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1、1第二章第二章 计算机网络建模理论计算机网络建模理论上章回顾上章回顾1.网络设计与优化非常重要2.网络设计、资源分配与流量控制需要计算机网络理论分析3.业务的随机性是造成网络拥塞及性能恶化的主要原因4.计算机网络性能分析需要建立概率模型2一个典型的计算机网络一个典型的计算机网络3一个典型的排队模型一个典型的排队模型4本章主要内容本章主要内容(1/2)2.1 计算机网络建模的对象与原则2.2 通信业务源的概率模型化2.2.1 随机事件的概率特征量及物理意义2.2.2 典型概率分布及随机过程2.2.3 纯随机事件的概率模型2.2.4 平滑事件的概率模型2.2.5 突发事件的概率模型2.2.6 业务
2、源概率模型参数的匹配5本章主要内容本章主要内容2.3 实际业务源的建模思考2.4 计算机网络的排队模型化2.4.2 计算机网络的排队网络模型2.4.1 通信处理单接点的排队模型2.4.3 排队过程的马尔可夫过程描述2.5 典型计算机网络的建模2.5.1 电路交换网2.5.2 移动通信网2.5.3 分组交换网2.5.4 ATM网2.6 小结6网络系统的建模对象网络系统的建模对象（1）网络结构(Structure)（2）网络控制机制(Strategy)（3）业务量特性、尤其是随机性(Traffic)MANMANStochasticMACHINEMACHINEDeterministicTraffic
3、TrafficUser demandsStructureStructureHardwareStrategyStrategySoftware72.1 计算机网络建模的基本准则计算机网络建模的基本准则真实性(real and precise)尽量精确地描述实际业务的概率特征可操作性(implementable)要易于进行数学分析或计算机仿真通用性(unified)同时能描述多种不同业务的概率特征可匹配性(matchable)模型参数应能容易地从实际业务中拟合出来保守性(conservative)近似计算或仿真得到的网络性能应不劣于实际网络性能（安全近似，做最坏的打算）82.2 业务源的概率模型化业
4、务源的概率模型化计算机网络性能分析需要概率模型业务需求的产生是随机的、而且往往是突发的业务所需要的服务时间也是随机的有时甚至可得到的网络资源也是随机的业务的随机性是网络性能恶化的主要原因如果业务需求是确定性的，网络不会发生拥塞（网络的设计容量永远大于需求）业务需求的随机（不确定）性越大、网络性能的恶化越严重9 随机过程与随机服务过程概论随机过程与随机服务过程概论2.1 概率空间概率空间 1、随机试验：、随机试验：1)在相同试验条件下可重复进行在相同试验条件下可重复进行2)每次试验结果不止一个每次试验结果不止一个3)每次试验之前不能预先精确确定哪一种结果发生每次试验之前不能预先精确确定哪一种结果
5、发生 2、基本事件、基本事件：表示试验的一个最基本的不可再分解的结果表示试验的一个最基本的不可再分解的结果 （由若干基本结果组成的事件称为复合事件）（由若干基本结果组成的事件称为复合事件）3、样本空间、样本空间：表示一切基本事件所组成的总体，即表示一切基本事件所组成的总体，即=4、事件：它是样本空间的子集事件：它是样本空间的子集105 几个概率几个概率1）补）补 当且仅当当且仅当A不发生的事件不发生的事件2）并）并 事件事件A或事件或事件B至少有一个发生至少有一个发生3）交）交 当且仅当事件当且仅当事件A与与B同时发生同时发生4）必然事件：集合）必然事件：集合称为必然事件称为必然事件5）空集）
6、空集：不包含任何元素的集合。不包含任何元素的集合。6）不相容：）不相容：7）互互不不相相容容：若若多多个个事事件件中中任任意意两两个个事事件件都都不不相相容容，则则称称这这多多个个事事件件是互不相容的是互不相容的116 集合论与概率论术语比较集合论与概率论术语比较记记 号号集合论集合论概率论概率论 空间空间 全集全集样本空间样本空间 必然事件必然事件空集空集不可能事件不可能事件 元素元素基本事件基本事件A 的子集的子集事件事件AcA的余集的余集A的对立事件（补）的对立事件（补）A BA是是B的子集的子集A发生发生B必发生必发生A=BA与与B相等相等事件事件A与与B相等相等A BA与与B的的和集
7、（并集）和集（并集）事件事件A与与B至少有一个发生至少有一个发生ABA与与B的的交集（积集）交集（积集）事件事件A与与B同时发生同时发生A-BA与与B的的差集差集事件事件A发生而事件发生而事件B不发生不发生AB=A与与B没有公共元素没有公共元素事件事件A与与B互不相容（互斥）互不相容（互斥）12性质性质1性质性质2（有限可加性）（有限可加性）性质性质3（加法公式）（加法公式）一般地，若一般地，若7 概率的性质概率的性质称为称为多除少补原理多除少补原理性质性质4性质性质5 若若性质性质6（连续性）（连续性）13“事件事件”与与“概率概率”事件：粗略地可视为实验的结果事件：粗略地可视为实验的结果,
8、而严谨定义基而严谨定义基于集合论于集合论,使得事件间的关系和运算可借用集合使得事件间的关系和运算可借用集合的关系和运算。的关系和运算。概率：严谨的定义基于测度论，简洁定义足以使概率：严谨的定义基于测度论，简洁定义足以使其担当其担当“量度量度”事件发生可能性大小的角色。事件发生可能性大小的角色。14随机事件的两种描述法随机事件的两种描述法(1)随机事件发生间隔的概率分布描述法(2)随机事件的点过程描述(记数过程)法15定义定义2-1：设有样本空间设有样本空间=，F F是由是由的的一些子集一些子集A（一般是不可列一般是不可列的）组成的集合。的）组成的集合。若若F F满足以下条件：满足以下条件：则称
9、则称F F是是中的一个中的一个代数代数 显然由条件显然由条件1，2知知 实实质质上上，F F即即为为一一个个随随机机事事件件族族，将将与与定定义义在在上上的的代代数数F F一一起称为可测空间，记（起称为可测空间，记（，F F），），并简称并简称F F中的元素为事件中的元素为事件16定义定义2-2：设对于任一事件设对于任一事件 ，P(A)是定义在是定义在代数代数F F上的实值集上的实值集函数，若函数，若P(A)满足以下条件：满足以下条件：则称则称P是是F F上的上的概率测度，简称概率概率测度，简称概率 称三元总体（称三元总体（，F F，P）为概率空间为概率空间172.2 条件概率条件概率定义定义
10、2-3：设概率空间：设概率空间 若若满足：满足：则则称称P(A/B)为在事件为在事件B已发生的条件下，事件已发生的条件下，事件A发生的条件概率发生的条件概率1、如如果果P(B)0，则则P(A/B)可可由由（2.2.2）唯唯一一确确定定；若若P(B)=0,则则P(A/B)可在可在0，1中任意取值。中任意取值。当当P(B)0时，给定时，给定B后，后，P(A/B)即为即为A的函数，则由定义的函数，则由定义2知：知：182、若、若P(A/B)=P(A),则有则有 满足（满足（2.2.4）的）的A、B为统计独立事件为统计独立事件 推广到推广到n个事件：个事件：则称则称A1,A2,An是相互独立的是相互独
11、立的193、设、设B1,B2,Bn是互不相容的是互不相容的事件，即事件，即 则称事件则称事件B1,B2,Bn为为的一个划分的一个划分20 4、设、设B1,B2,Bn是样本空间是样本空间的的一个划分，一个划分，式（式（2.2.7）称为贝叶斯公式，）称为贝叶斯公式，P(Bi)为为先验概率，先验概率，P(Bi/A)为后验为后验概率概率212.3 随机变量和随机过程随机变量和随机过程定定义义2-4 设设某某随随机机试试验验的的概概率率空空间间为为（，F F，P）,若若对对于于每每一一次次试试验验结结果果 ，均均有有某某实实值值函函数数 与与之之对对应应，即即X()是是试试验验结结果果的的一一个个函函数
12、数，且且对对于于任任意意实实数数x，集集合合 ，则则称称X()为为随随机变量，机变量，E称之为状态集或称为状态空间。称之为状态集或称为状态空间。最常见的状态集合最常见的状态集合E有：有：1)非负整数集合非负整数集合N+=0,1,2,2)整数集合整数集合N=,-2,-1,0,1,2,3)实数集合实数集合4)非负实数集合非负实数集合1）、）、2）两种情况称为可列无限集合）两种情况称为可列无限集合 当当E为为可可列列有有限限集集（如如，E=1,2,N）或或可可列列无无限限集集时时，称称X()为离散随机变量为离散随机变量22例例2-2 “测试测试12灯泡的平均寿命灯泡的平均寿命”样本空间样本空间=：=
13、（1，2，12）定定义义2-5 一一族族无无穷穷多多个个随随机机变变量量组组成成的的集集合合 称称为为一一个个随随机机过过程程，其其中中集集合合T称称为为参参数数集集，各各个个Xt是是定定义义在在相相同同的的概概率率空空间间（，F F，P）上，各随机变量上，各随机变量Xt均均在同一状态空间在同一状态空间E中取值。中取值。另另一一个个定定义义：随随机机过过程程是是以以参参数数集集T为为定定义义域域，以以随随机机变变量量为为值值的的“算算子子”1）离散随机过程）离散随机过程2）连续随机过程）连续随机过程232.4 随机变量的分布函数和随机过程的概率分布随机变量的分布函数和随机过程的概率分布2.4.
14、1 设设X为一离散随机变量，其可能的一切取值为为一离散随机变量，其可能的一切取值为显然有：显然有：概率分布函数定义为：概率分布函数定义为：242.4 随机变量的分布函数和随机过程的概率分布随机变量的分布函数和随机过程的概率分布2.4.2 当当X为一连续随机变量时，则其分布往往由它的分布密度为一连续随机变量时，则其分布往往由它的分布密度f(x)给出给出则则f(x)称为称为X的概率密度函数；的概率密度函数；F(x)为为X的分布函数的分布函数2.4.3 分布函数分布函数F(x)具有下述性质具有下述性质1）F(X)为单调非降函数为单调非降函数 2）F(x)为右连续的为右连续的3）252.4.4 二维随
15、机变量（二维随机变量（X，Y）则则F(x,y)称为二维随机变量（称为二维随机变量（X，Y）的）的联合概率分布函数联合概率分布函数则则f(x,y)称为二维随机变量（称为二维随机变量（X，Y）的联合概率密度函数的联合概率密度函数则则F1(x)和和 F2(x)分分别别称称为为二二维维随随机机变变量量（X，Y）关关于于X和和关关于于Y的的边边际际概概率率分分布函数布函数265、若、若X，Y统计独立，则有：统计独立，则有：则则f1(x)和和f2(x)分分别别称称为为二二维维随随机机变变量量（X，Y）关关于于X和和关关于于Y的的边际概率密度函数边际概率密度函数6、任意有限维随机变量、任意有限维随机变量则称
16、则称F(x1,x2,xn)为为n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的的联合概率分布函数联合概率分布函数则称则称f(x1,x2,xn)为为n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的联合概率密度函数的联合概率密度函数277、在随机过程中，、在随机过程中，为一个随机过程为一个随机过程对于固定时刻对于固定时刻 为一个随机变量，则称为一个随机变量，则称8、为为刻刻画画随随机机过过程程在在不不同同时时刻刻状状态态之之间间的的联联系系，引引入入随随机机过过程程多多维维分分布布函数函数则则f1(t1;x1)称为随机过程称为随机过程X的一维概率密度函数的一维概率密度函数为随机过程为随机过程 的一维分布函
17、数的一维分布函数则则F2(t1,t2;x1,x2)称为随机过程称为随机过程X的的二维概率分布函数二维概率分布函数则则f2(t1,t2;x1,x2)称为随机过程称为随机过程X的二维概率密度函数的二维概率密度函数289、对、对n维情况，其维情况，其n维联合分布为：维联合分布为：随机过程有限维分布族为：随机过程有限维分布族为：292.5 数学期望值和母函数数学期望值和母函数EX为为X的数学期望值，简称均值。的数学期望值，简称均值。定定义义2-6 设设X为为离离散散随随机机变变量量，其其所所有有可可能能的的取取值值为为 ，相相应应的的概率为概率为 。若。若 存在，称存在，称定义定义2-7 设设X为连续
18、型随机变量，且具有分布密度函数为连续型随机变量，且具有分布密度函数f(x),若积分若积分则则称称 为连续型随机变量为连续型随机变量X的数学期望值的数学期望值30例例2-3：如果有：如果有：则则31例例2-4 某元件的寿命某元件的寿命X具有如下分布：具有如下分布：2.5.4 若若Y=g(x),则则例例2-5 某随机变量某随机变量X具有分布：具有分布：则则则则若若Y，X为连续型随机变量为连续型随机变量,则则32定义定义2.8 随机变量随机变量X的的方差方差称为随机变量称为随机变量X的母函数的母函数定义定义2.9 设设X为整数型随机变量，其概率分布为：为整数型随机变量，其概率分布为：则则33定义定义
19、2.10 设设 为一随机过程，若对于每一个为一随机过程，若对于每一个 ，随，随 机变量机变量 的均值与方差均存在，令的均值与方差均存在，令则称则称 为随机变量为随机变量X的均值函数与方差函数的均值函数与方差函数34 矩、协方差矩、协方差定义定义2.12 若若EX-E(X)Y-E(Y)存在，称存在，称 cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y)为随机变量为随机变量X和和Y的协方差，称的协方差，称定义定义2.11 设设r.v.X有有称称 为为X的的k阶原点矩阶原点矩称称 为为X的的k阶绝点矩阶绝点矩称称 为为X的的k阶中心矩阶中心矩称称 为为X的的k阶绝对中心矩阶绝对中心矩为随机变量为随机变量
20、X和和Y的相关系数；若的相关系数；若 为随机变量为随机变量X和和Y不相关，不相关，表示表示X与与Y的线性相关程度的线性相关程度35随机事件特征值的物理意义随机事件特征值的物理意义自相关系数是衡量随机事件之间相互关联性的重要参数36 矩、协方差矩、协方差称为称为r.p.X(t)的协方差函数的协方差函数定义定义2.14 设设r.p.X(t),有有 R(s,t)=EX(s)X(t)称为称为r.p.X(t)的的相关函数相关函数定义定义2.13 设设r.p.X(t),我们定义我们定义称为称为r.p.X(t)的相关系数的相关系数定义定义2.15 设设r.p.X(t),有有37 矩、协方差矩、协方差称为称为
21、r.p.X(t)的的互协方差函数互协方差函数定义定义2.17 设设r.p.X(t)和和Y(t),有有 RXY(s,t)=EX(s)Y(t)称为称为r.p.X(t)和和Y(t)的互相关函数的互相关函数定义定义2.16 设设r.p.X(t)和和Y(t),我们定义我们定义称为称为r.p.X(t)和和Y(t)的的互相关系数互相关系数如果如果r.p.X(t)和和Y(t)相互独立，则它们一定互不相关；反之，两个随机过程相互独立，则它们一定互不相关；反之，两个随机过程互不相关，一般不能推出它们相互独立互不相关，一般不能推出它们相互独立定义定义2.18 设设r.p.X(t)和和Y(t),有有38随机事件的两种
22、描述法随机事件的两种描述法(1)随机事件发生间隔的概率分布描述法(2)随机事件的点过程描述(记数过程)法结结结结论论论论：记数过程描述法包含更多的概率信息，它可以描述随机过程在不同时 间 尺 度(time scale)内的概率特征，而时间间隔描述法只能描述随机事件的长时间特征39随机事件的概率特征描述随机事件的概率特征描述事件发生间隔Xn的特征量均值m=1/;方差v2；三阶中心矩3方差系数 自相关系数歪度系数随机事件点过程N(t)的特征量(m(t),v(t),u3(t)Index of Dispersion for Interval(IDI)Index of Dispersion for Co
23、unt(IDC)40随机事件特征量的物理意随机事件特征量的物理意业务强度是衡量随机事件发生强度的基本参数方差系数是衡量随机事件抖动的重要参数41随机事件特征量的物理意义随机事件特征量的物理意义歪度系数是衡量随机事件对称性的重要参数422.6 随机服务过程的基本概念随机服务过程的基本概念1、服务系统：顾客和服务员、服务系统：顾客和服务员2、排队现象或拥挤现象、排队现象或拥挤现象3、顾顾客客的的到到达达过过程程是是随随机机过过程程，服服务务完完一一个个顾顾客客的的服服务务时时间间也也是是一一个个随随机机过过程程，因因此此，服服务务系系统统的的整整个个过过程程也也是是随随机机的的。正正是是由由于于这
24、这种种随随机机性性，才才不不可可避避免免地地导导致致了了排排队队现现象象，这这类类服服务务系系统统称称为为随随机机服服务务系系统或简称排队系统，相应的理论方法称之为随机服务理论或排队论统或简称排队系统，相应的理论方法称之为随机服务理论或排队论4、存存在在合合理理平平衡衡问问题题：顾顾客客的的等等待待和和服服务务机机构构的的数数量量（或或服服务务水水平平）之间存在一个合理平衡的问题之间存在一个合理平衡的问题5、设计最优的随机服务系统和最佳的网络系统设计、设计最优的随机服务系统和最佳的网络系统设计432.7 随机服务系统的组成部分随机服务系统的组成部分1、组成：、组成：1)顾客到达过程：主要描述各
25、类顾客按什么样的规律抵达服务系统。顾客到达过程：主要描述各类顾客按什么样的规律抵达服务系统。2)Mt表表示示0，t）时时间间内内到到达达系系统统中中的的顾顾客客数数，连连续续时时间间参参数数，离离散散状状态态空空间；间；3)（1）顾顾客客总总体体数数是是有有限限还还是是无无限限；（2）顾顾客客到到达达方方式式是是单单个个还还是是成成批批；（3）顾客到达的概率特性。）顾客到达的概率特性。2)排排队队规规则则：主主要要描描述述服服务务机机构构是是否否允允许许顾顾客客排排队队，顾顾客客对对排排队队长长度度、时时间间的的容忍程度以及在排队队列中等待服务的顺序。容忍程度以及在排队队列中等待服务的顺序。3
26、)（1）损失制系统）损失制系统4)（2）等等待待制制系系统统：先先到到先先服服务务（FCFS）；后后到到先先服服务务（LCFS）；随随机机服服务务；优优先先级级服服务务5)（3）混合制系统：缓存有限；时间有限）混合制系统：缓存有限；时间有限服务机构服务机构排队排队排队规则排队规则顾客到达顾客到达服务时间分布服务时间分布随机服务系统随机服务系统443）服务过程服务过程（1）服务员数目：在多个服务员情况下，是串联还是并联）服务员数目：在多个服务员情况下，是串联还是并联（2）是逐个进行服务还是成批服务）是逐个进行服务还是成批服务（3）服务时间的概率分布）服务时间的概率分布2、排队系统的描述、排队系统
27、的描述 A/B/C/D/E/FA:到达过程的概率特性到达过程的概率特性B:服务时间分布服务时间分布C:服务员数服务员数D:系统最大顾客数系统最大顾客数E:描述顾客总体数描述顾客总体数F:排队规则排队规则例例1-6 M/G/1/M:顾客到达过程为顾客到达过程为Possion过程过程G:服务时间为一般分布服务时间为一般分布1:服务员数为服务员数为1 ：系统容量为无穷大的等待制排队系统系统容量为无穷大的等待制排队系统例例1-7 GI/Ek/c/K/FcFs 一般混合制排队系统一般混合制排队系统GI:独独立立到到达达，即即相相继继到到达达顾顾客客的的时时间间间间隔隔相相互互独独立，服从相同的一般分布立
28、，服从相同的一般分布:服务时间服从服务时间服从k阶爱尔朗分布阶爱尔朗分布c：服务员数服务员数K：系统容量为有限值系统容量为有限值 ：顾客源为无穷大顾客源为无穷大FcFs:先来先服务先来先服务452.8 随机服务过程的几个主要数量指标随机服务过程的几个主要数量指标1、N(t)：表明表明t时刻在系统中的顾客数或称时刻在系统中的顾客数或称t时刻系统中的队长时刻系统中的队长 Nq(t)：表表明明t时时刻刻在在系系统统中中的的排排队队等等待待顾顾客客数数或或称称t时时刻刻系系统统中中的的排排队队队队长长或等待队长或等待队长 Nv(t)：表明表明t时刻在系统中的正在接受服务的顾客数时刻在系统中的正在接受服
29、务的顾客数一般均为连续参数，离散一般均为连续参数，离散离散状态的随机过程。离散状态的随机过程。同样，若同样，若Nq(t)的的分布为：分布为：则平均等待队长为：则平均等待队长为：464 在统计平衡状态下，如极限在统计平衡状态下，如极限则，稳态平均队长则，稳态平均队长L和稳态平均队长和稳态平均队长Lq为为5 5等待时间等待时间等待时间等待时间6 从顾客抵达服务系统起直到开始接受服务为止这段时间，记从顾客抵达服务系统起直到开始接受服务为止这段时间，记Tq统计平衡条件下的等待时间分布为：统计平衡条件下的等待时间分布为：平均等待时间为：平均等待时间为：476 逗留时间：逗留时间：从顾客抵达系统起直到他接
30、受服务完成为止这段时间，记从顾客抵达系统起直到他接受服务完成为止这段时间，记T7 7 忙期忙期忙期忙期 从顾客抵达空闲服务系统开始直到服务系统再一次变为空闲状态为止，这段服务从顾客抵达空闲服务系统开始直到服务系统再一次变为空闲状态为止，这段服务系统连续忙的时间段。系统连续忙的时间段。8 8 闲期闲期闲期闲期 服务系统处于空闲状态的时间段服务系统处于空闲状态的时间段48本章主要内容本章主要内容2.1 通信网建模的基本准则2.2 通信业务源的概率模型化2.2.1 随机事件的概率特征量及物理意义2.2.2 典型概率分布及随机过程（1）连续性概率分布（2）离散型概率分布（3）典型随机过程2.2.3 纯
31、随机事件的概率模型2.2.4 平滑事件的概率模型2.2.5 突发事件的概率模型2.2.6 业务源概率模型参数的匹配49连续型概率分布连续型概率分布(1)定长分布定长分布定长分布(deterministic distribution)概率特征：方差为0主要应用：周期性到达事件定长服务系统（e.g.,ATM网络）50连续型概率分布连续型概率分布(2)均匀分布均匀分布均匀分布(uniform distribution)51连续型概率分布连续型概率分布(2)均匀分布均匀分布Uniform(虚线：Mean=0;Std.Dev.=2.3094 实线：Mean=1;Std.Dev.=4.0415)52连续型
32、概率分布连续型概率分布(3)高斯分布高斯分布 高斯分布高斯分布高斯分布高斯分布(Gaussian distribution)(Gaussian distribution)概率特征：概率特征：概率特征：概率特征：三阶矩为0大量微小随机事件和的分布（中心极限定理、大数定理）主要应用：主要应用：主要应用：主要应用：广泛应用于各种噪声、干扰及统计计算中53连续型概率分布连续型概率分布(3)高斯分布高斯分布Gaussian(虚线：Mean=0;Std.Dev.=8;实线：Mean=3;Std.Dev.=7)54连续型概率分布连续型概率分布(3)二维高斯分布二维高斯分布Joint(Bivariate)Ga
33、ussian(theta=0.4)55连续型概率分布连续型概率分布(3)二维高斯分布二维高斯分布Joint(Bivariate)Gaussian(theta=0.9)56连续型概率分布连续型概率分布(4)瑞利分布瑞利分布 瑞利分布瑞利分布瑞利分布瑞利分布(RayleighRayleigh distribution)distribution)概率特征：概率特征：概率特征：概率特征：主要应用：主要应用：主要应用：主要应用：主要用于无线蜂窝通信系统的描述主要用于无线蜂窝通信系统的描述主要用于无线蜂窝通信系统的描述主要用于无线蜂窝通信系统的描述(多径信道多径信道多径信道多径信道)57连续型概率分布连续
34、型概率分布(4)瑞利分布瑞利分布Rayleigh(虚线：Mean=4.4311;Std.Dev.=2.3163;实线：Mean=8.8623;Std.Dev.=4.6325)58连续型概率分布连续型概率分布(5)负指数分布负指数分布定义定义 若若X为连续型随机变量，其概率密度函数为为连续型随机变量，其概率密度函数为 则称则称X是一个服从参数为是一个服从参数为的的负指数分布负指数分布负指数分布负指数分布的随机变量。其分布函数为的随机变量。其分布函数为1、性性质质：1）由由式式（1）知知，负负指指数数分分布布的的密密度度函函数数是是单单调调减减少少的的，因因此此有有对对任任意意t0,随随机机变变量
35、量X落落在在区区间间0,s)内内的的可可能能性性要要大大于于落落在在区区间间t,t+s)中中的的可可能能性性。最最大大可可能能性性是是落在落在t=0附近。附近。2）无记忆性或无后效性、马尔可夫性无记忆性或无后效性、马尔可夫性：“将来将来”只与只与“现在现在”有关，而与有关，而与“过去过去”无关无关 解解释释：1）若若将将x看看成成为为某某顾顾客客的的服服务务时时间间，则则无无记记忆忆性性的的意意思思为为，不不论论该该顾顾客客已已经经接接受受服服务务的的时时间间为为多多少少，剩剩余余的的服服务务时时间间的的条条件件分分布布仍仍与与原原分分布布相相同同，且且与与已已服服务务多多少少时时间间无无关关
36、；2）若若将将x看看成成为为相相继继顾顾客客的的到到达达间间隔隔，则则无无记记忆忆性性即即指指，在在下下一一顾顾客客尚尚未未到到达达之之前前，无无论论到到达达间间隔隔已已持持续续多多长长时时间间，剩剩余余到到达达间间隔隔的的条条件件分分布布与与到到达达间间隔隔的的原原分分布布相相同，且不受已经历的到达间隔的影响。同，且不受已经历的到达间隔的影响。在连续型随机变量中仅有负指数分布的随机变量具有无记忆性在连续型随机变量中仅有负指数分布的随机变量具有无记忆性在连续型随机变量中仅有负指数分布的随机变量具有无记忆性在连续型随机变量中仅有负指数分布的随机变量具有无记忆性59定理定理：负指数分布具有无记忆性
37、，即若：负指数分布具有无记忆性，即若X服从参数服从参数0的负的负指数分布，则：指数分布，则：证明证明 设设 X服从参数服从参数0的负指数分布，则有的负指数分布，则有由条件概率公式得：由条件概率公式得：2、均值：、均值：3、方差：、方差：604、均方差或标准差、均方差或标准差5、方差系数：、方差系数：61连续型概率分布连续型概率分布(5)负指数分布负指数分布 负指数分布负指数分布负指数分布负指数分布(Exponential distribution)(Exponential distribution)概率特征：概率特征：概率特征：概率特征：方差系数1只有一个参数无记忆性 主要应用：主要应用：主要
38、应用：主要应用：广泛用于军事、社会、交通、通信等领域62连续型概率分布连续型概率分布(5)负指数分布负指数分布Exponential(Mean=5;Std.Dev.=5)63连续型概率分布连续型概率分布(5)负指数分布负指数分布Exponential(虚线：Mean=5;Std.Dev.=5;实线：Mean=7;Std.Dev.=7)64连续型概率分布连续型概率分布(6)爱尔朗（爱尔朗（Erlang）分分布布定义定义 若随机变量若随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 则称则称X服从服从k阶爱尔朗分布。其分布函数为阶爱尔朗分布。其分布函数为1、均值、均值2、方差、方差3、均方差、均方差4、
39、方差系数、方差系数65连续型概率分布连续型概率分布(6)爱尔朗（爱尔朗（Erlang）分布）分布简单流：相邻时间发生的时间间隔服从负指数分布简单流：相邻时间发生的时间间隔服从负指数分布,具有无记忆特性具有无记忆特性在在简简单单流流中中每每隔隔(k-1)个个“点点”的的“点点”组组成成的的流流叫叫k阶阶爱爱尔尔朗朗分分布布，记记为为Ek，有有无无记记忆忆特性特性t0T1T2T3T4T5T6T1T2T3即即理理解解：对对于于k个个串串联联的的服服务务台台，每每个个服服务务台台的的服服务务时时间间相相互互独独立立，均均服服从从负负指指数数分分布布，则则每每个个顾顾客客总总的的服服务务时时间服从间服从
40、Ek分布分布f(t)tk=12345620当当k=1,Ek为为负负指指数数分分布布，完完全全随随机机；当当k足足够够大大时时，Ek分分布布近近似似于于正态分布；当正态分布；当X以以概概率率1取取值值 ，即即为为定定长长分分布布，因因此此Ek分分布布可可以以看看作作随随机机模模型型和和非非随随机机模模型型的的中中间间状状态态66连续型概率分布连续型概率分布(6)爱尔朗（爱尔朗（Erlang）分布）分布67连续型概率分布连续型概率分布(6)爱尔兰分布爱尔兰分布爱尔兰分布(Erlangian distribution)概率特征：方差系数小于1由r个负指数随机变量的和构成，r 趋于无穷大时逼近于定长分
41、布主要应用：多级服务系统；描述平滑（规则）随机事件流68连续型概率分布连续型概率分布(6)爱尔兰分布爱尔兰分布Sum of 6 Exponential Variables69Erlang DistributionsErlang-k distributions with mean value equal to one.The case k=1 correspond to an exponential distribution(density functions)70连续型概率分布(7)超指数分布超指数分布(Hyper-exponential distribution)概率特征：r 个负指数分布随
42、机变量概率和的分布方差系数大于171连续型概率分布连续型概率分布(7)超指数分布超指数分布 1 1 2 21221 2 22 1 11 R RR i ii72Coxian(Phase)Distributionrir r1 1 1 11Rir ri i i ir r1 1 1 1r r1 1 1 1r rR R R Rr ri i i ir ri i i ir rR R R Rr rR R R Rr1rR11122273Coxian(Phase)DistributionA Cox-distribution is a generalised Elrlang-distribution having
43、exponential distributions in both parallel and series.74离散型概率分布(1)几何分布 设随机变量设随机变量X的概率分布律为：的概率分布律为：1、均值、均值2、方差、方差其中其中0p0 均值均值 EX=p 方差方差 DX=pq相关函数相关函数 协方差函数协方差函数 942.8 独立增量过程独立增量过程定义定义2.8-1 设有随机过程设有随机过程 ，如果对任意正整数，如果对任意正整数 ，随机过程的增量：，随机过程的增量：是相互独立的的随机变量，则称是相互独立的的随机变量，则称 为独立增量过程为独立增量过程 不失一般性，可设不失一般性，可设PX
44、(0)=0=1或或0 定义定义2.8-2 如果独立增量过程如果独立增量过程 ，对所有的，对所有的 有相同的概率分布，则称有相同的概率分布，则称 为平稳独立增量过程为平稳独立增量过程 平稳独立增量过程平稳独立增量过程 的增量的增量 的概率分布仅依赖于的概率分布仅依赖于 而与而与t无关，即仅与时间区间的长度无关，即仅与时间区间的长度 有关，而有关，而与起点无关，具有平稳性，即增量具有平稳性与起点无关，具有平稳性，即增量具有平稳性 952.9 泊松过程泊松过程(Possion Process)计数过程：如果计数过程：如果N(t)是取非负整数值的随机变量，满足若是取非负整数值的随机变量，满足若st，则
45、有则有 ，称，称 为计数过程为计数过程 如如果果对对t10,N(t2+s)-N(t1+s)与与N(t2)-N(t1)有有相相同同的的概概率率分布，则该计数过程是有平稳增量的分布，则该计数过程是有平稳增量的定义定义2.9-1 计数过程计数过程 称为齐次称为齐次Poisson过程，如果满足条件：过程，如果满足条件：（1）（2）具有独立增量）具有独立增量 （3）962.9 泊松过程泊松过程(Possion Process)定义定义2.9-2 计数过程计数过程 称为齐次称为齐次Poisson过程，如果满足条件：过程，如果满足条件：（1）（2）具有平稳独立增量）具有平稳独立增量 （3）（4）97定义定义
46、2.9-3 若到达过程若到达过程 为为Poission过程，则满足：过程，则满足：（1）平平衡衡性性（齐齐次次性性）：在在时时间间区区间间t0,t0+t内内有有k个个顾顾客客到到达达的的概率与时间区间起点概率与时间区间起点t0无关，而仅与到达数无关，而仅与到达数k和时间长度和时间长度t有关，即：有关，即：（2）独独立立增增量量性性（无无后后效效性性）：在在任任意意不不相相交交的的区区间间内内到到达达的的顾顾客数相互独立，即任取客数相互独立，即任取 和状态和状态k1,k2有：有：（3）有有限限性性：对对任任意意的的有有限限区区间间t0,t0+t内内，到到达达有有限限多多个个顾顾客客的的概率为概率
47、为1，即：，即：（4）普通性（单个性）：在）普通性（单个性）：在t0,t0+t内至少到达两个顾客的概率内至少到达两个顾客的概率 是关于是关于t的高阶无穷小，即的高阶无穷小，即98 泊松过程概率分布与数字特征泊松过程概率分布与数字特征1、一维概率分布及均值和方差、一维概率分布及均值和方差 均值均值方差方差2、二维概率分布及均方差函数和相关函数、二维概率分布及均方差函数和相关函数均方差函数均方差函数 相关函数相关函数99 泊松过程的性质泊松过程的性质性质性质1 泊松过程是平稳独立增量过程泊松过程是平稳独立增量过程性质性质2 泊松过程是马尔可夫过程泊松过程是马尔可夫过程性质性质3 泊松过程是生灭过程
48、泊松过程是生灭过程性质性质4 泊松过程是非平稳过程，但为平稳增量过程泊松过程是非平稳过程，但为平稳增量过程 设设N(t)表表示示区区间间0，t)内内事事件件出出现现的的次次数数，为为参参数数为为 的的泊泊松松过过程程，设设 分分别别表表示示事事件件第第一一、二二、n次次出出现现的的时时间间，我我们们称称 为为事事件件第第k次次出出现现的的时时间间；表表示示事事件件第第k-1次次出出现到第现到第k次出现之间的次出现之间的时间间隔时间间隔性质性质5 设设 为参数为为参数为 的泊松过程，的泊松过程，Tn,n=1,2,为时间间为时间间隔序列，则隔序列，则Tn,n=1,2,是相互独立同分布的随机变量，且
49、都服从参数为是相互独立同分布的随机变量，且都服从参数为 的指数分布的指数分布100 证明性质证明性质5又又1012.10 生灭过程生灭过程定定义义2.10-1 设设有有一一个个系系统统，具具有有状状态态集集合合E=0,1,2,或或E=0,1,2,，K。令。令Nt表示系统在时刻表示系统在时刻t所处的状态。若对任意所处的状态。若对任意t=0,有：有：（1）为为常常数数，有有限限状状态态时时i=0,1,K-1。可数状态时，可数状态时，i=0,1,2,。（2）为为常常数数，有有限限状状态态时时i=0,1,K-1或或i=0,1,2,。（3）则称系统状态随时间变化的过程则称系统状态随时间变化的过程 为生灭
50、过程。为生灭过程。102泊松过程泊松过程泊松过程泊松过程泊松过程泊松过程(Poisson process)(Poisson process)定义：计数过程N(t)服从泊松分布的随机过程随机特性：随机特性：随机特性：随机特性：方差系数等于1的纯随机过程具有无后效性只需要确定一个参数事件发生间隔之间服从负指数分布主要应用：主要应用：主要应用：主要应用：广泛应用于各种随机事件的描述或近似103泊松过程是一个非常实用的随机过程泊松过程是一个非常实用的随机过程Number of Internet dial-up calls per second.The theoretical values are ba