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1、第8讲 简谐振动特征本讲稿第一页，共四十一页 人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学分成力人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某些形式的运动（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的要算振动和波了。是横跨所有这些学科的，其中最典型的要算振动和波了。力学力学:机械振动和机械波机械振动和机械波,弹簧、单摆的振动，声波，水波弹簧、单摆的振动，声波，水波等等 电学电学:电磁振荡和电磁波，光，无线电波等电磁振荡和电磁波，光，无线电波等 近代物理中，量子力学又称波动力学，这是微观理论的基石近代物理中，量子力学
2、又称波动力学，这是微观理论的基石这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重要这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重要性了。性了。前前 言言本讲稿第二页，共四十一页 尽管在物理学的各个分支学科里振动和波的具体尽管在物理学的各个分支学科里振动和波的具体内容不同，在形式上它们却具有极大的相似性。内容不同，在形式上它们却具有极大的相似性。所以机械振动、机械波两章的意义绝不局限于力学，所以机械振动、机械波两章的意义绝不局限于力学，它将为学习整个物理学打基础。它将为学习整个物理学打基础。本讲稿第三页，共四十一页Simple Harmonic Oscillation(Simple Harmoni
3、c Motion)本讲稿第四页，共四十一页广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量(如位移、电流等如位移、电流等)在某一数在某一数 值附近反复变化。值附近反复变化。振动分类振动分类非线性振动非线性振动线性振动线性振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。10-1 10-1 振动与周期振动振动与周期振动本讲稿第七页，共四十一页 广义地说，若描述运动状态的某个物理量，在某一广义地说，若描述运动状态的某个物理量，在某一量值附近反复变化，我们就称这个物理量在振动。如果量值附近反复变化，我们就称这个物理量在振动。如果这
4、种变化有周期，那就是周期运动。这种变化有周期，那就是周期运动。振动与周期性运动振动与周期性运动 许多效应是周期性的，例如，动物的心跳、钟摆许多效应是周期性的，例如，动物的心跳、钟摆的摆动、固体原子的振动、交流电电流、脉冲星体积的摆动、固体原子的振动、交流电电流、脉冲星体积和亮度的变化等等。从最宏大的范围来看，一些宇宙和亮度的变化等等。从最宏大的范围来看，一些宇宙学家认为，整个宇宙可能在作周期为数百亿年的振动。学家认为，整个宇宙可能在作周期为数百亿年的振动。本讲稿第八页，共四十一页一、简谐振动模型：一、简谐振动模型：物理学研究问题总是从最基本的模式入手，最简单物理学研究问题总是从最基本的模式入手
5、，最简单的振动形式是简谐振动。研究表明，一切复杂的振动，的振动形式是简谐振动。研究表明，一切复杂的振动，都可以看成是由许多简谐振动的迭加构成。作简谐振动都可以看成是由许多简谐振动的迭加构成。作简谐振动的系统，我们用一个专门的术语称呼，叫谐振系统。的系统，我们用一个专门的术语称呼，叫谐振系统。著名物理学家著名物理学家李政道李政道先生先生曾说，物理学只有两类问题曾说，物理学只有两类问题 平方反比律的力平方反比律的力平方反比律的力平方反比律的力 和和 谐振动谐振动可见谐振动在理论研究中的地位可见谐振动在理论研究中的地位10-2 10-2 简谐振动简谐振动(simple harmonic motion
6、)本讲稿第九页，共四十一页谐振系统是一种理想化模型。谐振系统是一种理想化模型。一台机床的振动、建筑工地一台浇灌混泥土的振动一台机床的振动、建筑工地一台浇灌混泥土的振动泵的振动，从理论上分析时，可以简化成这种形式：泵的振动，从理论上分析时，可以简化成这种形式：或或 系统的质量全部集中在物体上，弹簧无质量系统的质量全部集中在物体上，弹簧无质量保守系统保守系统(无内摩擦、外摩擦无内摩擦、外摩擦)弹性力严格遵从线性假设弹性力严格遵从线性假设(F=-kx)本讲稿第十页，共四十一页例：弹簧振子例：弹簧振子弹簧弹簧物体系统物体系统 平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹
7、簧轻弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体可看作质点物体可看作质点 二、简谐振动微分方程二、简谐振动微分方程本讲稿第十一页，共四十一页简谐振动微分方程简谐振动微分方程受力分析受力分析运用牛顿定律运用牛顿定律改写方程改写方程令令本讲稿第十二页，共四十一页三、微振动的简谐近似三、微振动的简谐近似很小时，很小时，振动微分方程振动微分方程单单摆摆复复摆摆本讲稿第十三页，共四十一页四、简谐振动系统动力学特征四、简谐振动系统动力学特征系统受线性回复力（矩）作用，如系统受线性回复力（矩）作用，如动力学方程为二阶线性常微分方程动力学方程为二阶线性常微分方程 只要一个系统的动力学
8、条件满足这两个特征之只要一个系统的动力学条件满足这两个特征之一，我们就可以认定它为简谐振动系统。一，我们就可以认定它为简谐振动系统。这种系统有时简称这种系统有时简称谐振子谐振子本讲稿第十四页，共四十一页双原子分子系统双原子分子系统 分子间势能函数为分子间势能函数为E(r)存在极存在极小值，该位置就是系统的稳定平衡小值，该位置就是系统的稳定平衡位置位置 r0。在平衡位置在平衡位置 r0 附近将势能函数按附近将势能函数按泰勒泰勒级数展开级数展开r0Er分析一个实际振动系统分析一个实际振动系统本讲稿第十五页，共四十一页对足够小的位移，略去三次以上的所有项对足够小的位移，略去三次以上的所有项由于在平衡
9、点由于在平衡点r0 处处就有就有若把有效弹性系数等同于若把有效弹性系数等同于 符合谐振子的能量特征符合谐振子的能量特征则则(曲线切线的斜率曲线切线的斜率)本讲稿第十六页，共四十一页 可见，任何实际的微振动系统，一般都可以当作可见，任何实际的微振动系统，一般都可以当作简谐系统处理。简谐系统处理。相应的保守力相应的保守力完全符合简谐振动的动力学特征完全符合简谐振动的动力学特征本讲稿第十七页，共四十一页五、简谐振动的运动学特征五、简谐振动的运动学特征 这是描写谐振动的动力学方程（二阶常系数齐次微这是描写谐振动的动力学方程（二阶常系数齐次微分方程）分方程），就是振子的固有频率。就是振子的固有频率。微分
10、方程的解与代数方程的解不同，代数方程的解是微分方程的解与代数方程的解不同，代数方程的解是一组数，而微分方程的解是一组函数。一组数，而微分方程的解是一组函数。谐振动的运动学方程谐振动的运动学方程 (简称振动方程简称振动方程)特解为特解为 谐和函数谐和函数本讲稿第十八页，共四十一页 可见谐振动的运动学特征：可见谐振动的运动学特征：振子的位移、速度、加速度都按余弦（或正弦）振子的位移、速度、加速度都按余弦（或正弦）规律作周期性变化。规律作周期性变化。振子的速度与位移之间有振子的速度与位移之间有/2的相位差的相位差加速度与位移有加速度与位移有的相位差。的相位差。本讲稿第十九页，共四十一页六、简谐振动的
11、能量特征六、简谐振动的能量特征 设在任一时刻设在任一时刻t，振子位移为，振子位移为x，速度为，速度为v，则其弹，则其弹性势能性势能Ep、动能、动能EK分别为：分别为：分析弹簧振子的能量变化：分析弹簧振子的能量变化：简谐系统的能量简谐系统的能量=系统的动能系统的动能 Ek+系统的势能系统的势能 Ep 谐振系统的动能、势能交替变化，相互转换，而谐振系统的动能、势能交替变化，相互转换，而总能量不变。总能量不变。本讲稿第二十页，共四十一页本讲稿第二十一页，共四十一页 它还有一个特点，即它还有一个特点，即一个周期内的平均动能等于一个周期内的平均动能等于一个周期内的平均势能，且为总能量的一半。一个周期内的
12、平均势能，且为总能量的一半。本讲稿第二十二页，共四十一页 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为上高度为a，水面以下高度为，水面以下高度为b。水密度为。水密度为，木快密度为木快密度为，不计水的阻力。，不计水的阻力。例题1：ba 本讲稿第二十三页，共四十一页 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为上高度为a，水面以下高度为，水面以下高度为b。水密度为。水密度为，木快密度为木快密度为，不计水的阻力。，不计水的阻力。例题1：用外力将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐。用外力将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐。本
13、讲稿第二十四页，共四十一页 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为上高度为a，水面以下高度为，水面以下高度为b。水密度为。水密度为，木，木快密度为快密度为，不计水的阻力。，不计水的阻力。例题1：用外力将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐。用外力将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐。本讲稿第二十五页，共四十一页ba 求证：木块将作简谐振动。并求振动角频率。求证：木块将作简谐振动。并求振动角频率。水面上浮有一方形木块，在静止时水面以水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为上高度为a，水面以下高度为，水面以下高度为b。水密度为。水密度为，木快密度为木
14、快密度为，不计水的阻力。，不计水的阻力。例题1：本讲稿第二十六页，共四十一页任意位置木块受到的合外力为：任意位置木块受到的合外力为：合外力和位移成正比，方向和位移相反。合外力和位移成正比，方向和位移相反。平平衡衡位位置置bca.0 xSy平衡时：平衡时：任任意意位位置置acb0 xxs y.证明：证明：所以木块作简谐振动。所以木块作简谐振动。本讲稿第二十七页，共四十一页由前面得到：由前面得到：由牛顿定律由牛顿定律ba 本讲稿第二十八页，共四十一页 设地球是一个半径为设地球是一个半径为 R 的均匀球体，现假定沿直径的均匀球体，现假定沿直径凿通一条隧道。若有一质量为凿通一条隧道。若有一质量为m 的
15、质点在此隧道内作无摩的质点在此隧道内作无摩擦的运动，求证此质点作简谐运动。擦的运动，求证此质点作简谐运动。解：例题2：从动力学进行分析从动力学进行分析以球心为坐标原点作以球心为坐标原点作 ox 轴轴式中式中M半径为半径为 x 的部分地球质量的部分地球质量当质点位于当质点位于 x 时受力时受力本讲稿第二十九页，共四十一页质点作简谐振动质点作简谐振动若地球质量密度为若地球质量密度为 ，则，则所以所以本讲稿第三十页，共四十一页 如图所示，振动系统由一劲度系数为如图所示，振动系统由一劲度系数为 k 的轻弹簧、的轻弹簧、一半径为一半径为 R的定滑轮和一质量为的定滑轮和一质量为m 的物体所组成。使物的物体所组成。使物体偏离平衡位置后放手，任其振动，若不计滑轮质量，体偏离平衡位置后放手，任其振动，若不计滑轮质量，试证物体作简谐振动试证物体作简谐振动。解：例题3：设设 m 在平衡位置时，在平衡位置时，弹簧伸长量为弹簧伸长量为 l，则则取位移轴取位移轴 ox，本讲稿第三十二页，共四十一页受力分析受力分析当当 m 有位移有位移 x 时时联立得联立得物体作简谐振动物体作简谐振动系统的固有角频率系统的固有角频率练习册习题练习册习题本讲稿第三十三页，共四十一页