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1、第四章第四章 数控加工与编程的数控加工与编程的数值计算方法数值计算方法数控加工数控加工与与数控编程数控编程实质上是实质上是曲线、曲面几曲线、曲面几何学何学在机械制造业的应用。在机械制造业的应用。数控加工中，有简单数控加工中，有简单曲线和曲面（如直线、圆曲线和曲面（如直线、圆弧及球面等）数学描述及处理；还有弧及球面等）数学描述及处理；还有不能用不能用二次方程描述的、形状复杂的曲线或曲面二次方程描述的、形状复杂的曲线或曲面自由曲线或自由曲面。自由曲线或自由曲面。自由曲面自由曲面是工程中最复杂而又经常遇到的是工程中最复杂而又经常遇到的曲面，在航空、造船、汽车、能源、国防等部曲面，在航空、造船、汽车、
2、能源、国防等部门中许多零件的外形如各种门中许多零件的外形如各种叶片曲面叶片曲面、各种、各种螺螺旋桨叶曲面、许多变螺距旋旋桨叶曲面、许多变螺距旋转转面以及模具工作面以及模具工作面面等均为空间自由曲面，其等均为空间自由曲面，其形状复杂、材料难形状复杂、材料难以加工、精度要求高，以加工、精度要求高，在整个部件生产过程其在整个部件生产过程其加工质量和加工效率的高低举足轻重。加工质量和加工效率的高低举足轻重。19631963年美国波音公司佛格森将年美国波音公司佛格森将曲线曲面表示为参数矢量函数式曲线曲面表示为参数矢量函数式；19641964年美国麻省理工学院（年美国麻省理工学院（MITMIT）孔斯用封闭
3、曲线的四条边界定）孔斯用封闭曲线的四条边界定义一块曲面；义一块曲面；同一年，舍恩伯格提出了同一年，舍恩伯格提出了参数样条曲线、曲面的参数样条曲线、曲面的形式；形式；19711971年，法国雷诺（年，法国雷诺（RenaultRenault）汽车公司的贝齐尔（）汽车公司的贝齐尔（BezierBezier）提出）提出用控制多边形定义曲线和曲面的方法；用控制多边形定义曲线和曲面的方法；19721972年，德布尔（年，德布尔（de Boorde Boor）给出）给出B B样条标准的计算方法；样条标准的计算方法；19741974年年,美国通用汽车公司戈登（美国通用汽车公司戈登（GordenGorden)将
4、将B B样条理论用于形状描样条理论用于形状描述，提出述，提出B B样条曲线、曲面；样条曲线、曲面；19751975年，美国人佛斯普里尔在博士论文中提出有理年，美国人佛斯普里尔在博士论文中提出有理B B样条方法；样条方法；2020世纪世纪8080年代，美国人皮格尔等将有理年代，美国人皮格尔等将有理B B样条发展成为非均匀有理样条发展成为非均匀有理B B样条（样条（NUBRSNUBRS)方法。方法。用用NUBRSNUBRS方法可统一表示初等解析曲线和曲面，成为当今方法可统一表示初等解析曲线和曲面，成为当今自由曲线和曲面最广为流行的技术。自由曲线和曲面最广为流行的技术。4.1 4.1 基点和节点计算
5、基点和节点计算机械零件由几种不同几何元素构成，如直线、圆弧、机械零件由几种不同几何元素构成，如直线、圆弧、二次曲线等。二次曲线等。基点：各个几何元素之间的连接点基点：各个几何元素之间的连接点，如：直线与直如：直线与直线的交点，直线与圆弧的交点或切点，圆弧与圆弧的线的交点，直线与圆弧的交点或切点，圆弧与圆弧的交（切）点，圆弧与一般二次曲线的交（切）点等。交（切）点，圆弧与一般二次曲线的交（切）点等。对于对于直线和圆弧直线和圆弧组成的平面零件，由于组成的平面零件，由于数控系统数控系统都有直线和圆弧插补功能都有直线和圆弧插补功能，数值计算较简单，主要是，数值计算较简单，主要是确定确定基点坐标、圆弧的
6、中心坐标基点坐标、圆弧的中心坐标。有了基点的坐标，就可编写出这些直线和圆弧的加工有了基点的坐标，就可编写出这些直线和圆弧的加工有了基点的坐标，就可编写出这些直线和圆弧的加工有了基点的坐标，就可编写出这些直线和圆弧的加工程序。程序。程序。程序。4.1.1 4.1.1 节点的计算节点的计算 对于自由曲线，一般的数控系统不具备自由对于自由曲线，一般的数控系统不具备自由曲线的插补功能，做法是：曲线的插补功能，做法是：即将这类轮廓曲线即将这类轮廓曲线即将这类轮廓曲线即将这类轮廓曲线按编程允许误差分割成许多小段，用按编程允许误差分割成许多小段，用按编程允许误差分割成许多小段，用按编程允许误差分割成许多小段
7、，用直线或圆弧直线或圆弧直线或圆弧直线或圆弧来来来来代替代替代替代替(即逼近即逼近即逼近即逼近)这些曲线小段。这些曲线小段。这些曲线小段。这些曲线小段。节点节点节点节点：逼近直线或圆弧小段与轮廓曲线的交点：逼近直线或圆弧小段与轮廓曲线的交点：逼近直线或圆弧小段与轮廓曲线的交点：逼近直线或圆弧小段与轮廓曲线的交点或切点称为或切点称为或切点称为或切点称为节点节点节点节点。数值计算的任务就是求算节点的坐标。数值计算的任务就是求算节点的坐标。数值计算的任务就是求算节点的坐标。数值计算的任务就是求算节点的坐标。在数控加工方法中所说的空间立体曲在数控加工方法中所说的空间立体曲面的面的行切法行切法加工，实际
8、上是用许多平行的加工，实际上是用许多平行的平面曲线来逼近空间曲面，这时需求出所平面曲线来逼近空间曲面，这时需求出所有的平面曲线，面且还要计算各平面曲线有的平面曲线，面且还要计算各平面曲线上的基点或节点，然后再编写各节点、基上的基点或节点，然后再编写各节点、基点之间的直线或圆弧加工程序。点之间的直线或圆弧加工程序。4.1.2 4.1.2 非圆曲线的节点计算非圆曲线的节点计算非圆曲线非圆曲线：除直线、与圆外，可用：除直线、与圆外，可用y=f(x)表示平面曲表示平面曲线。线。节点的数目及其坐标值取决于节点的数目及其坐标值取决于曲线的特性，逼近曲线的特性，逼近线段的形状及允许的逼近误差线段的形状及允许
9、的逼近误差允允。根据这三方面的。根据这三方面的条件、可用数学方法求出各节点的坐标。条件、可用数学方法求出各节点的坐标。是用是用直线还是圆弧作为逼近线段直线还是圆弧作为逼近线段，则应考虑在，则应考虑在保保证逼近精度的前提下，使节点数目少证逼近精度的前提下，使节点数目少，计算简单。，计算简单。1）曲率半径大的曲线用直线逼近较为有利；）曲率半径大的曲线用直线逼近较为有利；2）曲线某段接近圆弧，用圆弧逼近有利；）曲线某段接近圆弧，用圆弧逼近有利；常用的逼近线段与节点计算方法有以下几种。常用的逼近线段与节点计算方法有以下几种。1.1.等间距直线逼近法等间距直线逼近法方方 法：法：使每一个程序段中的某一个
10、坐标的增量相等。使每一个程序段中的某一个坐标的增量相等。直角坐标系直角坐标系：令：令x坐标坐标的增量相等；的增量相等；极坐标系极坐标系：令转角坐标的增量相等，也可令径向长度的：令转角坐标的增量相等，也可令径向长度的 增量相等。增量相等。图中为加工一个凸轮时，图中为加工一个凸轮时，x坐标按坐标按等间隔分段时节点的分布情况。等间隔分段时节点的分布情况。间距的大小一般根据零件加工精度间距的大小一般根据零件加工精度凭经验选取。凭经验选取。从上图看出，不一定每一段都要验算。从上图看出，不一定每一段都要验算。只需验算只需验算y y 坐标增量值最大的线段坐标增量值最大的线段(如小如小A1A2A1A2段段)；
11、曲率比较小的线段曲率比较小的线段(如如A5A6A5A6段段)；有拐点的线段有拐点的线段(如如A6A7A6A7段段)。如果这些线段的逼近误差小于允许值，其他线段一定能满足要求。如果这些线段的逼近误差小于允许值，其他线段一定能满足要求。下图中下图中A1A2A1A2是要验算的线段，是要验算的线段，曲线的方程曲线的方程距直线距直线A1A2A1A2为为允的直线方程允的直线方程式中：式中：A=A=Y1Y1-Y Y2,B=2,B=X X2-2-X X1,C=1,C=Y Y1(1(X X1-1-X X2)2)X X1(1(Y Y1-1-Y Y2)2)2.2.等弦长直线逼近法等弦长直线逼近法方法方法：使每个程序
12、段的直线段长度相等。使每个程序段的直线段长度相等。由于零件轮廓曲线各处的曲率不同，因此，各段由于零件轮廓曲线各处的曲率不同，因此，各段的逼近误差不相等，必须使最大误差仍小于的逼近误差不相等，必须使最大误差仍小于允允。一般说来，零件轮廓曲线的曲率半径最小的地方，一般说来，零件轮廓曲线的曲率半径最小的地方，逼近误差最大逼近误差最大。先确定曲率半径最小的位置，然后在该。先确定曲率半径最小的位置，然后在该处处按照逼近误差小于等于按照逼近误差小于等于允允的条件求出逼近直线段的长度，的条件求出逼近直线段的长度，用此弦长分割零件的轮廓曲线，用此弦长分割零件的轮廓曲线，即可求出各节点的坐标。即可求出各节点的坐
13、标。3.3.等误差直线逼近法等误差直线逼近法该法是使每个直线段的逼近误差相等，并该法是使每个直线段的逼近误差相等，并小于或等于小于或等于允允。所以上面两种方法都合。所以上面两种方法都合理，程序段数更少。大型、复杂的零件轮理，程序段数更少。大型、复杂的零件轮廓采用这种方法较合理。廓采用这种方法较合理。4.4.圆弧逼近法圆弧逼近法如果数控机床有圆弧插补功能，可用圆弧去逼近工件如果数控机床有圆弧插补功能，可用圆弧去逼近工件的轮廓曲线的轮廓曲线。但需要求每段圆弧的但需要求每段圆弧的圆心、起点、圆心、起点、终点的坐标值及圆弧半径。节点终点的坐标值及圆弧半径。节点的计算依据：的计算依据：圆弧段与工件轮廓曲
14、线间的误差圆弧段与工件轮廓曲线间的误差允。允。4.2 4.2 三次参数样条曲线三次参数样条曲线某些零件，如某些零件，如机翼外形、内燃机进排气门的凸机翼外形、内燃机进排气门的凸轮轮曲线等，对曲线等，对外形的光顺性外形的光顺性要求较高，要求较高，曲线的曲线的光顺性就意味着曲线的导数要连续光顺性就意味着曲线的导数要连续。如果要求。如果要求曲线的一阶和二阶导数都是连续的，则可用三曲线的一阶和二阶导数都是连续的，则可用三次样条曲线次样条曲线。样条样条：最初是在造船业中放样用的一根木料或：最初是在造船业中放样用的一根木料或塑料做成的弹性长条，放样员利用它通过型值塑料做成的弹性长条，放样员利用它通过型值点画
15、出光滑的曲线，样条曲线便由此而得名。点画出光滑的曲线，样条曲线便由此而得名。下面介绍下面介绍三次参数样条曲线三次参数样条曲线。4.2.1.三次样条曲线定义定义：在区间：在区间aa，bb上给定上给定n n个点：个点：x x1 1,x,x2 2,x xn n，得到，得到a=xa=x1 1x x2 2 x xn n=b=b,称在区间称在区间aa，bb上满足下列条上满足下列条件的函数件的函数S(xS(x)为三次样条函数：为三次样条函数：1 1）在每一个子区间）在每一个子区间xxi i,x,xi+1i+1(i=1,2(i=1,2n-1)n-1)上，上，S(x)S(x)都是三次函都是三次函数。数。2 2）
16、在整个区间）在整个区间a,ba,b上，上，S(x)S(x)连续，且具有连续的一阶连续，且具有连续的一阶和二阶导数。和二阶导数。则称则称S(x)S(x)为为aa，bb上，以上，以x xi i(i=1,2,(i=1,2,n)n)为节点的三次为节点的三次样条函数。样条函数。1.三次参数样条曲线方程 曲线、曲面有曲线、曲面有显式、隐式和参数显式、隐式和参数表示，从计表示，从计算机图形学和计算几何的角度看，算机图形学和计算几何的角度看，参数表示参数表示较好较好。曲线上每一点的笛卡尔坐标的参数是：曲线上每一点的笛卡尔坐标的参数是：xx(t)yy(t)曲线上一点的参数表达式为：曲线上一点的参数表达式为：p(
17、t)x(t),y(t)工程上常用以弦长工程上常用以弦长t为参数的为参数的三次样条函数三次样条函数。已知两端点已知两端点 ，得到一条通过，得到一条通过P1,P2点，点，且具有相同切矢量的三次参数样条曲线。且具有相同切矢量的三次参数样条曲线。其中其中称为三次参数样条曲线的称为三次参数样条曲线的基函数。基函数。t为曲线起点与曲为曲线起点与曲线上任一点之间的弦长，线上任一点之间的弦长，t 0,1端点条件：端点条件：2.2.两段曲线光滑连接的条件两段曲线光滑连接的条件要构造一条三次参数样条曲线需要给出端点的坐要构造一条三次参数样条曲线需要给出端点的坐标与切矢量，若要构造一条通过多个型值点的光标与切矢量，
18、若要构造一条通过多个型值点的光滑曲线，就要给出这些型值点的坐标和切矢量，滑曲线，就要给出这些型值点的坐标和切矢量，使初始条件太多。事实上，只要给出各型值点的使初始条件太多。事实上，只要给出各型值点的坐标和两个端点的切矢量，就可根据坐标和两个端点的切矢量，就可根据曲线光滑连曲线光滑连接条件构造出通过各型值点的光滑曲线接条件构造出通过各型值点的光滑曲线，中间各，中间各连结点的切矢量可由型值点坐标确定，方法为：连结点的切矢量可由型值点坐标确定，方法为：设曲线设曲线P1P1(t),P2P2(t),分别通过分别通过P1、P2、P3、P4，曲线在，曲线在P2点光滑连接，即点光滑连接，即可写成矩阵形式：可写
19、成矩阵形式：3.3.端点条件端点条件给出两个端点的切矢量给出两个端点的切矢量 上式为（上式为（n-2）个未）个未知数，补充知数，补充2个端点条件，由于自由端曲率为零，个端点条件，由于自由端曲率为零，即二阶导数为零。得：即二阶导数为零。得：求解的方程为：求解的方程为：4.3 Bezier4.3 Bezier曲线曲线 1962年法国雷诺汽车公司的年法国雷诺汽车公司的PE BezierBezier构造了构造了一种以逼近为基础的参数曲线。以这种方法为主，完一种以逼近为基础的参数曲线。以这种方法为主，完成了一种曲线和曲面的设计系统，并于成了一种曲线和曲面的设计系统，并于1972年在该公年在该公司应用。司
20、应用。BezierBezier方法将方法将函数逼近同几何表示函数逼近同几何表示结合起结合起来，使得设计师在计算机上运用起来就象使用常规作来，使得设计师在计算机上运用起来就象使用常规作图工具设计一样得心应手。图工具设计一样得心应手。4.3.1 Bezier曲线的定义及其性质1 1 定义定义 如图所示的几条如图所示的几条BezierBezier曲线，是由曲线，是由一组折线集一组折线集，或或称之为称之为BezierBezier特征多边形来特征多边形来定义的。曲线的起点和终点定义的。曲线的起点和终点与该多边形的起点、终点重与该多边形的起点、终点重合，且多边形的第一条边和合，且多边形的第一条边和最后一条
21、边表示了曲线在最后一条边表示了曲线在起点和终点处的切矢量方向。起点和终点处的切矢量方向。曲线的形状趋于特征多边形曲线的形状趋于特征多边形的形状。当给定空间的形状。当给定空间n n十十1 1个个点的位置矢量点的位置矢量P P，则，则BezierBezier曲曲线各点坐标的插值公式是：线各点坐标的插值公式是：P0 P1 P2。Pn为Bezier曲线特征多边形的控制顶点，Bi,n是Bernstein基函数，也是曲线上各点位置矢量的调和函数。Bernstein基函数具有以下性质：1 1）正性）正性 2 2）权性）权性由二项式定理，得由二项式定理，得3 3）对称性）对称性2.Bezier曲线的性质根据根
22、据BezierBezier曲线调和函数的性质，可推出曲线调和函数的性质，可推出1 1）端点性质）端点性质根据调和函数的正性，得，根据调和函数的正性，得，说明Bezier曲线的起点、终点与其相应的特征多边形的起点、终点重合。2 2）对称性）对称性 若将原若将原BezierBezier曲线的全部顶点曲线的全部顶点P Pi i位置不变，只位置不变，只要把次序颠倒过来，新的特征多边形的顶点，要把次序颠倒过来，新的特征多边形的顶点，P*iP Pn-in-i,(i,(i0,1,2,n);0,1,2,n);则新的则新的BezierBezier曲线形曲线形状不变，只是走向相反状不变，只是走向相反。3 3）凸包
23、性）凸包性这一结果说明当这一结果说明当t t在在00，11区间变化时，对区间变化时，对某一个某一个t t值，值，C(tC(t)是特征多边形各项点是特征多边形各项点P Pi i的加的加权平均，权因子是权平均，权因子是Bi,n(tBi,n(t)。在几何图形上。在几何图形上，意味着意味着BezierBezier曲线曲线C(tC(t)是是P Pi i各点的凸线性各点的凸线性组合，且曲线上的各点均落在组合，且曲线上的各点均落在BezierBezier曲线曲线特征多边形构成的凸包之内。特征多边形构成的凸包之内。4.4 B样条曲线样条曲线以以BernsteinBernstein调和函数构造的调和函数构造的B
24、ezierBezier曲线有许多优越性，但有两曲线有许多优越性，但有两点不足：点不足：（1 1）特征多边形顶点个数决定了）特征多边形顶点个数决定了BezierBezier曲线的阶次，并且当曲线的阶次，并且当n n大大时特征多边形对曲线的控制将会减弱；时特征多边形对曲线的控制将会减弱；（2 2）BezierBezier曲线不能作局部修改，即改变某一个控制点的位置曲线不能作局部修改，即改变某一个控制点的位置对整条曲线都有影响，其原因是调和函数对整条曲线都有影响，其原因是调和函数B Bi,ni,n(t(t)在在tt（0,10,1）整个区间内均不为零。）整个区间内均不为零。1972 1972年，年，G
25、ordonGordon，RiesenfeldRiesenfeld等人拓扩了等人拓扩了BezierBezier曲线，用曲线，用B B样条函数代替样条函数代替BernsteinBernstein函数，从而改进了函数，从而改进了BezierBezier特征多边形与特征多边形与BernsteinBernstein多项式次数有关，且整体逼近的弱点。多项式次数有关，且整体逼近的弱点。B B样条曲线方程样条曲线方程设节点序列设节点序列T=tT=t0 0,t,t1 1,t,tm m,其中其中t ti it ti+1i+1,P,P次次B B样条基函数定义样条基函数定义为为均匀均匀B B样条函数样条函数节点沿参数
26、轴是均匀等距分布节点沿参数轴是均匀等距分布，即，即t ti+1i+1-t-ti i常数常数,则表示均匀则表示均匀B B样样条函数。均匀非周期条函数。均匀非周期B B样条节点的取值有如下规律：样条节点的取值有如下规律：(L=n-k+1)(L=n-k+1)当节点沿参数轴的分布是不等距的，即当节点沿参数轴的分布是不等距的，即t ti+1i+1-t-ti i常数时，常数时，则表示则表示非均匀非均匀B B样条函数。样条函数。4.4.1 B4.4.1 B样条曲线的性质样条曲线的性质1、局部性局部性即：即：NiNi，k(uk(u)在区间在区间(titi，ti+kti+k)中为正，在其他地方中为正，在其他地方
27、NiNi，k(uk(u)=0)=0这就使得这就使得k k阶阶B B样条曲线在修改时只样条曲线在修改时只被相邻的被相邻的K K个顶点所控制，而与其个顶点所控制，而与其他顶点无关。当移动一个顶点时，他顶点无关。当移动一个顶点时，只对其中的一段曲线有影响，并只对其中的一段曲线有影响，并不对整条曲线产生影响。如图所不对整条曲线产生影响。如图所示是一条均匀示是一条均匀B B样曲线。样曲线。2 2、几何不变性、几何不变性 B B样条曲线样条曲线C(uC(u)的形状和位置与坐标系的选择无关；的形状和位置与坐标系的选择无关；3 3、整体凸包性和强凸包性、整体凸包性和强凸包性整条曲线落在整条曲线落在P0P0，P
28、1P1，PnPn形成的凸包之内，且每一形成的凸包之内，且每一条曲线都位于条曲线都位于定义该曲线段定义该曲线段的各点的凸包之内；对于的各点的凸包之内；对于三次三次B B样条曲线样条曲线当没有内点，只有当没有内点，只有4 4重起点和重起点和4 4重终点时，重终点时，三次三次B B样条曲线退化为一条样条曲线退化为一条BezierBezier曲线，即曲线，即B B样条曲线是样条曲线是BezierBezier曲线的改进与推广。曲线的改进与推广。均匀均匀B B样条函数，其特点是样条函数，其特点是:(1)(1)节点的参数轴的分布是等距的节点的参数轴的分布是等距的;(2)(2)不同节点矢量生成的不同节点矢量生
29、成的B B样条基函数所描绘的形状是样条基函数所描绘的形状是相同的相同的;在构造每段曲线时，若采用均匀在构造每段曲线时，若采用均匀B B样条函数，由于各样条函数，由于各段所用的基函数不一样，计算简便。段所用的基函数不一样，计算简便。4.5 4.5 非均匀有理非均匀有理B B样条样条(NURBS)(NURBS)曲线曲线非均匀非均匀B B样条函数节点参数沿参数轴的分布是不等距的，因而样条函数节点参数沿参数轴的分布是不等距的，因而不同节点矢量形成的不同节点矢量形成的B B样条函数各不相同，需要单独计算，其计样条函数各不相同，需要单独计算，其计算量比算量比B B样条大得多。样条大得多。尽管如此，近年来尽
30、管如此，近年来NURBS(Non Uniform Rational B Sample)NURBS(Non Uniform Rational B Sample)有了较快的发展和较广泛的应用，主要原因是：有了较快的发展和较广泛的应用，主要原因是：(1)(1)对标准的解析形状对标准的解析形状(如圆锥曲线、二次曲面、回转面等如圆锥曲线、二次曲面、回转面等)和自由曲线、曲面提供了统一的数学表示，无论是解析形状还和自由曲线、曲面提供了统一的数学表示，无论是解析形状还是自由格式的形状均有统一的表示参数，便于工程数据库的存是自由格式的形状均有统一的表示参数，便于工程数据库的存取和应用；取和应用；(2)(2)可
31、通过控制点和权因子来灵活地改变形状；可通过控制点和权因子来灵活地改变形状；(3)(3)对插入节点、修改、分割、几何插值等的处理工具比较对插入节点、修改、分割、几何插值等的处理工具比较有力；有力；(4)(4)非有理非有理B B样条、有理及非有理样条、有理及非有理BezierBezier曲线、曲面是曲线、曲面是NURBSNURBS的特例表示。的特例表示。NURBSNURBS中主要问题比一般的曲线、曲面处理时间长。中主要问题比一般的曲线、曲面处理时间长。4.6 4.6 曲线曲面生成曲线曲面生成曲线曲面生成技术是曲面造型技术中的基础关键技术，它包括曲线曲面的反算及曲线曲面的各种生成方法。4.6.1 4
32、.6.1 曲线生成曲线生成曲线生成有两种实现方法，一种是由设计人员输入曲线控制顶点来设计曲线，此时曲线生成即曲线正向计算过程；另一种则是由设计人员输入曲线上的型值点来设计曲线，此时曲线生成就是所谓的曲线反算曲线反算过程。其中其中后者是曲线设计的主要方法后者是曲线设计的主要方法。曲线反算过程一般包括以下几个主要步骤：1）确定插值曲线的节点矢量；2)确定曲线两端的边界条件；3)反算插值曲线的控制顶点。4.6.2 4.6.2 曲面生成曲面生成曲面生成是曲面造型中的核心技术。曲面生成方法通常可分为两大类：蒙皮曲面生成法及扫描曲面生成法。不管哪一种生成方法，其核心都是曲面的反算技术。1 1蒙皮曲面生成法
33、蒙皮曲面生成法蒙皮技术蒙皮技术(skin)(skin)生成曲面其实质就是拟合一张光滑生成曲面其实质就是拟合一张光滑曲面，使其通过一组有序的截面曲线的空间曲线。曲面，使其通过一组有序的截面曲线的空间曲线。它可形象地看成为给一族截面曲线构成的骨架蒙上它可形象地看成为给一族截面曲线构成的骨架蒙上一张光滑的皮。蒙皮技术通常被考虑为最合适于交一张光滑的皮。蒙皮技术通常被考虑为最合适于交互互CADCAD应用的，目前各种应用的，目前各种CADCAD系统中实际上都采用了系统中实际上都采用了类似的曲面定义；类似的曲面定义；蒙皮曲面形成的关键在于设计出蒙皮曲面形成的关键在于设计出n+ln+l条具有统一次数条具有统
34、一次数与节点矢量符合，且参数比情况良好的截面曲线。与节点矢量符合，且参数比情况良好的截面曲线。步骤如下：步骤如下：先构造符合截面形状的初始曲线，如使用先构造符合截面形状的初始曲线，如使用B样条样条曲线等，可具有不同的次数与节点矢量；曲线等，可具有不同的次数与节点矢量；统一次数，使所有较低次数的截面曲线都升阶到统一次数，使所有较低次数的截面曲线都升阶到统一的最高次数；统一的最高次数；域参数变换，使所有截面曲线都具有统一的定域；域参数变换，使所有截面曲线都具有统一的定域；插入节点，使所有截面曲线都具有统一的节点量；插入节点，使所有截面曲线都具有统一的节点量；最后从曲面光顺性考虑，应使所有截面线的端
35、点最后从曲面光顺性考虑，应使所有截面线的端点与分段连接点沿曲线弧长的分布情况比较接近。与分段连接点沿曲线弧长的分布情况比较接近。2 2扫描面生成法扫描面生成法扫描面生成法扫描面生成法(swepswep)是是蒙皮曲面法蒙皮曲面法的推广。需的推广。需先设计一族反映曲面基本截面形状的曲线，称先设计一族反映曲面基本截面形状的曲线，称为基线族，及一族控制曲面基本走向的曲线，为基线族，及一族控制曲面基本走向的曲线，称为导线族；而后规定一种运动方式，称为导线族；而后规定一种运动方式，使基线使基线族沿导线族进行扫描运动族沿导线族进行扫描运动，这样形成的曲面就这样形成的曲面就叫叫扫曲面扫曲面。根据基线族、导线族中曲线个数的。根据基线族、导线族中曲线个数的多少，扫曲面可分为一基一导扫曲面及多基多多少，扫曲面可分为一基一导扫曲面及多基多导扫曲面等；根据运动方式的不同，扫曲面则导扫曲面等；根据运动方式的不同，扫曲面则又可分为脊线扫曲面、旋转扫曲面及同步扫曲又可分为脊线扫曲面、旋转扫曲面及同步扫曲面等。面等。