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1、2 0 1 4 年第1 1 期中学数学研究2 9 线段A 曰的中点在椭圆等+2)，2=1 上证明：设A(算。，y，)，B(鬈：，y：)，因为()2+(手)2-1，所以由命题l 可知竿+警=o 设线段A B 的中点为，则葫=葫+蔬又由命题3 可知线段A 曰的中点在椭圆等+)，2=(寺)2+(丢)2 上即譬+2 广=1 例2如图l，若A B、C D是过椭圆与+告=1(n 6，O)中心的两条直线，且直线A 曰与C D 的斜率的积后。L 2J j c D=一与，点E 是椭圆上异n于A、C 的任意一点，A E 交直y。cA 小心犁iD图1线c D 于K，c E 交直线A B 于，求证：(鬈)2+(瓮)2
2、为定值证明：如图2，过点E 作E M A B 交直线C D 于最M 作E c D 交直线A 曰于点o，设D=AD B，D M=肛0 D，则0 E=D+0 M=+A0 B+灿D J D y cA(爪裂莎l一E图2k 后=一箬，即后仙“=一箬，故等薏=o丑1 2一箬，所以等+等_ 0 由命题2 可知“肛2=1 E KE Mo Nt、tE LE No M1 又凼赢2 丽2 面=IAl，瓦2 面2 面2，所以(鬟)2+(爰)2=2 帅1 2-运用“分析法 优化解题江苏省东台市安丰中学(2 2 4 2 2 1)仇爱华分析法是指从问题的结论出发，逐步追溯到使结论成立的原因的一种证明方法(也称“执果索因”法
3、)分析法不仅是一种证明方法。也是一种逆向思维方式，它是处理不少数学问题的一个行之有效的方法，然而笔者发现我们的课堂教学、学生的解题方法以及资料、杂志等使用分析法的频率都很低因此，笔者拟通过一些具体的案例，说明分析法在解决一些数学问题上的优势，意在引起我们大家对分析法的重视1 分析法与 匕较大小例1若方程l=3 一戈的解石。(_|，|+1)，I|+，则运用二分法可得所属的下一个区间为所以八2 5)0，故戈o(2 5，3)侈42试比较n“+1 与(n+1)8 的大J、解：为比较忍”1 与(珏+1)“，只要比较乃i 与(n+1)击，只要比较上l n n 与=_ 告l n(n+1)，于是可构造函数尺x
4、)=坐，接下来运用函数的单调性即可比丑较大小，过程略评析：例1 通常是要用计算器求出1 9 2 5 的近似值，再确定以2 5)的正负，但通过分析法在转化中比较，几乎用心算就能完成；例2 则是在转化比较中，发现了其大小取决于函数火茗)=坐的单调性解：方程对应的函数八戈)：l 影+菇一3，容易计2 分析法与几何证明算得厂(2)O，所以E(2，3)，运用二分例3如图1，在三棱柱法应计算厂(2 5)：1 9 2 5 一o 5 的正负，以下用分析A B c A l B-C-中，A c 召=9 0。，法判断其正负要知以2 5)的正负，只要比较l 萨5A，日上A c-，点A，在底面A B c 上与0 5，只
5、要比较2 5 与1 0 0 一，只要比较2 5 2 与l O，的射影。恰在棱A c 上，求证：四即比较6 2 5 与l o，由于6 2 5 1 0，故1 9 2 5 6 o)的左、右U顶点分别为A、B，点P 在椭圆上且异于A、B 两点，0 为原点，。力、。引；图2(1)略；(2)若IA Pl=I 伽I，证明直线卯的斜率矗满足I 矗l 压证明：设P(髫。，)，则点P 的坐标满足f+紊=l，先用分析法明确化简目标：o(名o+n)2+先=口2，要证 南f 万，只需证f 塑i 万，只需证元 3 z：，I 戈o由(2)得y；=0 2 一(x o+o)2，只需证口2 一(戈o+8)2 3 z：，只需证詈
6、茗。o 再由方程组消去y o，化简得e 2 茏j+2 n z o+6 2=o，于是只要研究八算o)=P 2 戈：+2 似。+6 2 的零点情况，由对称轴石=一墨一口，从而只需考虑对称轴右边的零点，由八一号)=等一口2+6 2=一 2 o，所以一号 0，原结论成立评析：该题在列出方程组后，化简的方向性不太明确，随后我们通过分析法分析得到：其实就是要证明一詈 z o l，y=口川 1，于是只要证(x+1)()，+1)2(算y+1)，只要证0(戈一1)()，一1)，因数列各项均大于1，所以最后一个式子成立，即n=后+1 时结论也成立，由(1)，(2)可知原命题成立评析：由于代数式的复杂性，不容易直接
7、证明凡=I|+1 时结论成立，通过分析法在逐步追溯化简的过程中，同时又采用了换元法，很快就发现了凡：j+l 时结论成立的原因例6将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，1 0)，(1 1，1 2，1 3，1 4，1 5)，(1 6，1 7，1 8，1 9，2 0，2 1)，分另5 计算各组包含的正整数的和如下，试用不完全归纳法猜测s l+s 3+s 5+s 2 n-1 的结果，并用数学归纳法证明s l=l，s 2=2+3=5，s 3=4+5+6=1 5，s 4=7+8+9+1 0=3 4，5 5=1 1+1 2+1 3+1 4+1 5=6 5，解：首先，可以确定第
8、n 组的第一个数为1+2+3+(，l 一1)1+1=生_ 二岩，最后一个数为l+2+3”+n：哇半，从而。：(立等卫+与半)n=导(n 2 十1)，所以+。=(2 n+1)(2 见2+2 n+1)；其次，再通过不完全归纳法可以得到s，+5 3+s 5+s 2。一l=n 4；最后再用数学归纳法证明万方数据2 0 1 4 年第1 1 期中学数学研究。3 1 证明：(1)当，l=1 时，显然结论成立；(2)假设当凡=后时结论成立，即s l+s 3+s 5+s 2 一l=后4，贝4n=七+1 时，s l+s 3+s 5+s 2 I+l=忌4+5 2，于是只要证I|4+(2 七+1)(2 矿+2|+1)
9、=(|+1)4，只要证(2 j +1)(2|2+2 _ j +1)=(J|+1)2+彪2)(忌+1)2 一J 2)，只要证2 七2 十2 七十1=(后+1)2+|j 2，这个式子显然成立，即凡=七+l 时结论也成立根据(1)、(2)原猜想成立。评析：这道题运用数学归纳法证明的关键是要由|4+(2|+1)(2 J|2+2 五+1)得至0(I|+1)4，大多数学生是展开合并处理的，运算量比较大，这里我们采用了分析法，不仅运算简洁，而且过程清晰明了通过以上例题的分析法处理，我们可以看出，分析法具有较强的转化功能(如例1 与例2 在转化中比较大小)；能够在转化中化繁为简(如例6 的分析法运算)；能够在
10、转化中寻找到解题方向或化筒方向(如例4 通过分析法明确了方程组的化简方向)，这说明分析法具有一定的解题优势，是教师解题教学时需要重视的一种思维方式，也是学生学习数学时需要掌握的一种思路方法不同的切入点，同样精彩的解题策略浙江省杭州市学军中学(3 1 0 0 1 2)张春杰提高学生的解题能力是数学的重要任务，通过对典型问题的分析和研究，由不同的思维切入点得出不同的解题方法，使学生对题目的本质有更深层次的认识，从而提高他们分析问题，研究问题和解决问题的能力已知函数以并)=似2 4 6 戈+2 口l 眦(，6 霞)，设m，n 分别为八菇)的极大值和极小值，若存在实数6(生宰n，)，使得m n：1，求
11、口的取值j 2 _ e二e范围(e 为自然对数的底)切入点之一，通过降维。减少未知数，转化化归，构造一元函数分析策略：由乏斗。一生宰口：二e2 e纽生要衄8 o，故8 o 厂(菇)：三(泓zZ P菇一2 6 菇+口)=0 可知口z 2 2 6 菇+口=0 在(o，+)上有两个不同的实根，不妨设两根为0 戈。髫：，则由韦达定酗-l，”铲警专(等，)，则可以得出石，(上，)于是m 一忍：二Ece八石1)一八z 2)=。(戈；一石；)一4 6(并l 一菇2)+2 口(1 n 1一l 眦z)=8(4 l 碱，+砉一菇；)=1，故吉24 l 戤+与一戈：，不妨令右式=(石。)，(戈。)=子(菇：一1)2 。，危(戈-)茬石(，去)上单减，故(老)吉 I I l()，于是F 巧 口 o，知n o 卜鱼(掣，犁)，由厂(石)：o 可知似z 一玉2 e二e2 k+口=0 在(0，+)上有两个不同的实根，不妨设戈2 2 t 菇+l=0 两根为戈l，髫2(z 1 o 恒成立，I I l()单增，故(m n)的最小值为4 n J I l(生芒)，(m j 20 en)的最大值为4 口(生)因为是存在性问题，只要(m 一凡)幽 l (m 一玎)。，即可解出1e 2 一e 一一41 口 o，故口 o：z e2 e万方数据