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1、第六章连续时间系统的系统函数第六章第六章第六章第六章 连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数第六章连续时间系统的系统函数本章内容概要本章内容概要引言引言系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数极点和零点的分布与系统系统函数极点和零点的分布与系统时域特性的关系时域特性的关系系统函数的极点、零点与系统频率系统函数的极点、零点与系统频率特性的关系特性的关系波特图波特图系统的稳定性系统的稳定性6.1 6.1 6.1 6.1 引言引言引言引言1、系统函数的定义、系统函数的定义系统函数系统函数零状态响应零状态响应的的LT激励函数的激励函数的LT第六章连续时
2、间系统的系统函数第六章连续时间系统的系统函数系统函数系统函数 H(s)是系统特性在复频域中的表述形式；是系统特性在复频域中的表述形式；H(j)系统特性在频域中的表述形式。系统特性在频域中的表述形式。分类分类:按激励和响应是否属于同一端口按激励和响应是否属于同一端口1.1.属于同一端口，系统函数称为策动点函数或输入属于同一端口，系统函数称为策动点函数或输入 函数。（函数。（Z1(s)和和Y1(s)互为倒数）互为倒数）激励响应系统函数电流电流I1(s)电压电压U1(s)策动点抗阻函数策动点抗阻函数电压电压U1(s)电流电流I1(s)策动点导纳函数策动点导纳函数6.1 6.1 6.1 6.1 引言引
3、言引言引言第六章连续时间系统的系统函数2.2.不属于同一端口不属于同一端口，系统函数称为转移函数或传输，系统函数称为转移函数或传输 函数。（转移阻抗与转移导纳不存在互为倒量）函数。（转移阻抗与转移导纳不存在互为倒量）一端口上一端口上的激励的激励另一端口另一端口上的响应上的响应系统函数系统函数电流电流I1(s)电压电压U2(s)转移阻抗函数转移阻抗函数电压电压U1(s)电流电流I2(s)转移导纳函数转移导纳函数电压电压U1(s)电压电压U2(s)电压传输函数电压传输函数电流电流I1(s)电流电流I2(s)电流传输函数电流传输函数6.1 6.1 6.1 6.1 引言引言引言引言h(t)h(t)H(
4、s)H(sH(s)=H(p)|p=s零状态下微分方程零状态下微分方程 H(sH(s)零状态下复频域电路模型零状态下复频域电路模型 H(sH(s)系统模拟框图、信号流图系统模拟框图、信号流图 H(sH(s)（不要求）（不要求）系统函数的求解系统函数的求解第第六六章章连连续续时时间间系系统统的的系系统统函函数数第六章连续时间系统的系统函数6.1 6.1 6.1 6.1 引言引言引言引言例例1：系统微分方程为系统微分方程为:求求系统函数系统函数H(s)。解解:对系统微分方程做对系统微分方程做L.S变换得变换得:第第六六章章连连续续时时间间系系统统的的系系统统函函数数第六章连续时间系统的系统函数例例2
5、:求求图示电路的图示电路的系统函数系统函数6.1 6.1 6.1 6.1 引言引言引言引言H(sH(s)是系统分析与系统综合的桥梁。是系统分析与系统综合的桥梁。H(sH(s)代表了系统的特征，是连接输入与输出关系代表了系统的特征，是连接输入与输出关系的桥梁的桥梁H(sH(s)是系统时域特性与频域、复频域特性间联系是系统时域特性与频域、复频域特性间联系的桥梁。的桥梁。第六章连续时间系统的系统函数系统函数的地位系统函数的地位6.2 6.2 6.2 6.2 系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的一般形式是一个分式，其分子分母都系统函数的一般形式是一个分式，其分子分
6、母都是复变量是复变量s的多项式，即：的多项式，即：频率特性曲线频率特性曲线复轨迹复轨迹极零图极零图第六章连续时间系统的系统函数这种形式，很难看出系统的特性，所以常用图这种形式，很难看出系统的特性，所以常用图示法来表示，常用的图示法有：示法来表示，常用的图示法有：1、频率特性、频率特性在在H(s)中，令中，令=0=0可得可得H(jH(j)。它随着。它随着（频频率率）变化的特性称为）变化的特性称为频率特性频率特性。H(j)仍然是复变仍然是复变函数，可以将其写成函数，可以将其写成：频率特性常用频率特性常用|H(jH(j)|)|、()相对于自变量相对于自变量 的变化曲线来表示。的变化曲线来表示。第六章
7、连续时间系统的系统函数6.2 6.2 6.2 6.2 系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法 如下图所示电路：如下图所示电路：i i为输入，为输入，U U0 0为输出。为输出。第六章连续时间系统的系统函数6.2 6.2 6.2 6.2 系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法第六章连续时间系统的系统函数6.2 6.2 6.2 6.2 系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法频率特性图频率特性图有时为了作图简便有时为了作图简便常取上式对数，即常取上式对数，即G()=20lg|H(j)|得得到到波特图波特图。2 2、复轨迹、
8、复轨迹 复变量复变量s s在复平面上沿虚轴在复平面上沿虚轴jj变化。对应的变化。对应的系统函数系统函数H(jH(j)的变化构成一条曲线，称为的变化构成一条曲线，称为系统系统的复轨迹的复轨迹。即：一般复轨迹指即：一般复轨迹指=0=0时时H(sH(s)形成的轨迹。形成的轨迹。当当00，0 0时，时，变化，变化，H(sH(s)亦形成一轨迹。亦形成一轨迹。当当 变化时，复轨迹形成一曲线族。变化时，复轨迹形成一曲线族。上例中：上例中：第六章连续时间系统的系统函数6.2 6.2 6.2 6.2 系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法第六章连续时间系统的系统函数6.2 6.2 6.
9、2 6.2 系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法第六章连续时间系统的系统函数 从从-0-0：复轨迹按顺时针方向转一圈。：复轨迹按顺时针方向转一圈。从从-0-0：复轨迹按顺时针方向又转一圈。：复轨迹按顺时针方向又转一圈。总的总的说来：说来：在在-+-+变化，则复轨迹由原点开始，变化，则复轨迹由原点开始，按顺时针方向转两圈。按顺时针方向转两圈。第六章连续时间系统的系统函数6.2 6.2 6.2 6.2 系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法3 3、极零图、极零图系统函数为实有理函数，且为有理分式形式；系统函数为实有理函数，且为有理分式形式；有理
10、多项式等于零的根，一定是实根和共轭复有理多项式等于零的根，一定是实根和共轭复根根。于是于是H(S)可写成下面形式：可写成下面形式：第六章连续时间系统的系统函数6.2 6.2 6.2 6.2 系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法l分母多项式为零时方程的根分母多项式为零时方程的根P P1 1、P P2 2、P Pn n为为H(sH(s)的的极点极点。l分子多项式为零时方程的根分子多项式为零时方程的根Z1、Z2、Zn为为H(s)的的零点零点。l将将H(s)的极、零点绘在的极、零点绘在s平面上就得到系统函数的平面上就得到系统函数的极零极零图图。一般用。一般用X表示极点表示极
11、点，O表示零点表示零点。第六章连续时间系统的系统函数6.2 6.2 6.2 6.2 系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法系统函数的表示法第六章连续时间系统的系统函数系统函数极点和零点的分布与系统系统函数极点和零点的分布与系统时域特性的关系时域特性的关系6.3 6.3 6.3 6.3 系统函数的极零点分布与系统时域特性的关系系统函数的极零点分布与系统时域特性的关系系统函数的极零点分布与系统时域特性的关系系统函数的极零点分布与系统时域特性的关系一、研究系统零极点意义：一、研究系统零极点意义：1.可预测系统的可预测系统的时域特性时域特性；2.确定系统函数确定系统函数H(s);3.描述系统
12、的描述系统的频响特性；频响特性；4.说明系统说明系统正弦稳态特性正弦稳态特性；5.研究系统的研究系统的稳定性稳定性。第六章连续时间系统的系统函数例例1：极点：极点：零点：零点：极点决定系统的固有频率或自然频率。极点决定系统的固有频率或自然频率。零、极点决定系统时域特性。零、极点决定系统时域特性。（2）H0=5第六章连续时间系统的系统函数第六章连续时间系统的系统函数练习：练习：H(s)H(s)的零极点分布如图示，且的零极点分布如图示，且H(0)=4H(0)=4，求，求H(s)H(s)。第六章连续时间系统的系统函数 它有m个有限值零点，n个有限值极点。从这个意义上讲，系统函数的极零点数目是相系统函
13、数的极零点数目是相同的同的。第六章连续时间系统的系统函数6.3 6.3 6.3 6.3 系统函数的极零点分布与系统时域特性的关系系统函数的极零点分布与系统时域特性的关系系统函数的极零点分布与系统时域特性的关系系统函数的极零点分布与系统时域特性的关系无独立源的系统一定是稳定的。无独立源的系统一定是稳定的。系统的稳定性系统的稳定性是指当系统的激励是有限的，系统的是指当系统的激励是有限的，系统的响应也是有限的，而不随时间无限增长的系统特性。响应也是有限的，而不随时间无限增长的系统特性。如前述章所述，系统函数的极点对应系统的系统函数的极点对应系统的自然响应模式。自然响应模式。第六章连续时间系统的系统函
14、数6.3 6.3 6.3 6.3 系统函数的极零点分布与系统时域特性的关系系统函数的极零点分布与系统时域特性的关系系统函数的极零点分布与系统时域特性的关系系统函数的极零点分布与系统时域特性的关系第六章连续时间系统的系统函数二、零点与极点分布与系统的时域特性二、零点与极点分布与系统的时域特性(对应的冲激响应对应的冲激响应)1、H(s)极点在极点在s左半平面左半平面单实极点：单实极点：共轭极点：共轭极点：重实极点：重实极点：（二重二重）重共轭极点：重共轭极点：（二重二重）XX X(2)X XX XX X(2)X X(2)第六章连续时间系统的系统函数2 2、H(s)H(s)极点在极点在s s右半平面
15、右半平面单实极点：单实极点：共轭极点：共轭极点：重实极点：重实极点：重共轭极点：重共轭极点：XXXX(2)X(2)X(2)第六章连续时间系统的系统函数3 3、H(s)H(s)极点在极点在j j 轴轴单实极点：单实极点：共轭极点：共轭极点：重实极点：重实极点：重共轭极点：重共轭极点：X X(2)(2)X X(2)(2)X XX XX X(2)第六章连续时间系统的系统函数1)h(t)随时间变化的规律取决于随时间变化的规律取决于H(s)的极点分布的极点分布1、H(s)极点全部位于极点全部位于 s左半平面，系统稳定；左半平面，系统稳定；位于左半平面极点对应：暂态分量位于左半平面极点对应：暂态分量 位于
16、右半平面极点对应：不稳定分量位于右半平面极点对应：不稳定分量 位于位于j 轴单极点对应：轴单极点对应：有界稳态分量有界稳态分量 位于位于j 轴重极点对应：轴重极点对应：不稳定分量不稳定分量2)h(t)幅值、相位等取决于幅值、相位等取决于H(s)的零点、极点的零点、极点2、H(S)在在j 轴上有单极点，在轴上有单极点，在s右半平面没有极点，右半平面没有极点，系统临界稳定；系统临界稳定；3、H(S)在在S右半平面存在极点，或在右半平面存在极点，或在j 轴上有重极点，上有重极点，系统不稳定。系统不稳定。结论：结论：第六章连续时间系统的系统函数三、三、三、三、H(s)H(s)H(s)H(s)零、极点分
17、布与系统的频率特性零、极点分布与系统的频率特性零、极点分布与系统的频率特性零、极点分布与系统的频率特性 （几何法分析频率特性）（几何法分析频率特性）（几何法分析频率特性）（几何法分析频率特性）第六章连续时间系统的系统函数矢量随频率的变化矢量随频率的变化振幅振幅相位相位也变化也变化对任意频率有：对任意频率有：s s jiMipjzjNjj jiq q0 对于响应中对于响应中各个频率分量的幅度和相位各个频率分量的幅度和相位，极零点的作，极零点的作用是同等重要的。用是同等重要的。第六章连续时间系统的系统函数6.4 6.4 6.4 6.4 系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与
18、系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系 第六章连续时间系统的系统函数、=0=0时：时：B=0，90 H(j0)=0，1+2=0 ()=90 第六章连续时间系统的系统函数6.4 6.4 6.4 6.4 系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系 、000 0，1 1变为正角。变为正角。第六章连续时间系统的系统函数6.4 6.4 6.4 6.4 系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关
19、系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系 、0 0时：时：A A1 1、A A2 2、B B三者相近，三者相近，|H(jH(j)|)|减小，最后趋减小，最后趋于零。同时于零。同时 1 1、2 2渐趋渐趋9090，()趋于趋于-90-90。第六章连续时间系统的系统函数于是有频率特性曲线：于是有频率特性曲线：第六章连续时间系统的系统函数6.4 6.4 6.4 6.4 系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系6.4 6.4 6.4 6.4
20、系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系结论：结论：当一极点非常接近于虚轴时（当一极点非常接近于虚轴时（s=s=0 0+j+j0 0，|0 0|很小），很小），而频率为极点之虚部系数时，模量有一极值（峰值），相位很而频率为极点之虚部系数时，模量有一极值（峰值），相位很快减小；当一零点十分接近虚轴时，频率为零点虚部系数时，快减小；当一零点十分接近虚轴时，频率为零点虚部系数时，模量有一谷值，相位很快增大。模量有一谷值，相位很快增大。网络理论中常见的两种转移函数：网络理论中常见的两
21、种转移函数：1 1、“全通函数全通函数”：稳定系统极点在左半平面，若其零点在稳定系统极点在左半平面，若其零点在s s平面上以虚轴平面上以虚轴为对称轴与极点成镜象对称，则这种网络函数叫为对称轴与极点成镜象对称，则这种网络函数叫全通函数全通函数。该网络不产生幅值失真，该网络不产生幅值失真，只进行相位校正。只进行相位校正。6.4 6.4 6.4 6.4 系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系 2 2、“最小相移函数最小相移函数”：这种函数除全部这种函数除全部极点极点在在S S域域
22、左半平面左半平面外，全部外，全部零点零点也落也落在在左半平面左半平面内内,包括可以在包括可以在j j 轴上。反之，如果至少有一个零点在右半面内，则此函数称反之，如果至少有一个零点在右半面内，则此函数称为非最小相移函数。为非最小相移函数。第六章连续时间系统的系统函数11 在频率变化过程中，最小相移网络的相移比幅频响在频率变化过程中，最小相移网络的相移比幅频响应相同的各种非相移网络的相移都要小。应相同的各种非相移网络的相移都要小。6.4 6.4 6.4 6.4 系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分布与系统频率特性的关系系统函数的极零点分
23、布与系统频率特性的关系第六章连续时间系统的系统函数6.5 6.5 6.5 6.5 波特图波特图波特图波特图l尽管尽管频率特性频率特性曲线是应用最广的描述系统特性的方曲线是应用最广的描述系统特性的方法，但其绘制却非常不便，甚至法，但其绘制却非常不便，甚至烦琐烦琐。l由由极零图绘制频特图极零图绘制频特图时，因为各个极、零点对特性时，因为各个极、零点对特性的影响是的影响是相乘相乘的，所以很难画。但若把这种影响化的，所以很难画。但若把这种影响化为为相加相加，则极直观且方便作图。亦即我们须采用对，则极直观且方便作图。亦即我们须采用对数频率特性。数频率特性。l 本节介绍一种作频率特性曲线的简化方法。这种方
24、本节介绍一种作频率特性曲线的简化方法。这种方法主要采用法主要采用对数坐标对数坐标，以方便地用，以方便地用折线折线来近似来近似曲线曲线，所以可所以可简化作图简化作图。第六章连续时间系统的系统函数一、对数频率特性一、对数频率特性一、对数频率特性一、对数频率特性G()是系统的放大倍数或称增益、对数增益。它是系统的放大倍数或称增益、对数增益。它有两个单位：有两个单位：奈培奈培（Neper）和）和分贝分贝（deci-Bel），分），分别记为别记为Np和和dB。由由G()=ln|H(j)|(Np)=20lg|H(j)|(dB)得：得：1Np=20lg(e)=8.686dB()为相位。为相位。第六章连续时间
25、系统的系统函数 G(G()、()随随 变化曲线称为变化曲线称为对对数频率特性数频率特性。通常对数频率特性的。通常对数频率特性的自变量轴也以对数即以自变量轴也以对数即以lglg为刻度。为刻度。可见可见只要知道上式中各个因子的频特曲线，就可用叠加只要知道上式中各个因子的频特曲线，就可用叠加方法得总的频特图。所以我们只要研究一、二阶因子的方法得总的频特图。所以我们只要研究一、二阶因子的频特曲线即可。频特曲线即可。第六章连续时间系统的系统函数二、一阶因子的频特曲线二、一阶因子的频特曲线二、一阶因子的频特曲线二、一阶因子的频特曲线1 1、一阶因子的增益、一阶因子的增益 a a a a、先考虑一阶零点的增
26、益、先考虑一阶零点的增益、先考虑一阶零点的增益、先考虑一阶零点的增益,设零点为实数设零点为实数设零点为实数设零点为实数第六章连续时间系统的系统函数第六章连续时间系统的系统函数 若以该两条渐近线构成的折若以该两条渐近线构成的折线近似表示原频特曲线，则线近似表示原频特曲线，则引入的误差为：引入的误差为：第六章连续时间系统的系统函数b b、一阶极点的增益、一阶极点的增益所以只要将前者沿横轴对折即可。所以只要将前者沿横轴对折即可。第六章连续时间系统的系统函数2 2、一阶因子的相角、一阶因子的相角a a、一阶零点的相角、一阶零点的相角第六章连续时间系统的系统函数、z z1 100时，有两条渐近线：时，有
27、两条渐近线：0，(1)=0，(1)=-90 第六章连续时间系统的系统函数 b b、一阶极点的相角、一阶极点的相角 与零点相角反号。与零点相角反号。第六章连续时间系统的系统函数三、二阶因子的频率特性三、二阶因子的频率特性三、二阶因子的频率特性三、二阶因子的频率特性1 1、增益、增益a a、零点、零点横轴以对数计，横轴以对数计，1 1=lglg第六章连续时间系统的系统函数 该增益有两条渐近线：该增益有两条渐近线：其图形如图所示。其图形如图所示。b b、二阶极点的增益曲线可由可相应零点式增益曲线、二阶极点的增益曲线可由可相应零点式增益曲线绕横轴对折而得到。绕横轴对折而得到。第六章连续时间系统的系统函
28、数2 2、相角、相角 a a、二阶零点、二阶零点、2 20 00，图为将上图绕横轴反折。，图为将上图绕横轴反折。第六章连续时间系统的系统函数b b、二阶极点、二阶极点 与上面反号。与上面反号。这种用折线近似原频特图的方法虽有误差，这种用折线近似原频特图的方法虽有误差，但已可定性但已可定性 。这种方法由。这种方法由BodeBode首先提出，所以首先提出，所以称为称为BodeBode（波特）图。（波特）图。有了一阶、二阶极零点因子的波特图，那么有了一阶、二阶极零点因子的波特图，那么H(jH(j)的的 波特图等于各一、二阶因子波特图等于各一、二阶因子BodeBode图的图的叠加。叠加。第六章连续时间
29、系统的系统函数以上说明的是分析方法，下面举一例说明。以上说明的是分析方法，下面举一例说明。第六章连续时间系统的系统函数第六章连续时间系统的系统函数6.6 6.6 6.6 6.6 系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统稳定性取决于系统本身的结构和参系统稳定性取决于系统本身的结构和参数，是系统身性质之一。系统是否稳定与数，是系统身性质之一。系统是否稳定与激励信号无关。激励信号无关。定义：定义：若若一个系统对于一个系统对于有界激励信号有界激励信号产生产生有界的响应有界的响应，则则该系统是该系统是稳定稳定的的。即：。即：其中：其中：Mf，My为有限正实常数为有限正实常数第六章连续时间系统
30、的系统函数l在在6.36.3中说明稳定性的含义是当激励为有限时，中说明稳定性的含义是当激励为有限时，当当tt时，系统的响应是有限的，不随时间增时，系统的响应是有限的，不随时间增大而趋于无限大大而趋于无限大;l可见无源系统一定是稳定系统。可见无源系统一定是稳定系统。l但工程上常用的有源反馈系统，则可能不稳定。但工程上常用的有源反馈系统，则可能不稳定。l判定一个系统稳定与否，是系统设计者首先要考判定一个系统稳定与否，是系统设计者首先要考虑的问题。虑的问题。6.6 6.6 6.6 6.6 系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性第六章连续时间系统的系统函数 6.6 6.6 6.6 6.6 系
31、统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性1 1 1 1、系统的稳定及其条件、系统的稳定及其条件、系统的稳定及其条件、系统的稳定及其条件有界激励有界激励有界激励有界激励-有界响应称为有界响应称为有界响应称为有界响应称为稳定系统。稳定系统。稳定系统。稳定系统。即对于稳定系统，它的冲激响应必须是绝对可积的。该条件既是系统稳定的充分条件，也是系统稳定的必要条件。第六章连续时间系统的系统函数在在t t未趋于无限的一般情况，冲激响应未趋于无限的一般情况，冲激响应h(th(t)中，中，除了在除了在t=0t=0处可能有孤立的冲激函数外，都应是处可能有孤立的冲激函数外，都应是有限的。即：有限的。即：6.6
32、 6.6 6.6 6.6 系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性其中M是有限的正实数。当系统符合上述条件时，称它是渐近稳定渐近稳定的。第六章连续时间系统的系统函数就是说：就是说：、时域中系统的冲激响应绝对可积是系统稳定的、时域中系统的冲激响应绝对可积是系统稳定的充充要条件要条件（满足该条件的系统称为渐近稳定系统）。理理想无耗系统，有振荡但非发散型振荡，想无耗系统，有振荡但非发散型振荡，所以称临界稳临界稳定系统定系统。、复频域条件：所有极点落在左半面内（渐近稳定）、复频域条件：所有极点落在左半面内（渐近稳定）。若极点在虚轴j上（包括S=0，S=），则只能是单阶的（临界稳定）。、稳定系统
33、必须遵从因果律。、稳定系统必须遵从因果律。：6.6 6.6 6.6 6.6 系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性通常判定系统稳定与否仍采用复频域极点条件。通常判定系统稳定与否仍采用复频域极点条件。第六章连续时间系统的系统函数 稳定性复频域判据为稳定性复频域判据为：系统的极点：系统的极点落在左半平面内或者一阶虚轴及落在左半平面内或者一阶虚轴及S=0S=0、S=S=的极点；或者说系统的的极点；或者说系统的特征方程的特征根都有负实部。特征方程的特征根都有负实部。：6.6 6.6 6.6 6.6 系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性第六章连续时间系统的系统函数设系统的特征方程为
34、：设系统的特征方程为：6.6 6.6 6.6 6.6 系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性（6-35）第六章连续时间系统的系统函数则根据根与系数的关系有如下结论：则根据根与系数的关系有如下结论：6.6 6.6 6.6 6.6 系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性、方程各系数、方程各系数符号有异符号有异，则系统不，则系统不稳定。稳定。、方程各、方程各非零系数符号相同，但有非零系数符号相同，但有缺项缺项（一些系数为（一些系数为0），则系统不），则系统不渐近稳定。渐近稳定。第六章连续时间系统的系统函数 这些条件概括起来就是：这些条件概括起来就是：系统稳定的必要系统稳定的必要条
35、件为特征方程的全部系数同号且无缺项。条件为特征方程的全部系数同号且无缺项。注意：这仅为注意：这仅为必要条件必要条件，即不满足该条，即不满足该条件必定不稳定，但若满足则不一定稳定。件必定不稳定，但若满足则不一定稳定。6.6 6.6 6.6 6.6 系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性这时要用到这时要用到RouthHurwitz判据来判断。判据来判断。第六章连续时间系统的系统函数2)2)、RouthRouth-Hurwitz-Hurwitz判据判据 依此类推排列到a0为止6.6 6.6 6.6 6.6 系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性第一步：第一步：首先把该式的所有系数
36、按照奇偶顺序排成两行：首先把该式的所有系数按照奇偶顺序排成两行：第六章连续时间系统的系统函数第二步：第二步：以前两行为基础，计算下面各行，从而构成以前两行为基础，计算下面各行，从而构成如下的数值表，称为如下的数值表，称为罗斯罗斯霍维茨霍维茨阵列。阵列。6.6 6.6 6.6 6.6 系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性第六章连续时间系统的系统函数一般的递推公式为：一般的递推公式为：6.6 6.6 6.6 6.6 系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性 这样构成的阵列共有这样构成的阵列共有n+1n+1行，且最后两行都只有行，且最后两行都只有一个元素。阵列中的第一列一个元素。
37、阵列中的第一列A An n、A An-1n-1 、A An-2n-2、A A1 1、A A0 0 称为罗斯-霍维茨数列。第六章连续时间系统的系统函数 第三步：第三步：就罗斯就罗斯霍维茨数列，根据罗斯霍维茨数列，根据罗斯-霍维茨霍维茨定理来决定方程是否有实部为正的根，从而判别定理来决定方程是否有实部为正的根，从而判别有关系统是否稳定。有关系统是否稳定。6.6 6.6 6.6 6.6 系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性第六章连续时间系统的系统函数RouthRouth-Hurwitz-Hurwitz定理为：定理为：数列从头到尾改数列从头到尾改变的次数等于原特征方程的实部为正的根变的次数
38、等于原特征方程的实部为正的根的个数。即：的个数。即：Routh-Hurwitz数列从头到尾若无符号数列从头到尾若无符号变化，则该系统稳定的；否则，系统是变化，则该系统稳定的；否则，系统是不稳定的。不稳定的。-罗斯罗斯-霍维茨判据霍维茨判据6.6 6.6 6.6 6.6 系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性第六章连续时间系统的系统函数例例例例1 1：罗斯阵列中首列元素同号，故罗斯阵列中首列元素同号，故D(s)=0的根全位于左半平面。的根全位于左半平面。系统稳定。系统稳定。练习：练习：小于小于0缺项缺项第六章连续时间系统的系统函数若某行首项为若某行首项为0 0，导致下一行的分母为，导致
39、下一行的分母为0 0而无法进而无法进行计算时：行计算时：特征方程乘以s+1，再重新排出阵列进行判断用一正无穷小量代替，继续排出阵列，而后令0加以判定或者6.6 6.6 6.6 6.6 系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性第六章连续时间系统的系统函数例例2：某行首列元素为零，其他元素不为零：某行首列元素为零，其他元素不为零：特征方程乘以s+1，再重新排出阵列进行判断。第六章连续时间系统的系统函数例例2：故故D(s)=0含两个右半平面根含两个右半平面根第六章连续时间系统的系统函数例例2：某行首列元素为零，其他元素不为零：某行首列元素为零，其他元素不为零：可用无穷小量可用无穷小量（认为是
40、正值）代替（认为是正值）代替0，继续阵列计算继续阵列计算。故故D(s)=0含两个右半平面根含两个右半平面根第六章连续时间系统的系统函数l若遇到若遇到连续两行数字相等或成比例连续两行数字相等或成比例，则下一行，则下一行全为零，也无法计算。这说明函数在全为零，也无法计算。这说明函数在虚轴上可虚轴上可能有极点能有极点。处理如下：由全零行。处理如下：由全零行前一行前一行的元素的元素组成一个辅助多项式，用此多项式的组成一个辅助多项式，用此多项式的导数导数的系的系数代替全零行，继续排出阵列。数代替全零行，继续排出阵列。l变号时，系统必不稳定；变号时，系统必不稳定；不变号时不变号时，虚轴上，虚轴上的极点为的
41、极点为单极点单极点时，系统时，系统稳定稳定，如虚轴上有重，如虚轴上有重极点，则系统不稳定。极点，则系统不稳定。6.6 6.6 6.6 6.6 系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性系统的稳定性第六章连续时间系统的系统函数例例3：某行元素全为零，可从上行找辅助某行元素全为零，可从上行找辅助多项式多项式P(s)，故：故：D(s)=0无右半平面的根无右半平面的根。但有一对共轭复根在但有一对共轭复根在j 轴轴临界稳定临界稳定。求导求导继续阵列计算。继续阵列计算。第六章连续时间系统的系统函数欲使该系统为一个稳定工作系统，求欲使该系统为一个稳定工作系统，求k的取值范围。的取值范围。例题例题4：已知某系统函数
42、为已知某系统函数为第六章连续时间系统的系统函数总结系统函数的三种图形表示方法系统函数的三种图形表示方法频率特性曲线、复轨迹、极点零点分布图频率特性曲线、复轨迹、极点零点分布图系统函数极点零点分布与系统时域特性的关系系统函数极点零点分布与系统时域特性的关系第六章连续时间系统的系统函数二、零点与极点分布与系统的时域特性二、零点与极点分布与系统的时域特性(对应的冲激响应对应的冲激响应)极点在极点在s左半平面左半平面XX X(2)极点在极点在s右半平面右半平面极点在极点在j j 轴轴单实极点单实极点重实极点重实极点共轭极点共轭极点重共轭极点重共轭极点1、H(s)极点全部位于极点全部位于 s左半平面，系
43、统稳定；左半平面，系统稳定；2、H(S)在在j 轴上有单极点，在轴上有单极点，在s右半平面没有极点，系统临界稳定；右半平面没有极点，系统临界稳定；3、H(S)在在S右半平面存在极点，或在右半平面存在极点，或在j 轴上有重极点，轴上有重极点，系统不稳定。系统不稳定。第六章连续时间系统的系统函数 第六章连续时间系统的系统函数总结系统函数极点零点分布与系统频率特性的关系系统函数极点零点分布与系统频率特性的关系第六章连续时间系统的系统函数总结-系统的稳定性分析系统的稳定性分析1 1）定义）定义（1)1)若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应，若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应，则该系统是稳定的
44、。即：则该系统是稳定的。即：（2 2）稳定性准则（充要条件）稳定性准则（充要条件）可见，系统稳定性取决于系统本身的结构和参数，是可见，系统稳定性取决于系统本身的结构和参数，是系统自身性质之一。系统是否稳定与激励信号无关。系统自身性质之一。系统是否稳定与激励信号无关。其中：其中：Mf，My为有限正实常数为有限正实常数M：有限正实常数有限正实常数即：系统的单位冲激响应绝对可积，则系统稳定。即：系统的单位冲激响应绝对可积，则系统稳定。第六章连续时间系统的系统函数2 2）稳定性判断）稳定性判断（1）极点判断：）极点判断：H(s)极点全部位于极点全部位于s左半平面：左半平面：系统稳定系统稳定含有含有j
45、轴轴单极点，其余单极点，其余位于位于s左半平面：左半平面：系统临界稳定系统临界稳定含有含有s右右半平面或半平面或j 轴重极点轴重极点：系统不稳定系统不稳定 由由系统极点判断系统极点判断（2）霍尔维茨（）霍尔维茨（Hurwitz）判断法判断法：成成为为霍霍尔尔维维茨茨多多项项式式必要条件：必要条件：（a）系数无缺项；）系数无缺项；（b）ai0i=0,1,nD(S)=0所所有有的的根根均均在在S平平面面的的左左半半平平面面，称称D(S)为为霍尔维茨多项式。霍尔维茨多项式。(由由H(s)分母多项式判断分母多项式判断)系统稳定充要条件：系统稳定充要条件：D(S)为霍尔维茨多项式。为霍尔维茨多项式。(a)、(b)是一、二阶系统稳定充要条件。是一、二阶系统稳定充要条件。