重复复的的全全部部右右陪陪集集并并起起来来以以后后恰恰好好等等于于整整个个群群G，即群即群G的所有右陪集构成了的所有右陪集构成了G的一个划分。的一个划分。定定义义5.1.9 设设H为为群群G的的子子群群，由由上上述述定定理理决决定定的的G的的划划分分G=称为称为G的一个右陪集分解。的一个右陪集分解。第22页，共100页，编辑于2022年，星期六二、陪集与拉格朗日定理二、陪集与拉格朗日定理 定定义义5.1.9 设设H为为群群G的的子子群群，由由上上述述定定理理决决定定的的G的的划划分分G=称为称为G的一个右陪集分解
25、。的一个右陪集分解。特别地，由上可见群特别地，由上可见群G的右陪集分解具有如下特点：的右陪集分解具有如下特点：分分解解式式中中必必含含有有子子群群(即即以以单单位位元元为为代代表表的的右右陪陪集集)而其余的右陪集都不是而其余的右陪集都不是G的子群；的子群；右陪集分解式中出现的右陪集彼此都不相交；右陪集分解式中出现的右陪集彼此都不相交；分解式中每个右陪集的代表元都可以适当替换。分解式中每个右陪集的代表元都可以适当替换。第23页，共100页，编辑于2022年，星期六二、陪集与拉格朗日定理二、陪集与拉格朗日定理 设设H为群为群G的子群，若记的子群，若记SR=Ha|a G,SR为为H的所有不重复的右陪
26、集做成的集合，的所有不重复的右陪集做成的集合，SL=cH|c G，SL为为H的全部不重复的左陪集做成的集合。的全部不重复的左陪集做成的集合。则则左左陪陪集集将将与与右右陪陪集集具具有有完完全全相相似似的的性性质质。同同时时有有如如下结论下结论定理定理5.1.3 设设H为群为群G的子群，则的子群，则SR与与SL之间存在双射。之间存在双射。第24页，共100页，编辑于2022年，星期六二、陪集与拉格朗日定理二、陪集与拉格朗日定理 定理定理5.1.3 设设H为群为群G的子群，则的子群，则SR与与SL之间存在双射。之间存在双射。证明证明：作：作:SRSL，其中，其中(Ha)=a1H。(必是映射必是映射
27、)：Ha，Hb SR，若，若Ha=Hb，则，则 ab1 H，即存在，即存在h H，使得，使得ab1=h，即即b1=a1h，进而进而b1 a1H，故，故a1H=b1H，即，即(Ha)=(Hb)，这说明这说明是个映射。是个映射。第25页，共100页，编辑于2022年，星期六二、陪集与拉格朗日定理二、陪集与拉格朗日定理 定理定理5.1.3 设设H为群为群G的子群，则的子群，则SR与与SL之间存在双射。之间存在双射。证明证明：作：作:SRSL，其中，其中(Ha)=a1H。(必是满射必是满射)：cH SL，存在，存在Hc1 R，使，使 (Hc1)=(c1)1H=cH，所以所以必是满射。必是满射。(必必是
28、是单单射射)：设设(Ha)=a1H，若若a1H=b1H，则则ab1H=H，即存在，即存在h1，h2 H，使得，使得 ab1h1=h2，即即ab1=h2h11，进而进而a=h2h11b，即即 h21a=h11b，故故Ha=Hb，所以，所以必是单射。必是单射。综上知综上知必是双射。必是双射。第26页，共100页，编辑于2022年，星期六二、陪集与拉格朗日定理二、陪集与拉格朗日定理 定定义义5.1.10若若H为为群群G的的子子群群，则则称称H的的右右(左左)陪陪集集的的个个数数为为H在在G中的指数，记为中的指数，记为G:H。引引理理5.1.1设设H为为群群G的的子子群群，则则H与与H的的任任一一个个
29、右右陪陪集集Ha之之间都存在双射。间都存在双射。证明证明:设设:HHa，其中，其中 h H，有，有(h)=ha。h H，作作为为h在在下下的的象象ha是是唯唯一一确确定定的的，所所以以是是映射。映射。ha Ha，显然，显然ha有原象有原象h，所以，所以是满射。是满射。设设(h1)=h1a，(h2)=h2a，若，若h1a=h2a，则，则h1aa1=h2aa1，即，即h1=h2，所以，所以必是单射。必是单射。综上知综上知是双射。是双射。第27页，共100页，编辑于2022年，星期六二、陪集与拉格朗日定理二、陪集与拉格朗日定理 定定理理5.1.4(拉拉格格朗朗日日定定理理)设设H为为群群G的的子子群
30、群，若若|G|=N，|H|=n，且，且G:H=j，则，则N=nj。证明证明：因为：因为G:H=j，即，即H在群在群G中的右陪集只有中的右陪集只有j个，个，从而有从而有G的右陪集分解：的右陪集分解：G=Ha1Ha2Ha3Haj，其中，其中Ha1=H。由引理由引理5.1.1知，知，|Ha1|=|Ha2|=|Ha3|=|Haj|=n，所以所以|G|=|Ha1|j，即，即N=nj。由等式由等式“N=nj”知子群知子群H的阶的阶n是是G的阶的阶N的因子，于是的因子，于是第28页，共100页，编辑于2022年，星期六二、陪集与拉格朗日定理二、陪集与拉格朗日定理 推推论论 5.1.2 设设G为为有有限限群群
31、，则则 aG，其其阶阶m必必是是|G|的的因因子子，即即|a|G|。证证明明：设设以以元元素素a生生成成G的的一一个个循循环环子子群群H=(a)，则则由由拉拉格格朗日定理知朗日定理知|H|G|，但但|H|=m，所以，所以m|G|，即即|a|G|。第29页，共100页，编辑于2022年，星期六第三节第三节 环环一、环的定义一、环的定义二、二、陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理 第30页，共100页，编辑于2022年，星期六一、环的定义一、环的定义定定义义5.2.1 设设在在非非空空集集合合R中中定定义义了了两两个个二二元元运运算算“+”与与“”，如果在集合，如果在集合R中中R,+构成阿贝尔群；
32、构成阿贝尔群；R,构成半群；构成半群；乘乘法法“”对对加加法法“+”满满足足左左、右右分分配配律律，即即 a,b,c R，有有a(b+c)=ab+ac，且，且(b+c)a=ba+ca。则称则称R,+,为环。为环。例例5.2.1在在环环R,+,中中，取取集集合合R为为整整数数集集Z，“+”和和“”为为整整数数的的加加法法和和乘乘法法运运算算，则则容容易易验验证证R,+,构构成成环环，称称之之为为整整数数环环，记记为为Z。同同理理还还可可以以得得到到有有理理数数环环，实实数数环环，复复数数环环，由由于于这这四四个个环环都都是是由由数数的的集集合合组组成成的的，故故均均称称之之为为数环数环。第31页
33、，共100页，编辑于2022年，星期六一、环的定义一、环的定义例例5.2.2 设设集集合合Zi=a+bi|a,b Z，则则按按照照整整数数加加法法运运算算，集合集合Zi也构成了环，称为高斯整数环。也构成了环，称为高斯整数环。例例5.2.3 模模m的的剩剩余余类类环环Zm,+,，前前边边我我们们曾曾讨讨论论了了模模m的的剩剩余余类类加加群群Zm,+，这这里里再再为为Zm定定义义一一个个乘乘法法“”：ij=ij，于于是是可可以以验验证证Zm,+,构构成成一一个个环环。为为了了便于理解，这里特取便于理解，这里特取m=7，接下来证明，接下来证明Z7,+,构成环。构成环。第32页，共100页，编辑于20
34、22年，星期六一、环的定义一、环的定义例例5.2.3 证明证明Z7,+,构成环。构成环。事实上：事实上：Z7,+正是模正是模7剩余类加群；剩余类加群；Z7,是是半半群群：由由下下边边的的乘乘法法运运算算表表可可知知Z7,对对乘乘法法运算封闭，且满足结合律；运算封闭，且满足结合律；+012345600000000101234562024613530362514404152635053164260654321第33页，共100页，编辑于2022年，星期六一、环的定义一、环的定义例例5.2.3 证明证明Z7,+,构成环。构成环。a,b,c Z7，有，有a(b+c)=ab+c =a(b+c)=ab+a
35、c =ab+ac =ab+ac，同理同理(b+c)a=ba+ca，因而因而Z7,+,构成环。构成环。第34页，共100页，编辑于2022年，星期六一、环的定义一、环的定义 环环R,+,在在集集合合R上上定定义义了了两两个个二二元元运运算算，并并且且这这两两个个二二元元运运算算通通过过分分配配律律建建立立了了彼彼此此的的联联系系，但但同同时时注注意意到到集集合合R对对于于乘乘法法只只要要求求构构成成半半群群乘乘法法满满足足封封闭闭性性和和结结合合律律，所所以以为为环环在在乘乘法法方方面面留留下下了了很很大大的的发发展展空空间间，一一旦旦某某些些乘乘法法再再满满足足其其它它一一些些条条件件，就就可
36、可以以得得到到一一些些特特殊殊类类型的环。型的环。首先引入如下定义首先引入如下定义定义定义5.2.2若环若环R中存在非零元素中存在非零元素a和和b，使得，使得ab=0，则称，则称a是是R的一个左零因子，的一个左零因子，b是是R的一个右零因子，进一步地，的一个右零因子，进一步地，若环若环R中的元素中的元素a既是左零因子，又是右零因子，则称既是左零因子，又是右零因子，则称a为为零因子零因子。第35页，共100页，编辑于2022年，星期六一、环的定义一、环的定义例例5.2.4容易验证在环容易验证在环Z6,+,中，有中，有23=0，因而，因而2是是Z6的一个左零因子，同时的一个左零因子，同时3是是Z6
37、的一个右零因子，又由的一个右零因子，又由32=0，知，知2也是也是Z6的一个右零因子，的一个右零因子，3也是也是Z6的一的一个左零因子，而因而个左零因子，而因而2和和3都是都是Z6的零因子。但是观察环的零因子。但是观察环Z7,+,的乘法运算表的乘法运算表2，我们会发现找不到这样的非零元，我们会发现找不到这样的非零元素素a与与b，故环，故环Z7,+,中既无左零因子，也无右零因子。中既无左零因子，也无右零因子。注注：在环：在环R中中左左零零因因子子和和右右零零因因子子这这两两个个概概念念彼彼此此依依赖赖，有有左左零零因因子子有右零因子；有右零因子；若若a是是R的左零因子，一般的左零因子，一般a未必
38、同时是未必同时是R的右零因子；的右零因子；若环若环R是交换环，则是交换环，则R的每个左的每个左(或右或右)零因子都是零因子。零因子都是零因子。第36页，共100页，编辑于2022年，星期六一、环的定义一、环的定义定义定义5.2.3若环若环R中没有左零因子中没有左零因子(自然也就没有右零因子自然也就没有右零因子)，则称环，则称环R为无零因子环。为无零因子环。进一步地，进一步地，定义定义5.2.4 若环若环R,+,中具有乘法运算的单位元，则称环中具有乘法运算的单位元，则称环R,+,为有单为有单位元环。位元环。若环若环R,+,中的乘法运算满足交换律，则称环中的乘法运算满足交换律，则称环R为可换环。为
39、可换环。一个不含零因子的交换环称为整环。一个不含零因子的交换环称为整环。若环若环R,+,中的非零元在乘法运算下构成群，则称环中的非零元在乘法运算下构成群，则称环R,+,为除环。为除环。可交换的除环称为域。可交换的除环称为域。第37页，共100页，编辑于2022年，星期六一、环的定义一、环的定义注意注意：环中的乘法单位元显然不只代表整数环中的乘法单位元显然不只代表整数1，例如例如Z7,+,中的单位元为中的单位元为1；并不是每个环都有单位元，例如偶数环。并不是每个环都有单位元，例如偶数环。若环若环R中有单位元中有单位元,则这个单位元必是唯一的。则这个单位元必是唯一的。例例5.2.5所有数环以及剩余
40、类环所有数环以及剩余类环Zm都是可换环。都是可换环。整数环，模整数环，模m剩余类环剩余类环(m为素数时为素数时)都是整环；都是整环；而偶数环而偶数环(无单位元无单位元)，模，模m剩余类环剩余类环(m为合数时，有零因子为合数时，有零因子)不是整环。不是整环。第38页，共100页，编辑于2022年，星期六一、环的定义一、环的定义接下来，有必要对域的概念及性质做进一步地强调。接下来，有必要对域的概念及性质做进一步地强调。首先，域是定义了两个二元运算加法和乘法的非空集合。首先，域是定义了两个二元运算加法和乘法的非空集合。该集合对加法构成了阿贝尔群，其加法的零元记为该集合对加法构成了阿贝尔群，其加法的零
41、元记为0；集合中的所有非零元对乘法也构成了阿贝尔群，其乘集合中的所有非零元对乘法也构成了阿贝尔群，其乘法的单位元记为法的单位元记为e，且，且0e。两个二元运算乘法和加法通过分配律两个二元运算乘法和加法通过分配律a(b+c)=ab+ac联系联系在一起。在一起。前面曾介绍的很多数环都是域前面曾介绍的很多数环都是域(称为数域称为数域)，例如有理数域，例如有理数域Q，实数域，实数域R，复数域，复数域C。定义定义5.2.5只包含有限个元素的域称为有限域，或迦罗瓦域。只包含有限个元素的域称为有限域，或迦罗瓦域。第39页，共100页，编辑于2022年，星期六一、环的定义一、环的定义定理定理5.2.1 若若p
42、是素数，则模是素数，则模p的剩余类环的剩余类环Zp构成域。构成域。证明证明：首先首先模模p的剩余类环的剩余类环Zp是不含零因子的可换环，即整环。是不含零因子的可换环，即整环。否则设否则设a是是Zp的任意一个零因子，则的任意一个零因子，则 存在存在b Zp，且，且b0，使得，使得ab=0，由由b0，得到，得到p b，而由而由ab=ab=0，又知，又知p|ab。故故p|a，即，即a=0，也即，也即Zp的零因子只有的零因子只有0，故故Zp是整环。是整环。其次其次易知易知Zp有单位元有单位元1。第40页，共100页，编辑于2022年，星期六一、环的定义一、环的定义最后最后由域的定义只需证明每个非零元素
43、由域的定义只需证明每个非零元素a都有逆元即可。都有逆元即可。为此，为此，x Zp，作映射，作映射f:xax，则，则 由乘法运算的封闭性知由乘法运算的封闭性知ax Zp，即，即f(Zp)Zp。若若f(Zp)=Zp，则，则必定可以找到一个必定可以找到一个x Zp，使得，使得ax=1，即，即x=a1。下面证明下面证明f(Zp)=Zp。第41页，共100页，编辑于2022年，星期六一、环的定义一、环的定义下面证明下面证明f(Zp)=Zp。由于由于f(Zp)=ax|x Zp，故当，故当x取遍取遍Zp时，时，ax取遍取遍Zp，且，且若若x1x2，则由中无零因子知，则由中无零因子知ax1ax2，因而因而|f
44、(Zp)|=|Zp|，即集合即集合f(Zp)与与Zp有相同个数的元素，因而有相同个数的元素，因而结合结合f(Zp)Zp，就得到，就得到f(Zp)=Zp。第42页，共100页，编辑于2022年，星期六一、环的定义一、环的定义定定义义5.2.6（子子环环）若若环环R的的一一个个子子集集S在在环环R的的加加法法和和乘乘法法运运算下也构成环，则称算下也构成环，则称S为为R的子环。的子环。类似地可以给出如下子整环，子除环和子域的定义。类似地可以给出如下子整环，子除环和子域的定义。定定义义5.2.7若若整整环环（除除环环或或域域）R的的子子集集S在在整整环环（除除环环或或子子域域）R的的加加法法和和乘乘法
45、法运运算算下下也也构构成成整整环环（除除环环或或域域），则则称称S为为整环（除环或域）整环（除环或域）R的子整环（子除环或子域）。的子整环（子除环或子域）。例例5.2.6容易验证整数模容易验证整数模7的剩余类环的剩余类环Z7中的子集中的子集S=0,1,2,4构成了构成了Z7的子环，且该子环还是一个子域，其的子环，且该子环还是一个子域，其中中1为单位元，而为单位元，而2与与4互为逆元。互为逆元。第43页，共100页，编辑于2022年，星期六一、环的定义一、环的定义定定义义5.2.8（理理想想）设设I是是环环R的的一一个个子子环环，若若 a I，r R，都都有有ra I（或或ar I），则则称称I
46、是是R的的一一个个左左理理想想（或或右右理理想想）；若若 a I，r R，都都有有ar I且且ra I，则称，则称I是是R的一个理想。的一个理想。例例5.2.7任任一一个个环环R至至少少都都有有如如下下两两个个理理想想：0零零理理想想，R单单位位理理想想，统统称称为为环环R的的平平凡凡理理想想，而而将将其其它它理理想想(若存在若存在)称之为环称之为环R的真理想。的真理想。例例5.2.8容易验证偶数环是整数环的理想。容易验证偶数环是整数环的理想。第44页，共100页，编辑于2022年，星期六二、多项式环二、多项式环设设R是任意环，则是任意环，则环环R上的多项式上的多项式可以表示为可以表示为f(x
47、)=a0+a1x+anxn，其其中中n为为非非负负整整数数，系系数数ai为为环环R上上的的元元素素，x是是不不属属于于环环R的一个符号，称为环的一个符号，称为环R上的不定元。上的不定元。约约定定当当系系数数ai=0时时，项项aixi可可以以不不写写，在在此此约约定定下下，上上面面的的多项式也可以等价地表述为多项式也可以等价地表述为f(x)=a0+a1x+anxn+0 xn+1+0 xn+h，其中其中h为任意正整数。为任意正整数。如如 此此 对对 环环R上上 的的 两两 个个 多多 项项 式式 f(x)=a0+a1x+anxn与与g(x)=b0+b1x+bmxm进进行行比比较较时时，就就可可以以
48、假假设设他他们们都具有相同的幂指数，都具有相同的幂指数，即即m=n。环环R上的两个多项式上的两个多项式f(x)=g(x)ai=bi，0in。第45页，共100页，编辑于2022年，星期六二、多项式环二、多项式环两个多项式两个多项式f(x)与与g(x)的加法与乘法运算分别定义为的加法与乘法运算分别定义为f(x)+g(x)=(a0+b0)+(a1+b1)x+(an+bn)xn，f(x)g(x)=c0+c1x+cn+mxn+m，容容易易验验证证环环R上上的的多多项项式式集集在在定定义义了了如如上上的的多多项项式式的的和和与与乘乘积积运运算算之之后后构构成成环环。称称之之为为环环R上上的的多多项项式式
49、环环，记为记为Rx。Rx中中的的零零元元是是系系数数全全为为零零的的多多项项式式，这这个个多多项项式式称称为为零多项式，记为零多项式，记为0。第46页，共100页，编辑于2022年，星期六二、多项式环二、多项式环定定义义5.2.9设设f(x)=a0+a1x+anxn为为环环R上上的的一一个个非非零零多多项项式式，故故可可设设an0，并并称称an为为多多项项式式f(x)的的首首系系数数，a0为为f(x)的的常常数数项项，而而n称称为为f(x)的的次次数数，记记n=deg(f(x)=deg(f)。并并约约定定deg(0)=。次次数数0的的多多项项式式称称为为常常数数多多项项式式。若若环环R有有单单
50、位位元元1且且f(x)的的首首系系数数为为1，就就称称f(x)为首一多项式。为首一多项式。例例5.2.9 多多项项式式环环Z7x中中，多多项项式式f(x)=6x5+5x4+x2+4的的次次数数deg(f(x)=5，首首系系数数为为6，常常数数项项为为4。由由于于多多项项式式f(x)的首系数不为的首系数不为1，因而，因而f(x)不是首一多项式。不是首一多项式。第47页，共100页，编辑于2022年，星期六二、多项式环二、多项式环定理定理5.2.2设设f(x)和和g(x)Rx，则，则deg(f(x)+g(x)max(deg(f(x),deg(g(x)；deg(f(x)g(x)deg(f(x)+de