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1、 5.2 幺元、零元和逆元 n5.2.1 幺元n5.2.2 零元n5.2.3 逆元n5.2.4 独异点5.2.1 幺元n设代数系统，运算的 左幺元左幺元 若elA对xA有elxx 右幺元右幺元 若erA对xA有xerx 幺元幺元 若eA对xA有exxxe5.2.1 幺元n例如，设A1,2,3,4，A上的二元运算与的运算表如下：1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 2 3 4 3 3 3 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 4 1 1 2 3 4 4 3 2 3 4 4 4 45.2.1 幺元n定理5.2.1设代数系统，若A中有关于运算的左幺元el与右幺元e
2、r，则elere，且A中幺元唯一。证明证明 elelerer 假设A中有两个幺元e与d，则ddee 5.2.1 幺元n例如,设代数系统,其中R是实数集,与是实数加与乘运算。n关于，对任意xR 由于0 xx，所以0是的左幺元 由于x0 x，所以0是的右幺元n关于，对任意xR 由于1xx，所以1是的左幺元 由于x1x，所以1是的右幺元5.2.1 幺元n例如，代数系统，其中P(A)是有限集合A的幂集，与是集合交与并运算。n关于，对任意xP(A)由于Axx，所以A是的左幺元 由于xAx，所以A是的右幺元 n关于，对任意xP(A)由于 xx，所以 是的左幺元 由于x x，所以 是的右幺元 5.2.1 零
3、元n设代数系统，运算的 左零元左零元 若olA对xA有olxol 右零元右零元 若orA对xA有xoror 零元零元 若oA对xA有oxoxo5.2.2 零元n例如，设A1,2,3,4，A上的二元运算与的运算表如下：1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4 2 2 2 2 3 3 3 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 3 1 1 2 3 4 3 3 3 3 4 4 3 45.2.2 零元n定理5.2.2设代数系统，若A有关于运算的左零元Ol与右零元Or，则OlOrO，且A中零元唯一。证明证明 OlOlOrOr 假设A中有两个零元O与d，则ddOO 5.2.2 零
4、元n例如,设代数系统,其中R是实数集,与是实数加与乘运算。n关于，对任意xR 由于？x？，所以没左零元 由于 x？，所以没右零元n关于，对任意xR 由于0 xx，所以0是的左零元 由于x0 x，所以0是的右零元5.2.2 零元n例如,设代数系统,其中P(A)是有限集合A的幂集,与是集合交与并运算。n关于，对任意xP(A)由于AxA，所以A是的左零元 由于xAA，所以A是的右零元 n关于，对任意xP(A)由于 x ，所以 是的左零元 由于x ，所以 是的右零元 5.2.2 零元n定理5.2.3 设代数系统，且A中元素的个数不小于2。若该代数系统存在幺元e和零元，则e 证明证明 假设e，则对任意a
5、A，有 aaeae 5.2.3 逆元n设代数系统且e为幺元。aA，a的 左逆元左逆元 若bA，使bae 右逆元右逆元 若bA，使abe 逆元逆元 若bA，使baeab5.2.3 逆元n例如，设代数系统的运算表 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 3 1 3 4 4 2 4 3 3 11为幺元1逆元为1 2右逆元4,无左逆元3既无左逆元又无右逆元 4左逆元2与4,右逆元4n例如，设代数系统的运算表 1 2 3 4 1 2 3 4 4 4 4 1 4 4 4 2 4 4 4 3 1 2 3 45.2.3 逆元4为幺元1的逆元为:1,2,3 2的逆元为:1,2,3 3的逆元为:1
6、,2,3 4的逆元为:4 5.2.3 逆元n定理5.2.4设e为代数系统的幺元，运算在A上结合。aA，若blaeabr，则blbrb，且b是a的唯一逆元。证明证明 由blaeabr知 blblebl(abr)(bla)brebrbr 假设b和c都是a的逆元，则 bbeb(ac)(ba)cecc 5.2.3 逆元n注释注释 设代数系统,若运算在A上结合。则 A中元素a若有逆元,则逆元唯一,记作a-1。5.2.3 逆元n例如,设代数系统,其中R是实数集,与是实数加与乘运算。关于 0幺元,结合,任意aA,a的逆元a-1a。关于 1幺元,结合,任意aA(a0),a的逆元 a-1 5.2.4 独异点n定
7、义5.2.1 设是半群，若A中有关于运算的幺元，则称为独异点独异点(monoid)。n定义5.2.2 设是独异点，B是A的非空子集，若也是独异点，则称是独异点的子独异点子独异点(submonoid)。5.2.4 独异点n独异点与，与 设R实数集，I整数集，,分别是实数加 运算与乘运算。n独异点与 P(A)是有限集A的幂集，,分别是集合的交运算与并运算。5.2.4 独异点n例5.2.1设m是大于1的正整数,模m同余类集合Zm0,1,m-1,任意a,bZm,规定 amb(ab)mod m amb(ab)mod m 则与都是独异点。5.2.4 独异点n证明证明 (1)m与m都是Zm上的代数运算 (2
8、)任取i,j,kZm,则 (imj)mk im(jmk)(ijk)mod m (imj)mk im(jmk)(i j k)mod m (3)m的幺元为0,m的幺元为1n例如，的运算表6 0 1 2 3 4 5012345 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0 2 3 4 5 0 1 3 4 5 0 1 2 4 5 0 1 2 3 5 0 1 2 3 45.2.4 独异点n例如，的运算表6 0 1 2 3 4 5012345 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 0 2 4 0 2 4 0 3 0 3 0 3 0 4 2 0 4 2 0 5 4 3 2 15.2.4 独异点5
9、.2.4 独异点n定理5.2.5设是一个独异点，则运算的运算表中任意两行或两列都不相同。证明证明设e为幺元，任取a,bA且ab a b e ea eb 伽罗瓦小传 他对方程可解性问题提供了全面透彻的解答，解决了困扰数学家们长达百年之久的问题，还给出了能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角、倍立方等问题。他太超前于他那个时代，就连当时的数学大师们也不能理解他的数学思想和工作实质。直到1870年，法国数学家若尔当(Jordan，18381922)对伽罗瓦理论作了第一次全面系统的阐述，伽罗瓦理论才被完全理解。伽罗瓦理论开辟了全新的研究领域，使抽象代数迅速发展成一门新的数学分支，并对
10、近代数学的形成和发展产生了巨大影响，被公论为19世纪最杰出的数学成就，确立了伽罗瓦在数学史上的不朽地位。伽罗瓦伽罗瓦(Galois，18111832)，法国数学家。生于富裕家庭，幼年受到良好家庭教育，从小痴迷数学，一直狂热地研究数学。1829年5月，他提交法国科学院关于代数方程理论方面的论文，不幸被审稿人柯西遗失。1830年2月，他提交法国科学院论文论方程可用根式解的条件，不幸由于审稿人傅里叶的去世而遗失。更为不幸的是，在那个法国保皇党和革命民主人士激烈斗争年代，他被卷入越来越多政治纷争，后又因不为人知的政治原因和情感纠葛，被迫卷入一场当时非常时兴的愚蠢决斗中，在决斗前夜他疯狂地整理自己的数学思想和数学发现，概括地写在32页稿纸上，并委托好友交给雅可比或高斯审阅。他在第二天的决斗中不幸去世。作 业n课后作业 190面 题(2)(3)(5)(6)