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1、设系统的传递函数为：已知输入 频率特性基本概念第五章 频域响应法 线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入的幅值比为输出与输入的相位差相频特性幅频特性一、基本概念 幅相频率特性幅相频率特性G(j):G(j)的幅值和相位均随输入正弦信号的幅值和相位均随输入正弦信号角频率角频率 的的变化而变化。变化而变化。在系统闭环传递函数在系统闭环传递函数G(s)中，令中，令s=j，即可得到系统的频率即可得到系统的频率特性。特性。1、频率响应、频率响应 在在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的频率响应频率响应,记为记为css(t)2、
2、频率特性频率特性 幅频特性幅频特性A():稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比:相频特性相频特性():稳态输出信号的相角与输入信号相角之差稳态输出信号的相角与输入信号相角之差:频率特性与传递函数具有十分相的形式 【例例】某单位反馈控制系统得开环传递函数为某单位反馈控制系统得开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号试求输入信号r(t)=2sin t时系统的稳态输出时系统的稳态输出 解解 首先求出系统的闭环传递函数首先求出系统的闭环传递函数(s)，令令s=j 得得 如如=2,则则 (j2)=0.35 -45o则则系统稳态输出系统稳态输出为
3、：为：c(t)=0.35*2sin(2t-45o)=0.7sin(2t-45o)二、频率特性表示法 频率特性可用解析式或图形来表示。频率特性可用解析式或图形来表示。（一）解析表示（一）解析表示 系统开环频率特性可用以下解析式表示系统开环频率特性可用以下解析式表示 幅频幅频-相频形式相频形式：指数形式指数形式(极坐标极坐标)：三角函数形式：三角函数形式：实频实频-虚频形式虚频形式：（二）系统频率特性常用的图解形式（二）系统频率特性常用的图解形式 1.极坐标图极坐标图奈奎斯特图奈奎斯特图（Nyqusit）幅相幅相特性曲线特性曲线 系统频率特性为幅频系统频率特性为幅频-相频形式相频形式 当当 在在0
4、 变化时变化时,相量相量G(j)H(j)的幅值和相角随的幅值和相角随 而变化而变化,与此对应与此对应的相量的相量G(j)H(j)的端点在复平面的端点在复平面 G(j)H(j)上的运动轨迹就称为上的运动轨迹就称为幅相频幅相频率特性率特性或或 Nyqusit曲线曲线。画有。画有 Nyqusit曲线的坐标图称为曲线的坐标图称为极坐标图极坐标图或或Nyqusit图图。5-4 系统开环频率特性的绘制系统开环传函的一般形式为：系统开环传函的一般形式为：一、系统开环传函幅频特性一、系统开环传函幅频特性系统开环传函由多个典型环节相串联：系统开环传函由多个典型环节相串联：那麽，系统幅相特性为：那麽，系统幅相特性
5、为：即开环系统的幅频特性与相频特性为：即开环系统的幅频特性与相频特性为：开环系统的幅频特性是各串联环节幅频特性的幅值之积；开环系统的幅频特性是各串联环节幅频特性的幅值之积；开环系统的相频特性是各串联环节相频特性的相角之和。开环系统的相频特性是各串联环节相频特性的相角之和。二、系统开环频率特性曲线的绘制二、系统开环频率特性曲线的绘制1、系统、系统(标准型标准型)简单吗？简单吗？2、比较复杂、比较复杂2、比较简单、比较简单则写出则写出G(jw)Re+j Im3、分别求出、分别求出w=0+、+时的时的G(jw)4、必要时画出幅相曲线中间几点、必要时画出幅相曲线中间几点 5、勾画出、勾画出w=0+时时
6、G(jw)的的大致曲线（当然，越大致曲线（当然，越精确越好）精确越好）注意：若传递函数不存在微分项（纯微分、一阶微分、二阶注意：若传递函数不存在微分项（纯微分、一阶微分、二阶微分等），则幅相特性曲线相位连续减少；反之，若出现微微分等），则幅相特性曲线相位连续减少；反之，若出现微分环节，则幅相曲线会出现凹凸。分环节，则幅相曲线会出现凹凸。例例1 某单位反馈系统的开环传函为：某单位反馈系统的开环传函为：试试概略绘制系统开环幅相图。概略绘制系统开环幅相图。例例2 某单位反馈系统的开环传函为：某单位反馈系统的开环传函为：试试概略绘制系统开环幅相图。概略绘制系统开环幅相图。例例3 某单位反馈系统的开环传
7、函为：某单位反馈系统的开环传函为：试试概略绘制系统开环幅相图。概略绘制系统开环幅相图。例例4 某单位反馈系统的开环传函为：某单位反馈系统的开环传函为：试试概略绘制系统开环幅相图。概略绘制系统开环幅相图。例例5 某单位反馈系统的开环传函为：某单位反馈系统的开环传函为：试试概略绘制系统开环幅相图。概略绘制系统开环幅相图。例例6 某单位反馈系统的开环传函为：某单位反馈系统的开环传函为：试试概略绘制系统开环幅相图。概略绘制系统开环幅相图。例例7 某单位反馈系统的开环传函为：某单位反馈系统的开环传函为：试试概略绘制系统开环幅相图。概略绘制系统开环幅相图。例例8 某单位反馈系统的开环传函为：某单位反馈系统
8、的开环传函为：试试概略绘制系统开环幅相图。概略绘制系统开环幅相图。5-5 最小相位系统和非最小相位系统（1）如如果果系系统统开开环环传传递递函函数数在在右右半半S平平面面上上没没有有极极点点和和零零点点，则则称称该该系系统统为为最小相位系统，如最小相位系统，如（2）系统的开环传递函数在右半）系统的开环传递函数在右半S平面上有一个平面上有一个(或多个或多个)零点或极点零点或极点,则该则该系统称为非最小相位系统。开环传递函数含有延迟环节的系统也称非最小相系统称为非最小相位系统。开环传递函数含有延迟环节的系统也称非最小相位系统。位系统。（4）非最小相位一般由两种情况产生）非最小相位一般由两种情况产生
9、:系统内包含有非最小相位元件系统内包含有非最小相位元件(如如延迟因子延迟因子);内环不稳定。内环不稳定。（5）最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系）最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系(Bode定理定理)（3）具有）具有相同幅值的两个系统相同幅值的两个系统,由由0时时,最小相位系统的相角迟后最小相位系统的相角迟后最小最小,而非最小相位系统的相角迟后则而非最小相位系统的相角迟后则较大较大。对数相频特性记为对数相频特性记为单位为分贝（单位为分贝（dB)对数幅频特性记为对数幅频特性记为单位为弧度（单位为弧度（rad)如将系统频率特性如将系统频率特性G(j )的幅值和相角分别绘在的
10、幅值和相角分别绘在半对数坐标图半对数坐标图上上,分别得到分别得到对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行分（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横轴：对频率取以度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度为底的对数后进行分度:lgw）和和相频特相频特性曲线性曲线（纵轴纵轴：对相角进行线性分度；：对相角进行线性分度；横轴横轴：对频率取以：对频率取以10为底为底的对数后进行分度的对数后进行分度lgw），），合称为伯德图合称为伯德图(Bode图图)。（二）系统频率特性常用的图解形式（二）系统频率特性常用的图解形式 2.伯德图伯德图(Bode图图)对数相频特性记为对数相频特性记为单位为
11、分贝（单位为分贝（dB)对数幅频特性记为对数幅频特性记为单位为弧度（单位为弧度（rad)如将系统频率特性如将系统频率特性G(j )的幅值和相角分别绘在的幅值和相角分别绘在半对数坐标图半对数坐标图上上,分别得到分别得到对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线（纵轴：纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；对幅值取分贝数后进行分度；横横轴：轴：对频率取以对频率取以10为底的对数后进行分度）和为底的对数后进行分度）和相频特性曲线相频特性曲线（纵轴：纵轴：对相角进行线性分度对相角进行线性分度；横轴：横轴：对频率取以对频率取以10为底的对数后进行分度为底的对数后进行分度），），合称为伯德图合称为伯德图(Bode图图)。
12、5-6 典型环节的对数频率特性:伯德图伯德图(Bode图图)L(w)(dB)0.010.1110wlgw20404020.0(w)0.010.1110wlgw45o90o90o45o.0o 对数幅频特性对数幅频特性 对数相频特性对数相频特性1.比例环节比例环节(K)K02.积分环节积分环节(G(s)=1/s)3.微分环节微分环节(G(s)=s)4.惯性环节惯性环节(G(s)=1/(Ts+1)5.一阶微分环节一阶微分环节(G(s)=Ts+16.振荡环节振荡环节7.二阶微分二阶微分8.滞后环节滞后环节9.非最小相位环节非最小相位环节 与对应最小相位环节相比，对数幅频特性与对应最小相位环节相比，对数
13、幅频特性相同相同，对数相频特性关于实轴对数相频特性关于实轴对称对称（-K除外）除外）G(s)=-K -180oG(s)=1/(-Ts+1)0 90oG(s)=-Ts+1 0 -90o0 180o0 -180o一、系统开环对数频特性一、系统开环对数频特性5-7 系统开环对数频率特性(Bode图图)的绘制的绘制系统开环传函由多个典型环节相串联：系统开环传函由多个典型环节相串联：那麽，系统对数幅频和对数相频特性曲线为：那麽，系统对数幅频和对数相频特性曲线为：系统开环对数幅值等于各环节的对数幅值之和；相位等系统开环对数幅值等于各环节的对数幅值之和；相位等于各环节的相位之和。于各环节的相位之和。因此，开
14、环对数幅值曲线及相位曲线分别由各串联环节因此，开环对数幅值曲线及相位曲线分别由各串联环节对数幅值曲线和相位曲线叠加而成。对数幅值曲线和相位曲线叠加而成。典型环节的对数渐近幅频对数曲线为不同斜率的直线或典型环节的对数渐近幅频对数曲线为不同斜率的直线或折线，故叠加后的开环渐近幅频特性曲线仍为不同斜率的线折线，故叠加后的开环渐近幅频特性曲线仍为不同斜率的线段组成的折线。段组成的折线。因此，需要首先确定低频起始段的斜率和位置，然后确因此，需要首先确定低频起始段的斜率和位置，然后确定线段转折频率（交接频率）以及转折后线段斜率的变化，定线段转折频率（交接频率）以及转折后线段斜率的变化，那么，就可绘制出由低
15、频到高频的开环对数渐近幅频特性曲那么，就可绘制出由低频到高频的开环对数渐近幅频特性曲线。线。控制系统一般由多个环节组成，在绘制系统控制系统一般由多个环节组成，在绘制系统Bode图时，图时，应先将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式，再逐步绘应先将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式，再逐步绘制。制。二、系统开环对数频特性曲线的绘制二、系统开环对数频特性曲线的绘制将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘积形式后将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘积形式后,确定确定各环节的转折频率各环节的转折频率,并将转折频率由低到高依次标注到半对数并将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标纸上（不妨设为：坐标
16、纸上（不妨设为：w w1 1、w w2 2、w w3 3、w w4 4 ）1.低频起始段的绘制低频起始段的绘制 低频段特性取决于低频段特性取决于 ，直线斜率为，直线斜率为20 。为获得低频。为获得低频段，还需要确定该直线上的一点，可以采用以下三种方法：段，还需要确定该直线上的一点，可以采用以下三种方法：A:A:在在小小于于等等于于第第一一个个转转折折频频率率w w1 1内内任任选选一一点点w w0 0,计计算算其其值值。（若若采用此法，强烈推荐取采用此法，强烈推荐取w w0 0 w w1 1 ）L La a(w(w0 0)=20lg)=20lgK K 2020 lgwlgw0 0B:B:取特定
17、频率取特定频率w w0 01 1，则则 L La a(w(w0 0)=20lg)=20lgK KC:C:取取L La a(w(w0 0)为特殊值为特殊值0 0，则，则 -20 dB/dec1 20 lgKw1(1).0型系统的低频起始段的绘制型系统的低频起始段的绘制 对对类类似似右右图图所所示示的的0型型系系统统的的Bode图图，通通过过低低频频段高度段高度H=20lgK（dB）。(2).I型系统的低频起始段的绘制型系统的低频起始段的绘制 对右下图对右下图I型系统型系统Bode图图,低频段渐近线斜率为低频段渐近线斜率为-20dB/dec。有两种有两种情况情况：（1）低频段低频段或低频段延长线或
18、低频段延长线与横轴相交，则与横轴相交，则交点处的频率交点处的频率 =K；（2）低频段或低频段渐近线的延长线在低频段或低频段渐近线的延长线在=1时的幅值为时的幅值为20lg K。(3).II型系统型系统的低频起始段的绘制的低频起始段的绘制 下图所示为下图所示为II型系统型系统Bode图，低频段渐近线的斜率为图，低频段渐近线的斜率为-40dB/dec,也有两种也有两种不同情况：不同情况：(1)低频段渐近线低频段渐近线或或低频段渐近线的延长线与横轴相交低频段渐近线的延长线与横轴相交，则则交点交点处的频率处的频率 =K1/2；(2)低频段或低频段的延长线低频段或低频段的延长线在在=1时的幅值为时的幅值
19、为20lg K2 绘制步骤概括如下绘制步骤概括如下:(1)(1)将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘积形式将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘积形式,确定各环节的转折频率确定各环节的转折频率,并将转折频率由低到高依次标注并将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标纸上（不妨设为：到半对数坐标纸上（不妨设为：w w1 1、w w2 2、w w3 3、w w4 4 ）；）；(2)(2)绘制绘制L(L()的低频段渐近线；的低频段渐近线；(3)(3)按转折频率由低频到高频的顺序按转折频率由低频到高频的顺序,在低频渐近线的基在低频渐近线的基础上础上,每遇到一个转角频率每遇到一个转角频率,根据环节的性
20、质改变渐近线斜根据环节的性质改变渐近线斜率率,绘制渐近线绘制渐近线,直到绘出转折频率最高的环节为止。直到绘出转折频率最高的环节为止。(4)(4)如需要精确对数幅频特性，则可在各转折频率处加以如需要精确对数幅频特性，则可在各转折频率处加以修正。修正。(5)(5)相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。注意：对数幅频特性曲线上要标明斜率！注意：对数幅频特性曲线上要标明斜率！【例例:【例例 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 试绘制开环系统对数频率特性曲线。试绘制开环系统对数频率特性曲线。【例例 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 试绘制开环系统对
21、数频率特性曲线。试绘制开环系统对数频率特性曲线。三、由三、由BodeBode图确定系统的传递函数图确定系统的传递函数 由由Bode图确定系统传递函数，与绘制系统图确定系统传递函数，与绘制系统Bode图相反。即图相反。即由实验测得的由实验测得的Bode图，经过分析和测算，确定系统所包含的各图，经过分析和测算，确定系统所包含的各个典型环节，从而建立起被测系统数学模型。个典型环节，从而建立起被测系统数学模型。信号源对象记录仪【Asinwt 由频率特性测试仪记录的数据由频率特性测试仪记录的数据,可以绘制可以绘制最小相位系统最小相位系统的开的开环对数频率特性环对数频率特性,对该频率特性进行对该频率特性进
22、行处理处理，即可确定系统的对，即可确定系统的对数幅频特性曲线。数幅频特性曲线。1、频率响应实验、频率响应实验 2、传递函数确定、传递函数确定（1）对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理。即用斜对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理。即用斜率为率为 20dB/dec整数倍的直线整数倍的直线段来近似测量到的曲线。段来近似测量到的曲线。（2）当某）当某 处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此 即为某个环节的转折频率。即为某个环节的转折频率。当斜率变化当斜率变化+20dB/dec时时,可知可知 处有一个一阶微分环节处有一个一阶微分环节Ts+1;若斜
23、率变化若斜率变化+40dB/dec时，则时，则 处有一个二阶微分环节处有一个二阶微分环节(s2/2n+2 s/n+1)或一个二重一阶微或一个二重一阶微分环节分环节(Ts+1)2 若斜率变化若斜率变化-20dB/dec时时,则则 处有一个惯性处有一个惯性环节环节1/(Ts+1);若斜率变化若斜率变化-40dB/dec时，则时，则 处有一个二阶振处有一个二阶振荡环节荡环节1/(s2/2n+2 s/n+1)或一个二重惯性环节或一个二重惯性环节1/(Ts+1)2；。；。（3）系系统统最最低低频频率率段段的的斜斜率率由由开开环环积积分分环环节节个个数数决决定定。低低频频段段斜斜率率为为-20 dB/de
24、c,则则系系统统开开环环传传递递有有 个个积积分分环环节节，系系统为统为 型系统。型系统。（4）开开环环增增益益K的的确确定定由由=1作作垂垂线线，此此线线与与低低频频段段(或或其其延延长长线线)的的交交点点的的分分贝贝值值=20lgK(dB),由由此此求求处处K值值。低低频频段段斜斜率率为为-20dB/dec时时,此此线线(或或其其延延长长线线)与与0dB线线交交点点处处的的 值值等等于于开开环环增增益益K值值。当当低低频频段段斜斜率率为为-40dB/dec时时,此此线线(或或其其延延长长)与与0dB线线交交点点处处的的 值值即即等等于于K1/2。其其他他几几种常见情况如下表所示。种常见情况
25、如下表所示。几种常见系统Bode 图的K值 L(w)(dB)w1w2110wlgwL(w1)0L(w2)L(w1)-L(w2)lgw1-lgw2=bb为直线斜率，单位为为直线斜率，单位为dB/dec。例例 最小相位系统对数幅频渐近特性如图所示。试确定系统传递函数。最小相位系统对数幅频渐近特性如图所示。试确定系统传递函数。例例 试确定如图所示实验频率响应曲线的系统传递函数。试确定如图所示实验频率响应曲线的系统传递函数。例例 最小相位系统对数幅频渐近特性如图所示。试确定系统传递函数。最小相位系统对数幅频渐近特性如图所示。试确定系统传递函数。解解 由图知此为分段线性曲线由图知此为分段线性曲线,在各交
26、接在各交接频率处频率处,渐近特性斜率发生变化渐近特性斜率发生变化,由斜率的变由斜率的变化情况可确定各转折频率处的典型环节类型。化情况可确定各转折频率处的典型环节类型。=0.1处处,斜斜率率变变化化+20dB/dec,为为一一阶阶微微分环节分环节;1处处,斜率变化斜率变化-20dB/dec,为惯性环节为惯性环节;2处处,斜率变化斜率变化-20dB/dec,为惯性环节为惯性环节;3处处,斜率变化斜率变化-20dB/dec,为惯性环节为惯性环节;4处处,斜率变化斜率变化-20dB/dec,为惯性环节。为惯性环节。可知系统开环传递函数为可知系统开环传递函数为:其中其中,K、1、2、3、4待定。待定。由由20lgK=30dB,可确定可确定K=31.6。由直线方程及斜率的关系式确定由直线方程及斜率的关系式确定 1、2、3、4。设设A、B为斜率为为斜率为K的对数幅频特性直线段上两点的对数幅频特性直线段上两点,A点的对数幅值为点的对数幅值为L(A),B点则为点则为L(B),则有直线方程则有直线方程 L(A)-L(B)=Klg A-lg A，则则 从低频段开始从低频段开始,令令 A=1,从图中可知从图中可知 B=0.1、L(A)=40dB、L(0.1)=30dB、K=20dB/dec,则有则有 同理，可分别求出同理，可分别求出 4、3、2，可写出系统开环传递函数为：可写出系统开环传递函数为：