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1、第二章 过程特性及其数学模型过程特性及其数学模型本章主要内容1.对象的特性及其描述方法2.对象数学模型的建立方法3.描述对象特性的参数2-1 对象特性及其描述方法回顾一下自动控制系统的组成各种对象千差万别，要想设计出比较好的控制系统，需要深入了解对象的特性。所谓对象的特性就是采用数学的方法所描述对象输入量与输出量之间的关系。数学模型就是对象特性的数学描述。建模时，通常将被控变量作为输出变量；将干扰和控制作用作为输入变量。由对象的输入变量至输出变量的信号联系称为通道。（干扰通道、控制通道）控制用数学模型与工艺设计分析数学模型的区别用于控制的数学模型：一般是在工艺流程和设备尺寸都已确定的情况下，研
2、究的是对象输入变量是如何影响输出变量的，研究目的是使所设计的控制系统达到更好的控制效果。用于工艺设计的数学模型：是在产品规格和产量已经确定的情况下，通过模型的计算来确定设备的结构、尺寸、工艺流程及某些工艺条件，目的是达到最好的经济效益。数学模型的表示形式非参量模型非参量模型：当数学模型是采用曲线或者数据表格等来表示时，则称这类模型为非参量模型。建立方法：建立方法：记录实验结果或通过计算得到，有时可采用对象在一定形式的输入作用下的输出曲线或数据来表示。如：阶跃响应曲线、脉冲响应曲线、矩形脉冲响应曲线等。优点优点：形象、清晰、比较容易看出定性特征。缺点：缺点：缺乏解析性，直接用于系统的分析和设计比
3、较困难。参量模型参量模型：当数学模型采用数学方程式来描述时，称这类模型为参量模型。建立方法：建立方法：可用描述对象输入、输出关系的微分方程式、偏微分方程式、状态方程、差分方程等形式来表示。特点：解析性好，对于系统的分析和设计比较有帮助。采用微分方程来表示对象数学模型的形式可参见P19式子 （2-1)(2-3)2-2 对象数学模型的建立一、建模目的1.控制系统的方案设计 对被控对象特性的全面和深入了解是设计控制系统的基础。2.控制系统的调试和控制器参数的确定 为了使控制系统能安全可靠的运行需要必要的调试，必须对被控对象的特性有充分的了解。3.制定工业过程操作优化方案 为提高效率获取最佳经济效益需
4、要进行操作过程的优化。（5s培训）4.新型控制方案及控制算法的确定 5.计算机仿真与培训系统6.设计工业过程的故障检测与诊断系统二、机理建模1.什么是机理建模？机理建模是根据对象或生成过程的内部机理，列 写出各种有关的平衡方程，（如物料平衡方程、能量平衡方程、动量平衡方程以及某些物性方 程、化学反应定律、电路基本定律等）从而获取 对象数学模型的方法称为机理建模。机理建模的优点：具有非常明确的物理意义。但对于复杂的系统，由于其内在机理不明确或参 数的确定比较困难，有时很难采用机理建模的方 法。对于机理建模，仅要求大家掌握一阶对象的机理 建模方法。1.一阶对象的机理建模一阶对象的机理建模 当对象的
5、动态特性可以用一阶微分方程式来描述时，称为一阶对象。(1)水槽对象水槽对象生产中机理建模的最基本关系是：物料平衡 或 能量守恒。列写微分方程式的依据可表示为：对象物料蓄存量变化率单位时间内（流入对象物料流出对象物料）假定t0时，Q1=Q10，Q2=Q20,且Q10=Q20，h=h0,当t0时，Q1=Q10+Q1，Q2=Q20+Q2，h=h0+h,则在很短一段时间d t内，由物料平衡关系可得：（Q1Q2）d t=A dh(Q10+Q1)(Q20+Q2)d t=A d(h0+h)(Q1Q2)d t=A dh为了消去中间变量Q2，得出h与Q1的关系式，可以近似认为Q2与h成正比（自控系统中是允许的）
6、，即：式中：Rs是出水阀的阻力系数。将此关系式代入上式，便有：移项整理后可得：令 代入上式得：上式是用来描述简单的水槽对象特性的一阶常系数微分方程式。式中T称时间常数，K称放大系数。由于在自动化领域中，主要是研究动态过程，即偏离平衡位置以后的过程，而不是注重各个量的初始值，所以变量都是以增量形式出现的，为了简化起见，省略增量符号。于是上式可改写成：说明：说明：(2)一阶一阶RC电电路路 图23为RC电路，若取ei为输人参数，eo输出参数。根据基尔霍夫定律可得：显然，i为中间变量，应消去，因为联立两式，得或 式中 上式就是描述RC电路特性的方程式，它与描述水槽特性的式是类似的，都是一阶常系数微分
7、方程式。只不过在上式中，放大系数Kl。2积分对象积分对象当对象的输出参数与输人参数对时间的积分成比例关系时称为积分对象。图2-4所示的液体贮槽，就具有积分特性。因为贮槽中的液体由正位移泵抽出，因而从水槽中流出的液体流量Q2将是常数，它的变化量为0。因此，液位A的变化就只与流入量的变化有关。式中 A贮槽横截面积。对上式积分，可得：如果以h、Q1分别表示液位和流入量的变化量，那么可得到如下关系：三、实验建模三、实验建模 所谓对象特性的实验测取法，就是在所要研究的对象上，加上一个人为的输入作用(输入量)，然后，用仪表测取并记录表征对象特性的物理量(输出量)随时间变化的规律，得到一系列实验数据(或曲线
8、)。什么类型的数学模型？这些数据或曲线就可以用来表示对象的特性。有时，为了进一步分析对象的特性，对这些数据或曲线再加以必要的数据处理，使之转化为描述对象持性的数学模型。这种应用对象的输入输出的实测数据来决定其模型的结构和参数的做法通常称为系统辨识。特点：将对象视作黑匣子，不需要知道内部机理，简单、省力。对象特性的实验测取法有很多种，这些方法往往是以所加输入形式的不同来区分的，下面作一简单的介绍。1阶跃反应曲线法阶跃反应曲线法所谓测取对象的阶跃反应曲线，就是用实验的方法测取对象在阶跃输入作用下，输出量y随时间的变化规律。例如要测取图27所示简单水槽的动态特性，这时，表征水槽工作状况的物理量是液位
9、h，我们要测取输入流量Q1改变时，输出h的反应曲线。优点：方法比较简单，不需要专用设备和仪器。缺点：主要是对象在阶跃信号作用下，从不稳定到稳定一般所需时间较长，在这样长的时间内，对象不可避免要受到许多其他干扰因案的影响，因而测试精度受到限制。为了提高精度，就必须加大所施加的输入作用幅值，可是这样做就意味着对正常生产的影响增加，工艺上往往是不允许的。一般所加输入作用的大小是取额定值的510。因此，阶跃反应曲线法是一种简易但精度较差的对象动态特性测试方法。2矩形脉冲法矩形脉冲法 当对象处于稳定工况下，在时间t0突然加一阶跃干扰，幅值为A，到t1时突然除去阶跃干扰，这时测得的输出量y随时间的变化规律
10、，称为对象的矩形脉冲特性，而这种形式的干扰称为矩形脉冲干扰，如图29所示。用矩形脉冲干扰来测取对象特性时，由于加在对象上的干扰，经过一段时间后即被除去，因此干扰的幅值可取得比较大，以提高实验精度，对象的输出量又不致于长时间地偏离给定值，因而对正常生产影响较小。目前，这种方法也是测取对象动态特性的常用方法之一。除了应用阶跃干扰与矩形脉冲干扰作为实验测取对象动态特性的输入信号型式外，还可以采用矩形脉冲波和正弦信号(分别图团210与图211)等来测取对象的动态特性，分别称为矩形脉冲波法与频率特性法。近年来，对于一些不宜施加人为干扰来测取特性的对象，可以根据在正常生产情况下长期积累下来的各种参数的记录
11、数据或曲线，用随机理论进行分析和计算，来获取对象的特性。（施加伪随机信号的方法等）机理建模与实验建模各有其特点，目前一种比较实用的方法是将两者结合起来，称为混合建模。这种建模的途径是先由机理分析的方法提供数学模型的结构形式，然后对其中某些未知的或不确定的参数利用实测的方法给以确定。这种在已知模型结构的基础上，通过实测数据来确定其中的某些参数，称为参数估计。上述方法的共同点是：在对象上人为的外加干扰作用，在执行过程中，应根据生产工况合理选择干扰形式并注意自控人员与工艺人员的密切配合以避免影响正常的生产。第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 当对象的输入量变化后，输出量究竟是如何变化
12、的呢?这就是要研究的问题。显然，对象输出量的变化情况与输入量的形式有关。为了使问题比较简单起见，下面假定对象的输入量是具有一定幅值的阶跃作用。一、放大系数一、放大系数K对象的特性可用其数学模型来描述，但为了研究方便，可用三种参数（放大系数、时间常数、滞后时间）来描述对象的特性。对于如图22所示的简单水槽对象，当流人流量Q1有一定的阶跃变化后，液位h也会有相应的变化，但最后会稳定在某一数值上。为什么？如果我们将流量Q1的变化看作对象的输入、而液位h的变化看作对象的输出，那么在稳定状态时，对象一定的输入就对应着定的输出，这种特性称为对象的静态特性。其数学模型为：在阶跃输入下，解此方程，得：当 时，
13、即：K在数值上等于对象重新稳定后的输出变化量与输人变化量之比。它的意义也可以这样来理解：如果有一定的输入变化量Q1，通过对象就被放大了K倍变为输出变化量h，则称K为对象的放大系数。K越大，输入变化量一定时，将对输出量的影响越大。同一系统中不同的阀门可能对系统的影响不同灵敏度（K）不同。需控制变换炉的反应温度以达到：转化率高、蒸汽消耗少、触媒寿命长等指标要求。由改变相同的百分数时输出曲线的变化情况来看：冷激量对温度的相对放大系数最大；蒸汽量对温度的相对放大系数次之；半水煤气量对温度的相对放大系数最小。变换炉的作用：变换炉的作用：CO+H2O H2+CO2（释放热量）触媒冷激流量冷激流量蒸汽流量煤
14、气流量 二、时间常数二、时间常数T时间常数表明，对象输入参数发生变化时，输出参数变化的快慢，即输出参数惯性的大小。不同T的对象受干扰后表现不同。从图中可以看到，截面积大的水槽与截面积小的水槽相比，当进口流量改变同样一个数值时，截面积小的水槽液位变化快，并迅速趋向新的稳态值。同理，夹套蒸汽加热的反应器与直接蒸汽加热的反应器相比，当蒸汽流量变化时，直接蒸汽加热的反应器内反应物的温度变化就比夹套加热的反应器来得快。为了进一步理解放大系数K与时间常数T的物理意义，下面结合图22所示的水槽例子，来进一步加以说明。由前面的推导可知,简单水槽的对象特性如下式所示。假定Q1为阶跃作用，t0时Q10；t0时Q1
15、A，如图216(a)所示。为了求得在Q1作用下h的变化规律，可以对上述微分方程式求解，得：上式就是对象在受到阶跃作用Q1A后，被控变量h随时间变化的规律，称为被控变量过渡过程的函数表达式。从阶跃反应曲线（飞升曲线）可以看出：对象受到阶跃作用后，被控变量就发生变化，当t时,被控变量不再变化而达到了新的稳态值h()。这时由上式可得 这就是说，K是对象受到阶跃输入作用后，被控变量新的稳定值与所加的输入量之比，故是对象的放大系数。它表示对象受到输入作用后，重新达到平衡状态时的性能，是不随时间而变的，所以是对象的静态性能。下面再来讨论时间常数T的物理意义。将tT代入被控变量过渡过程的函数表达式中，就可以
16、求得：这就是说，当对象受到阶跃输入后，被控变量达到新的稳态值的632所需的时间，就是时间常数T，实际工作中，常用这种方法求取时间常数。T越大，重新建立平衡的时间越？或或图中，四条曲线分别表示时间常数为T1、T2、T3、T4的对象，在相同的阶跃输入作用下被控变量的反应曲线。假定它们的稳态输出值均是相同的(图中为100)。显然，由图可以看出T1T2T3T4。时间常数大的对象(例T4所表示的对象)，对输入的反应比较慢，一般也可以认为它的惯性要大些。在输入作用加入的瞬间，液位h的变化速度是多大呢?由上式可以看出：在过渡过程中，被控变量变化速度是越来越慢的。当t=0时，有：当 时，可得：对时间t求导 时
17、间常数T的物理意义可以这样来理解：当对象受到阶跃输入作用后，被控变量如果保持初始速度变化，达到新的稳态值所需的时间就是时间常数。当t时，才有hKA。但是当t3T时，这表明：从加入输人作用后，经过3T时间，液位已经变化了全部变化范围的95。这时，可以近似地认为动态过程基本结束。起始点的切线（其斜率表示变化速度）在新稳定值上截得的一段时间正好等于时间常数T。三、滞后时间三、滞后时间有的对象，在受到输入作用后，被控变量却不能立即而迅速地变化，这种现象称为滞后现象。根据滞后性质的不同，可分为两类，即传递滞后和容量滞后。1传送滞后传送滞后 传递滞后又叫纯滞后，一般用0表示。0的产生一般是由于介质的输送需
18、要一段时间而引起的。例如图219(a)所示的溶解槽，料斗中的固体用皮带输送机送至加料口。在料斗加大送料量后，固体溶质需等输送机将其送到加料口并落人槽中后，才会影响溶液浓度。当以料斗的加料量作为对象的输入，溶液浓度作为输出时，其反应曲线如图219(b)所示。显然：纯滞后时间只与皮带输送机的传送速度v和传送距离L有关。另外，从测量方面来说，由于测量点选探不当、测量元件安装不合适等原因也会造成传递滞后。图2-20是一个蒸汽直接加热器，如果以进入的蒸汽量q为输入量，实际测得的溶液温度为输出量。今后实验或者工作中：需注意由于测量元件、测量点的选择不当，取样管线太长及取样点距离设备较远等引起的纯滞后问题。
19、图2-21所示为有、无纯滞后的一阶阶跃响应曲线。x为输入量，y(t)为无纯滞后时的输出量，y(t)为有纯滞后时的输出量。右图（书本上的图）是错误的。它们除了在时间轴上前后相差一个外，其它形状完全相同。即：具有纯滞后的对象，当输入发生变化时，输出不能立刻反应输入的变化，而要经过一定的纯滞后时间后，才开始等量的反应原无滞后时的输出变化。表示成数学关系式为：因此对于有、无纯滞后特性的对象其数学模型具有类似的形式。若无纯滞后的对象特性可以用下述方程式描述则有纯滞后的对象特性可以用下述方程式描述 2容量滞后容量滞后 有些对象在受到阶跃输入作用x后，被控变量y开始变化很慢，后来才逐渐加快，最后又变慢直至逐
20、渐接近稳定值，这种现象叫容量滞后或过渡滞后，其反应曲线如图2-22所示。容量滞后一般是由于物料或能量的传递需要通过一定阻力而引起的。对于这种对象，要想用前面所讲的描述对象的三个参数K、T、来描述的话，必须作近似处理，即用有滞后的一阶对象的特性来近似二阶对象。近似处理方法如图223所示 过反应曲线的拐点作一切线，与时间轴相交，交点与被控变量开始变化的起始点之间的时间间隔为容量滞后时间h；由切线与时间轴的交点至切线与稳定值直线的交点之间的时间间隔为时间常数T。（1）尽管纯滞后和容量滞后在本质上不同，但实际上很难严格区分，在容量滞后与纯滞后同时仔在时，常常把两者合起来统称滞后时间即0十h，如图2-2
21、4所示。（2）自动控制系统中，滞后的存在是不利于控制的。也就是说，系统受到干扰作用后，由于存在滞后，被控变量不能立即反映出来，于是就不能及时产生控制作用，整个系统的控制质量就会受到严重的影响。关于滞后时间的几点说明：关于滞后时间的几点说明：（3）在设计或者安装自动控制系统时，应该尽量减小滞后时间。如：控制阀及检测点的安装位置选取，通过工艺改进，尽量减小或缩短不必要的管线及阻力等。第二章结束 容量滞后一般是由于物料或能量的传递需要通过一定阻力而引起的。如前面介绍过的两个水槽串联的二阶对象，其特性可用式(227)的微分方程式描述，为了方便起见，将输出量h2，用y表示，输入量Q1用x表示，则方程式可
22、写为：假定输入作用为阶跃函数，其幅值为A。为了得到该二阶对象在阶跃作用下输出y随时间t的变化规律，需要求解上述二阶微分方程式。已知，二阶常系数微分方程式的解是其中ytr(t)为对应的齐次方程式的通解，yss(t)为非齐次方程的一个特解。对齐次方程 其特征方程为 求其特征根为 故齐次方程式的通解为 式中C1、C2为决定于初始条件的待定系数。原方程的一个特解可以认为是稳定解，由于输入 xA，稳定时 由此可得全解初始条件为：代入到上式，可分别解得：将两个常数代入到全解中，可得：上式便是串联水槽对象的阶跃反应函数。画成曲线，就有如图2-22所示的形状。对于这种对象，要想用前面所讲的描述对象的三个参数K、T、来描述的话，必须作近似处理，即用一阶对象的特性(是有滞后)来近似上述二阶对象。