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4.群的同态群的同态 4.1 复习同态复习同态4.2 同态应用到群同态应用到群4.1 复习同态复习同态同态映射同态映射,单同态(映射),满同态(映射),同构(映射)两个代数系统的同态两个代数系统的同态,同构同构,性质性质4.2同态应用到群同态应用到群 定理定理假定 与 是两个同态的代数系统,如果是群，那么 也是一个群 证明证明 显然适合群定义的条件，的乘法适合结合律，而 与 同态，由，定理，的乘法也适合结合律，所以 适合群定义的条件，我们证明 也适合，两条设:是满同态(映射)就是 的一个左单位元假定 是 的任意元,而 是 的一个逆象:那么 假定 是 的任意元，是 的一个逆象:那么 是 的左逆元.例例在 上定义运算 证明 关于给定的运算构成群.证明证明 设 ,运算为普通的加法,它构成群.设 ,运算为给定的 构造:,由定理的证明我们直接可以看出 定理定理假定 和 是两个群在 到 的一个同态满射之下，的单位元 的象是 的单位元，的元 的逆元 的象是 的象的逆元我们要注意，假如 同 的次序掉换一下，那么定理不一定对，换一句话说，假如 与 同态，那么 不一定是一个群例例 所有奇数 对于普通乘法来说不作成一个群 对于乘法 来说显然作成一个群（参看，例）但显然是 到 的一个同态满射同构的代数系统具有完全相同的运算性质.谈代数系统的同态永远与一对运算联系在一起.作业作业:P44