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1、解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用本课内容本节内容4.31解直角三角形（一）解直角三角形（一）2 如图如图4-23，在直角三角形，在直角三角形ABC中，中，C=90，A，B，C的对边分别记作的对边分别记作a，b，c.说一说说一说图图4-2331.直角三角形的三边之间有什么关系？直角三角形的三边之间有什么关系？a2+b2=c2(勾股定理勾股定理)图图4-2342.直角三角形的锐角之间有什么关系？直角三角形的锐角之间有什么关系？A+B=90.图图4-2353.直角三角形的边和锐角之间有什么关系？直角三角形的边和锐角之间有什么关系？图图4-23 的对边的对边斜边斜边 的邻边的邻边斜边斜边 的对
2、边的对边邻边邻边6 根据下列每一组条件，能画出多少个直角三角形根据下列每一组条件，能画出多少个直角三角形(全等的直角三角形算一个全等的直角三角形算一个)？做一做做一做（1）一个锐角为一个锐角为 40；（2）一个锐角）一个锐角40，它的邻边长为，它的邻边长为3cm；无数个无数个（3）一个锐角）一个锐角40，它的对边长为，它的对边长为3cm；（4）一个锐角）一个锐角40，斜边长为，斜边长为3cm；（5）斜边长为）斜边长为4cm，一条直角边长为，一条直角边长为3cm.1个个1个个1个个1个个7做一做做一做 从这些问题的结论，你猜想有什么规律？从这些问题的结论，你猜想有什么规律？这个猜想正确吗？这个猜
3、想正确吗？（1）一个锐角为一个锐角为 40；（2）一个锐角）一个锐角40，它的邻边长为，它的邻边长为3cm；无数个无数个（3）一个锐角）一个锐角40，它的对边长为，它的对边长为3cm；（4）一个锐角）一个锐角40，斜边长为，斜边长为3cm；（5）斜边长为）斜边长为4cm，一条直角边长为，一条直角边长为3cm.1个个1个个1个个1个个8结论结论 在直角三角形中，除直角外的在直角三角形中，除直角外的5个元素个元素(3条边和条边和2个个锐角锐角)，只要知道其中的，只要知道其中的2个元素个元素(至少有一个是边至少有一个是边)，利，利用上述关系式，就可以求出其余的用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元
4、素，这叫作个未知元素，这叫作解直角三角形解直角三角形.9动脑筋动脑筋 如果知道的如果知道的2个元素都是角，那么能求出直角三个元素都是角，那么能求出直角三角形的边吗？角形的边吗？不能不能.因为此时的直角三角形因为此时的直角三角形有无数多个有无数多个.10举举例例例例1 如图如图4-24，在，在RtABC中，中，a=5，求，求B，b，c.图图4-24解解:又又 11举举例例例例2 在在RtABC中，中，C=90，a=15.60cm，b=8.50cm，求，求c，A，B(长度精确到长度精确到0.01cm)，角角度精确到度精确到1).).解解:由于由于因此因此从而从而12练习练习答：答：1.在在RtAB
5、C中，中，b=3cm，求求A，a，c(精确到精确到0.01cm).).13答：答：2.在在RtABC中，中，a=5.82cm，c=9.60cm，求求b，A，B(角度精确到角度精确到1，长度精确到长度精确到 0.01cm).).144 4如图，已知如图，已知RtABCRtABC中，斜边中，斜边BCBC上的高上的高AD=4AD=4，cosB=cosB=3 3、（、（20102010 常德中考）在常德中考）在ABCABC中，中，C C9090，sinA=sinA=则则tanBtanB为（）为（）B B ABCD，则，则AC=_.AC=_.5 5152 2、如如图图所所示示，一一棵棵大大树树在在一一次
6、次强强烈烈的的地地震震中中于于离离地地面面1010米米处处折折断断倒倒下下，树树顶顶落在离树根落在离树根2424米处米处.大树在折断之前高多少？大树在折断之前高多少？解解析析:利利用用勾勾股股定定理理可可以以求求出出折折断断倒倒下部分的长度为下部分的长度为:262610103636（米）（米）.答答:大树在折断之前高为大树在折断之前高为3636米米.161.1.如图，如图，ABCABC中，中，C=90C=90，AB=8AB=8，cosA=cosA=,则则ACAC的长是的长是_A AC CB B6 6 2.2.（20102010常德中考）如图，在常德中考）如图，在RtABCRtABC中，中，若若
7、AC=2BCAC=2BC，则，则sinAsinA的值是（的值是（）C C17通过这节课，我们应当掌握：通过这节课，我们应当掌握：1 1、掌握直角三角形的五个元素，已知两个元素（至少有个是边），能求出其、掌握直角三角形的五个元素，已知两个元素（至少有个是边），能求出其余三个元素；余三个元素；2 2、能把数学问题转化成解直角三角形问题。、能把数学问题转化成解直角三角形问题。18解直角三角形（二）解直角三角形（二）19 1.1.仰角与俯角的定义仰角与俯角的定义 在视线与水平线所成的角中规定在视线与水平线所成的角中规定:视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角
8、。视线在水平线下方的叫做俯角。铅铅垂垂线线视线视线视线视线水平线水平线仰角俯角20东东西西北北南南O（1）正东，正南，正西，正北）正东，正南，正西，正北（2）西北方向）西北方向:_ 西南方向西南方向:_ 东南方向东南方向:_ 东北方向东北方向:_ 射线OAABCDOBOCOD45射线射线OE射线射线OF射线射线OG射线射线OHEGFH454545认识方位角认识方位角21O北北南南西西东东 南偏西南偏西2525 北偏西北偏西70 南偏东南偏东60ABC射线射线OA射线射线OB射线射线OC7060认识方位角认识方位角22举举例例例例3 如图如图4-25，一艘游船在离开码头，一艘游船在离开码头A后，
9、以和河岸后，以和河岸成成 30角的方向行驶了角的方向行驶了500m到达到达B处，求处，求B处与河岸处与河岸的距离的距离.图图4-25?23解解:从点从点B作河岸线作河岸线(看成直线段看成直线段)的垂线，垂足为的垂线，垂足为C，从而从而答：答：B处与河岸的距离约为处与河岸的距离约为250m?在在RtABC中，中，C=90，A=30，AB=500m.由于由于BC是是A的对边，的对边，AB是斜边，因此是斜边，因此ACB24举举例例例例4 如图如图4-26，在高为，在高为28.5m的楼顶平台的楼顶平台D处，用仪处，用仪器测得一路灯电线杆底部器测得一路灯电线杆底部B的俯角为的俯角为1515，仪器高度，仪
10、器高度AD为为1.5m.求这根电线杆与这座楼的距离求这根电线杆与这座楼的距离BC(精确到精确到1m).).图图4-2625解解:在在RtABC中，中，C=90，图图4-26由于由于BC是是BAC的对边，的对边，AC是邻边，是邻边，因此因此答：这根电线杆与这座楼的距离约为答：这根电线杆与这座楼的距离约为112m.从而从而AC=28.5+1.5=30(m)，26练习练习答：答：如图如图4-27，一艘轮船航行到，一艘轮船航行到B处时，灯塔处时，灯塔A在船在船的北偏东的北偏东 的方向，轮船从的方向，轮船从B处向正东方向行驶处向正东方向行驶2400m到达到达C处，此时灯塔处，此时灯塔A在船的正北方向在船
11、的正北方向.求求C处处与灯塔与灯塔A的距离的距离(精确到精确到1m).图图4-2727举举例例例例5 如图如图4-28，一座楼房的顶层阳台上方的屋檐成，一座楼房的顶层阳台上方的屋檐成等腰梯形，上底长等腰梯形，上底长2.0m，下底长，下底长3.6m，一腰长，一腰长1.9m.求等腰梯形的高求等腰梯形的高(精确到精确到0.1m)，以及一腰与下底所成，以及一腰与下底所成的底角的底角(精确到精确到1).).图图4-2828解解:在等腰梯形在等腰梯形ABCD中，中，从顶点从顶点D作下底作下底AB的垂线，垂足为的垂线，垂足为E.图图4-28由于上底由于上底DC=2m，下底，下底AB=3.6m，在直角三角形在
12、直角三角形ADE中，中，AED=90，AD=1.9m，AE=0.8m，因此因此 从而从而由于由于AE是是A的邻边，的邻边，AD是斜边，因此是斜边，因此从而从而 答：等腰梯形的高约等于答：等腰梯形的高约等于1.7m，一腰与下底所成的底角约等于一腰与下底所成的底角约等于E295 5、如图，张华同学在学校某建筑顶部的、如图，张华同学在学校某建筑顶部的、如图，张华同学在学校某建筑顶部的、如图，张华同学在学校某建筑顶部的C C点处测点处测点处测点处测得旗杆顶部得旗杆顶部得旗杆顶部得旗杆顶部A A点的仰角为点的仰角为点的仰角为点的仰角为30300 0，旗杆底部，旗杆底部，旗杆底部，旗杆底部B B点的俯点的
13、俯点的俯点的俯角为角为角为角为45450 0，若旗杆底部，若旗杆底部，若旗杆底部，若旗杆底部B B点到建筑物的水平距离点到建筑物的水平距离点到建筑物的水平距离点到建筑物的水平距离BE=9mBE=9m，旗杆台阶高，旗杆台阶高，旗杆台阶高，旗杆台阶高1m1m，则旗杆顶点，则旗杆顶点，则旗杆顶点，则旗杆顶点A A离地面离地面离地面离地面的高为的高为的高为的高为_m_m。ACBE建 筑 物H307、如图某船以每小时、如图某船以每小时30海里的速度先向正东方向海里的速度先向正东方向航行，在点航行，在点A处测得某岛处测得某岛C在北偏东在北偏东600的方向上，的方向上，航行航行3小时到达点小时到达点B，测得
14、该岛在北偏东，测得该岛在北偏东300的方向的方向上且该岛周围上且该岛周围86海里内有暗礁海里内有暗礁（1）试证明：点）试证明：点B在暗礁区外；在暗礁区外；（2）若继续向东航行有）若继续向东航行有无触暗礁的危险？无触暗礁的危险？CABD东东北北31解直角三角形（三）解直角三角形（三）32 在直角三角形在直角三角形ABC中中,C90，ab10,ba4，求，求a、b、c、tanA。33 图图4-29的的(1)和和(2)中，哪个山坡比较陡？中，哪个山坡比较陡？观察观察(2)中的山坡比较陡中的山坡比较陡.图图4-27（1）（2）34动脑筋动脑筋 如何用数量来反映哪个山坡陡呢？如何用数量来反映哪个山坡陡呢
15、？图图4-27（1）（2）35 如图如图4-30，从山坡脚下点，从山坡脚下点P上坡走到点上坡走到点N 时，升时，升高的高度高的高度h(即线段即线段MN的长的长)与水平前进的距离与水平前进的距离l(即线即线段段PM的长度的长度)的比叫作坡度，用字母的比叫作坡度，用字母i表示，即表示，即图图4-3036 坡面的坡面的铅垂高度铅垂高度（h h）和）和水平长度水平长度（l l）的比）的比叫做叫做坡面坡度（或坡比）坡面坡度（或坡比），记作，记作i i,坡面与水平面的夹角叫做坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角，记作，记作，即即i i=坡度通常写成坡度通常写成1 1：m m的形式的形式i=1：m37 坡度通常写
16、成坡度通常写成 1:m 的形式的形式 图图4-30中的中的MPN叫作坡角叫作坡角(即山坡与地平面的夹角即山坡与地平面的夹角).).图图4-30 显然，坡度等于坡角的正切显然，坡度等于坡角的正切.坡度越大，山坡越陡坡度越大，山坡越陡.381、斜坡的坡比是、斜坡的坡比是1:1，则坡角，则坡角=_度。度。3、斜坡长是、斜坡长是12米米,坡高坡高6米米,则坡比是则坡比是_。Lh2、斜坡的坡角是、斜坡的坡角是600，则坡比是，则坡比是 _。4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体，把物体 从地面送到离地面从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路米高的地方，则物
17、体通过的路程为程为 _米。米。5、斜坡的坡度是、斜坡的坡度是1：3，斜坡长，斜坡长=100米，则斜坡米，则斜坡高为高为_米。米。39举举例例例例6 如图如图4-30，一山坡的坡度一山坡的坡度 i=1:1.8，小刚，小刚从山坡脚下点从山坡脚下点P上坡走了上坡走了24m到达点到达点N，他上升了，他上升了多少米多少米(精确到精确到0.1m)？这座山坡的坡角是多少度？这座山坡的坡角是多少度(精确到精确到1)？图图4-3040解解:用用 表示坡角的大小，由于表示坡角的大小，由于因此因此 在直角三角形在直角三角形PMN中，中，PN=240m.由于由于NM是是P的对边，的对边，PN是斜边，是斜边，因此因此
18、从而从而答：小刚上升了约答：小刚上升了约116.5m，这座山坡的坡角，这座山坡的坡角约等于约等于图图4-3041 有一段防洪大堤，横截面为梯形有一段防洪大堤，横截面为梯形ABCDABCD，ABCDABCD，斜坡斜坡ADAD的坡度的坡度 为为1 1：1.21.2，斜坡，斜坡BCBC的坡度的坡度 为为1 1：0.80.8，大坝底宽，大坝底宽ABAB为为1010米米,坝高坝高2 2米米,求坝顶宽及斜坡求坝顶宽及斜坡BCBC的坡角的坡角。i1=1：1.2i2=1：0.810米ABCD2米米EF42练习练习答：路基底宽为答：路基底宽为30.0m，坡角坡角 如图如图4-31，一铁路路基的横断面为等腰梯形，
19、路，一铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的顶宽基的顶宽(即等腰梯形的上底长即等腰梯形的上底长)为为10.2m，路基的坡，路基的坡度度i=1:1.6，等腰梯形的高为，等腰梯形的高为6.2m.求路基的底宽求路基的底宽(精确精确到到0.1m)和坡角和坡角(精确到精确到1).).图图4-3143小结与复习小结与复习 本章我们主要学习了锐角的本章我们主要学习了锐角的正弦正弦、余弦余弦、正切正切的概念，以及它们在求解直角三角形和实际生活中的概念，以及它们在求解直角三角形和实际生活中的广泛应用的广泛应用 44一、一、锐角三角函数锐角三角函数 1.概念概念在直角三角形中，一个锐角为在直角三角形中，一个锐角为，则
20、，则角角 的对边的对边斜边斜边角角 的邻边的邻边斜边斜边角角 的对边的对边邻边邻边 分别叫作角分别叫作角的正弦、余弦、正切的正弦、余弦、正切.锐角的正弦、余弦、正切统称为锐角的正弦、余弦、正切统称为锐角三角函数锐角三角函数45 2.30，45，60角的正弦、余弦、正切值角的正弦、余弦、正切值.46 3.同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系.(3)已知已知 tan的值，的值，是锐角，求是锐角，求sin，cos 的值的方法可以参看的值的方法可以参看4.2节的例节的例3.此方法可推广此方法可推广 到：已知到：已知sin(或或cos)的值，的值，是锐角，求是锐角，求 c
21、os(或或sin)，tan的值的值.47 4.互为余角的正弦、余弦的关系互为余角的正弦、余弦的关系 设设是锐角，则是锐角，则48 5.用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值 6.已知正弦或余弦，或正切值，用计算器求相应已知正弦或余弦，或正切值，用计算器求相应 的锐角的锐角.49二、二、解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 1.在直角三角形中，除直角外的在直角三角形中，除直角外的5个元素，只要知道个元素，只要知道 其中的其中的2个元素个元素(至少有一个是边至少有一个是边)，就可以求出其，就可以求出其余的余的3个未知元素，这叫作解直角三角形个未知元素，这叫作解直角
22、三角形.50解直角三角形依据下列关系式：如图解直角三角形依据下列关系式：如图4-35，a2+b2 =c2(勾股定理勾股定理)，角角 的对边的对边斜边斜边角角 的邻边的邻边斜边斜边角角 的对边的对边邻边邻边其中其中A可以换成可以换成B.图图4-35512.在将解直角三角形应用到实际问题中时，首先要弄在将解直角三角形应用到实际问题中时，首先要弄清楚实际问题的情况，找出其中的直角三角形和已清楚实际问题的情况，找出其中的直角三角形和已知元素；知元素；其次要从已知元素和所求的未知元素，正确选用正其次要从已知元素和所求的未知元素，正确选用正弦，或余弦，或正切；弦，或余弦，或正切；第三要会用计算器进行有关计
23、算第三要会用计算器进行有关计算 52中考中考 试题试题例例1 A 已知在已知在 RtABC 中中，C=90，sinA=，则则tanB的值为的值为（）A.B.C.D.解解RtABC中，中，C=90，sinA=,可设可设a=3k，c=5k，b=4k，tanB=.故选故选A.53中考中考 试题试题例例2 解解是等腰直角三角形的一个锐角，是等腰直角三角形的一个锐角，=45，tan=tan45=1，故选，故选C.如果如果是等腰直角三角形的一个锐角，则是等腰直角三角形的一个锐角，则tan的的值是值是（）A.B.C.1 D.C54中考中考 试题试题例例3 如图所示，如图所示，Rt ABC Rt DEF，则，则cosE的值等于的值等于（）A.B.C.-3 D.-1.A解解由相似三角形对应角相等，得由相似三角形对应角相等，得E=B=60，所以所以 cosE=.55结结 束束56