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1、函数的概念与基本初等函数第1页，此课件共29页哦【命题预测命题预测】1函数的单调性是历年来考查的重点，也是热点，常与其他知识结合进行考查函数的单调性是历年来考查的重点，也是热点，常与其他知识结合进行考查2最值是新课标下专门给出概念的一条性质，虽说不新，但突出了其地最值是新课标下专门给出概念的一条性质，虽说不新，但突出了其地位，单调性是求最值的一条主要途径位，单调性是求最值的一条主要途径【应试对策应试对策】1学学习习函函数数单单调调性性三三大大性性质质时时，主主要要从从“数数”和和“形形”两两个个方方面面进进行行整整体体把把握握，从从理理 解解函函数数的的单单调调性性定定义义入入手手，在在判判断
2、断和和证证明明函函数数的的性性质质的的问问题题中中得得以以巩巩固固，在在求求复复合合函函数数的的单单调调区区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化2函数的单调性是函数最基本的性质之一，只有理解了一个函数的单调性，才能刻画出这个函数图形的基本函数的单调性是函数最基本的性质之一，只有理解了一个函数的单调性，才能刻画出这个函数图形的基本形状，以及这个函数变化的基本状况形状，以及这个函数变化的基本状况第2页，此课件共29页哦例如，简单的幂函数例如，简单的幂函数yx3，当我们知道它在整个实数范围内是单调递增的，那么就可以刻当我们知道它在整个实数范围内是单调递增的
3、，那么就可以刻画出函数画出函数yx3的图象的基本形状以及它的变化趋势的图象的基本形状以及它的变化趋势在学习其概念时，首先应明确对应函数在学习其概念时，首先应明确对应函数的定义域，其次要理解其区间性，即函数的定义域，其次要理解其区间性，即函数yf(x)是在给定区间上的单调性，反映的是随自是在给定区间上的单调性，反映的是随自变量在区间上变化时函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义变量在区间上变化时函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质域上的整体性质第3页，此课件共29页哦3对函数单调性的证明要明确其步骤：对函数单调性的证明要明确其步
4、骤：(1)取自变量；取自变量；(2)作差；作差；(3)判断得结判断得结论注意，定义法是严格的单调性证明，在不需进行严格证明时，可以通过作论注意，定义法是严格的单调性证明，在不需进行严格证明时，可以通过作图进行判断另外，在后面学习的用导数判断函数的单调性也属严格的证图进行判断另外，在后面学习的用导数判断函数的单调性也属严格的证明因此，解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有明因此，解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题，一般要用单调性的定义解决关的单调性问题，一般要用单调性的定义解决第4页，此课件共29页哦【知识拓展知识拓展】1判断函数单调性判
5、断函数单调性(求单调区间求单调区间)的方法的方法(1)从定义入手：设从定义入手：设x1，x2 A，且且x10，b0)在在(，及及 ，)上单调递增；上单调递增；在在 ，0)及及(0，上单调递减上单调递减第7页，此课件共29页哦1函数单调性的概念函数单调性的概念 一般地，设函数一般地，设函数yf(x)的定义域为的定义域为A，区间区间I A，如果对于区间如果对于区间I内的内的 任意两个值任意两个值x1，x2，当当x1x2时，都有时，都有 ，那么就说那么就说yf(x)在在 区间区间I上是单调增函数上是单调增函数，I称为称为yf(x)的的 如果对于区间如果对于区间I内内 的任意两个值的任意两个值x1，x
6、2，当当x1x2时，都有时，都有 ，那么就说那么就说yf(x)在区间在区间I上是单调减函数上是单调减函数，I称为称为yf(x)的的 f(x1)0，y0，满足，满足f(xy)f(x)f(y)，则不等式，则不等式f(x6)f(x)1，不等式等价于，不等式等价于 ，解得，解得1xf(4)，则，则f(x 的最小值是的最小值是f(4)21.答案：答案：12第11页，此课件共29页哦5若若f(x)|xa|在区间在区间1，)为增函数，则实数为增函数，则实数a的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：函数函数f(x)|xa|的递增区间为的递增区间为a，)，由已知由已知1，)a，)则则a1.答案：答案：(，1第1
7、2页，此课件共29页哦用定义证明函数单调性的一般步骤用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且是该区间内的任意两个值，且x1x2.(2)作差：即作差：即f(x2)f(x1)(或或f(x1)f(x2)，并通过通分、配方、因式分解等方，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形法，向有利于判断差的符号的方向变形(3)定号：根据给定的区间和定号：根据给定的区间和x2x1的符号，确定差的符号，确定差f(x2)f(x1)(或或f(x1)f(x2)的的符号当符号不确定时，可以进行分类讨论符号当符号不确定时，可以进行分类讨论(4)判断：
8、根据定义得出结论判断：根据定义得出结论第13页，此课件共29页哦【例例1】(经典题经典题)试讨论函数试讨论函数f(x)，x(1,1)的单调性的单调性(其中其中a0)思路点拨：思路点拨：可根据定义，先设可根据定义，先设1x1x21，然后作差、变形、定，然后作差、变形、定 号、判断；也可以求号、判断；也可以求f(x)的导函数，然后判断的导函数，然后判断f(x)与零的大小关系与零的大小关系解：解法一：解：解法一：设设1x1x21，则则f(x1)f(x2).1x1x21，|x1|1，|x2|1，x2x10，0，0，|x1x2|1，即即1x1x21，x1x210.0.因此，当因此，当a0时时，f(x1)
9、f(x2)0，即即f(x1)f(x2)，此时函数为减函数此时函数为减函数；当当a0时时，f(x1)f(x2)0，即即f(x1)f(x2)，此时函数为增函数此时函数为增函数第14页，此课件共29页哦解法二：解法二：f(x)，f(x)当当a0时时，1x1，0，即即f(x)0，此时此时f(x)在在(1,1)上为减函数同理，当上为减函数同理，当a0时时，f(x)在在(1,1)上为上为增函数增函数综上可知综上可知，a0时，时，f(x)在在(1,1)上为减函数上为减函数；a0时时，f(x)在在(1,1)上为增函数上为增函数 第15页，此课件共29页哦变式变式1：(原创题原创题)设函数设函数f(x)，求求f
10、(x)的单调区间，并证明的单调区间，并证明f(x)在在其单其单调区间上的单调性调区间上的单调性解：解：函数函数f(x)的单调区间是的单调区间是(，1)及及(1，)证明如下证明如下：任取任取x1，x2，且且x1x21，则则：f(x1)f(x2)因为因为x1x2，所以，所以x2x10，所以当，所以当x1x21时，时，x110，x210，所以所以(x11)(x21)0，所以，所以 0，即即f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)所以函数所以函数f(x)在在(，1)上是减函数上是减函数同理可证同理可证f(x)在在(1，)上也为减函数上也为减函数第16页，此课件共29页哦求函数的单调性或单调区间的方
11、法：求函数的单调性或单调区间的方法：(1)利用已知函数的单调性利用已知函数的单调性(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间第17页，此课件共29页哦 【例例2】判断函数判断函数f(x)lg(x22x)的单调性的单调性 思路点拨：思路点拨：求出函数的定义域，在定义域上先确定求出函数的
12、定义域，在定义域上先确定x22x的单调性，再的单调性，再 确定确定f(x)的单调性的单调性 解：解：由由x22x0得得x2或或x0，所以函数的定义域为，所以函数的定义域为(，0)(2，)x22x在在(，0)上为单调减函数，上为单调减函数，f(x)lg(x22x)在在(，0)上为单调减函数；上为单调减函数；x22x在在(2，)上为单调增函数，上为单调增函数，f(x)lg(x22x)在在(2，)上为单调增函数上为单调增函数第18页，此课件共29页哦 变式变式2：判断函数判断函数f(x)的单调性的单调性 解：解：由由x23x20，得，得x23x20，所以，所以1x2.因为因为x23x2在在 上为增函
13、数，所以上为增函数，所以f(x)在在 上是增函数；上是增函数；因为因为x23x2在在 上是减函数，所以上是减函数，所以f(x)在在 上是减函数上是减函数第19页，此课件共29页哦【例例3】(2010合肥合肥168中学高三中学高三)已知函数已知函数f(x)，x 0,1 (1)求求f(x)的单调区间和值域的单调区间和值域；(2)设设 a1，函函数数g(x)x33a2x2a，x 0,1，若若对对于于任任意意x1 0,1，总总存存在在x0 0,1，使得使得g(x0)f(x1)成立，求成立，求a的取值范围的取值范围思路点拨：思路点拨：(1)利用导数求利用导数求f(x)的单调区间，利用单调性求函数的值域的
14、单调区间，利用单调性求函数的值域(2)由由f(x)的值域是的值域是g(x)的值域的子集列出的值域的子集列出a的不等式，并由的不等式，并由a的不等式，求出的不等式，求出a的范围的范围第20页，此课件共29页哦解：解：(1)f(x)，f(x)当当0 x 时时，f(x)0；当当x 时时f(x)0；当当 x1，f(x)0.因此因此f(x)在在 上递减，在上递减，在 上递增上递增又又f(0)，f 4，f(1)3，则则f(x)的值域为的值域为4，3(2)由由g(x)x33a2x2a得：得：g(x)3x23a2，又，又a1,0 x1，则，则g(x)0，g(x)在在0,1上递减，上递减，g(0)2a，g(1)
15、3a22a1，即即g(x)的值域为的值域为3a22a1，2a，根据已知条件根据已知条件 解得解得1a ，因此因此a的取值范围是的取值范围是 .第21页，此课件共29页哦解：解：(1)f(x)x 2，x 1，)，f(x)f(1).由由x1时时f(x)f(1)知当知当x1时时，f(x)最小最小f(1)，函数函数f(x)的最小值为的最小值为 ；(2)若对任意若对任意x 1，)，f(x)0恒成立，即恒成立，即 0，x22xa0对于一切对于一切x 1，)恒成立；又恒成立；又x22xa(x1)2a13a，由由3a0得得a3.变式变式3：已知函数已知函数f(x)，x 1，)，(1)当当a 时，求函数时，求函
16、数f(x)的最小值的最小值；(2)若对任意若对任意x 1，)，f(x)0恒成立，试求实数恒成立，试求实数a的取值范围的取值范围第22页，此课件共29页哦【规律方法总结规律方法总结】求证一个函数在某一区间上具有单调性，常用单调性的定义证明，求函数的单调区间求证一个函数在某一区间上具有单调性，常用单调性的定义证明，求函数的单调区间常结合函数的图象和导数来完成，如果已知函数的单调性利于求函数的值域或最值常结合函数的图象和导数来完成，如果已知函数的单调性利于求函数的值域或最值.第23页，此课件共29页哦【高考真题高考真题】【例例4】(2009山东山东)函数函数y 的图象大致为的图象大致为()第24页，
17、此课件共29页哦分析：分析：先确定函数的定义域先确定函数的定义域x|x0，再确定函数的单调性，以此利用排除，再确定函数的单调性，以此利用排除法可得正确答案法可得正确答案规范解答：规范解答：由题意，得由题意，得exex0，所以函数定义域为，所以函数定义域为x|x0又因为又因为 所以当所以当x0时函数为减函数时函数为减函数又函数又函数y是奇函数，故选是奇函数，故选A.第25页，此课件共29页哦【命题探究命题探究】本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质考题将函数的本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质考题将函数的图象、定义域、值域、单调性等知识点交汇，构成了一道既
18、注重基础又注重能力图象、定义域、值域、单调性等知识点交汇，构成了一道既注重基础又注重能力的中档题本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域的中档题本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考查其余的性质内对其进行考查其余的性质【全解密全解密】【课本探源课本探源】本本题题是是江江苏苏版版数数学学必必修修1第第55页页第第8题题“已已知知函函数数f(x)，试试讨讨论论函函数数f(x)的的单单调调性性”的的改改编编题题考考题题的的函函数数变变得得复复杂杂了了，并并且且函函数数单单调调性性问问题题变变成成了了利利用用函函数数单单调调性性讨讨论论函函数数图图
19、象象问题，使得考题的能力要求提高了问题，使得考题的能力要求提高了第26页，此课件共29页哦【技巧点拨技巧点拨】本题的求解需要较强的解题技巧首先，求解函数的定义域本题的求解需要较强的解题技巧首先，求解函数的定义域x|x0；其次，将函数化简为；其次，将函数化简为y1 ，可得当，可得当x0时函数为减函数进而得解这里，函数的化简、图象的观察等等，不仅需要扎时函数为减函数进而得解这里，函数的化简、图象的观察等等，不仅需要扎实的基本功，而且还需要熟练的解题技巧实的基本功，而且还需要熟练的解题技巧.第27页，此课件共29页哦1已知已知f(x)是是(，)上的减函数，那么上的减函数，那么a的取值的取值 范围是范
20、围是_ 解析：解析：当当x1时，时，ylogax单调递减，单调递减，0a1；而当；而当x1时，时，f(x)(3a1)x4a单调递减，单调递减，a ，又函数在其定义域内单调递减，又函数在其定义域内单调递减，故当故当x1时，时，(3a1)x4alogax，得，得a ，故，故 .答案：答案：第28页，此课件共29页哦2已知函数已知函数f(x)x2 (x0，常数，常数a R)若若f(x)在在2，)上为增函数，上为增函数，求求a的取值范围的取值范围 解：解法一：解：解法一：设设2x1x2.f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)a，要使函数要使函数f(x)在在x 2，)上为增函数，则需上为增函数，则需f(x1)f(x2)4，x1x2(x1x2)16.a的取值范围是的取值范围是(，16解法二：解法二：当当a0时时，f(x)x2，显然在显然在2，)上为增函数，当上为增函数，当a0时，同解法一时，同解法一点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册第29页，此课件共29页哦