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1、第四章第四章第四章第四章 态和力学量的表象态和力学量的表象态和力学量的表象态和力学量的表象4.3 4.3 4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述1、平均值公式、平均值公式4.3-14.3-2写成矩阵形式为写成矩阵形式为简写为简写为4.3-32、本征值方程、本征值方程4.3-44.3-5此式是一个线性齐次代数方程组此式是一个线性齐次代数方程组这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即4.3-6此式称为此式称为久期方程久期方程。求解可得到一组解：。求解可得到一组解：3、薛定谔方程、薛
2、定谔方程4.3-7式中式中简写为简写为4.3-8矩阵表达式为矩阵表达式为4.4 4.4 4.4 4.4 幺正变换幺正变换幺正变换幺正变换讨论波函数和力学量在不同表象间变换的一般情况讨论波函数和力学量在不同表象间变换的一般情况4.4-14.4-24.4-31、基矢变换、基矢变换展开系数为展开系数为4.4-4由由4.4-3可得可得I为对角矩阵的对角元都是为对角矩阵的对角元都是1的单位矩阵。的单位矩阵。4.4-5由由4.4-4得得4.4-6代入代入4.4-6得得4.4-7可见可见4.4-8满足此式的矩阵称为满足此式的矩阵称为幺正矩阵幺正矩阵，由幺正矩阵表示的变，由幺正矩阵表示的变换称为换称为幺正变换
3、幺正变换。故由一个表象到另一个表象的变换。故由一个表象到另一个表象的变换是幺正变换。是幺正变换。幺正矩阵不是厄密矩阵幺正矩阵不是厄密矩阵。2、力学量变换、力学量变换4.4-9简写为简写为即即4.4-103、态矢量变换、态矢量变换设设4.4-114.4-124.4-13态矢量变换式态矢量变换式4、幺正变幻的性质、幺正变幻的性质（1）幺正变换不改变算符的本征值）幺正变换不改变算符的本征值设设A表象中表象中则则变换到变换到B表象中有表象中有即即得证得证这提示了求算符本征值的一种新方法：把算符由原来这提示了求算符本征值的一种新方法：把算符由原来表象变换到其自身表象，使其矩阵对角化。解定态薛表象变换到其
4、自身表象，使其矩阵对角化。解定态薛定谔方程求定态能级就是把坐标表象中的哈密顿算符定谔方程求定态能级就是把坐标表象中的哈密顿算符对角化，即由坐标表象变换到能量表象。对角化，即由坐标表象变换到能量表象。（2）幺正变换不改变矩阵）幺正变换不改变矩阵F的迹的迹设设则有则有问题：如何选取使算符矩阵对角化的幺正变换矩阵问题：如何选取使算符矩阵对角化的幺正变换矩阵S？即即写成矩阵为写成矩阵为例题例题1 解：解：即即（1）久期方程为久期方程为 例题例题2 在正交归一化基矢在正交归一化基矢 所张的三维矢量所张的三维矢量 空间中，空间中，时的态矢时的态矢 。而物理。而物理 体系的能量算符体系的能量算符 和另外两个
5、物理量算符和另外两个物理量算符 与与 的矩阵形式为的矩阵形式为 均为实数，求均为实数，求（1）所采用的是什么表象？基矢是什么？）所采用的是什么表象？基矢是什么？（2）表象中波函数（态矢）的表示；表象中波函数（态矢）的表示；（3）态的能量可能值及相应概率、态的能量可能值及相应概率、=？（4）态中算符态中算符 、的可能值及相应概率。的可能值及相应概率。解：解：（1）因为矩阵）因为矩阵 为对角矩阵为对角矩阵 能量表象；此表象能量表象；此表象 为为 的本征态，基矢在能量表象中为的本征态，基矢在能量表象中为 （2）表象中波函数的表示为表象中波函数的表示为 表象表象 或利用或利用 可得可得 故能量表象中态
6、矢为故能量表象中态矢为（3）由对角矩阵可知，能量取值只能是）由对角矩阵可知，能量取值只能是 、，且且 是两度简并的，取是两度简并的，取 和和 的概率分别是的概率分别是 故故 或（4）是是 的本征函数集，却不是的本征函数集，却不是 的的本征函数集。令本征函数集。令 在能量表象中的本征态为在能量表象中的本征态为 本征值为本征值为 ，则本征方程为，则本征方程为解久期方程解久期方程 得得 当当 时时当当 时时当当 时时 故 故 故可见，由于能量表象不是可见，由于能量表象不是 的自身表象，故的自身表象，故 的矩阵形式不同于的矩阵形式不同于 要求要求 的可能值的可能值 在在 态中（即态中（即 态中）的概率分态中）的概率分布，就要把布，就要把 或或 按按 的本征态展开的本征态展开 由由 表象中表象中 及及 可得可得 所以所以最后得最后得 表象中态矢表达式表象中态矢表达式 所以所以 取值为取值为 的概率分别为的概率分别为也可以利用幺正变换将能量表象中的也可以利用幺正变换将能量表象中的 和和 变换为变换为 表象表象（自身表象）中的对角矩阵和（自身表象）中的对角矩阵和 ，因为，因为 用矩阵表示即用矩阵表示即 ，本问题即为，本问题即为 已经证明：把算符已经证明：把算符 在表象在表象 中的中的 按列排成矩阵即为按列排成矩阵即为幺正变换矩阵幺正变换矩阵 结果同上结果同上