第2章传递函数与系统模型.pdf

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1、第第 2 2 章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 物理系统是由两个以上且相互之间存在着一定的联系和相互作用，并可以相互区别的要素构成的集合体。而工程中的控制系统（机械的、液压的、电气的、热力的或者是它们的综合）只是物理系统的一个分支，这些系统大多都可以用特定的数学模型加以描述，控制理论中最常用的数学模型就是微分方程，微分方程表明系统在运动过程中各变量之间的相互关系，通过对微分方程的求解，可以得到系统对输入量的响应（或系统输入-输出之间的关系式）。因此，要分析和研究一个控制系统的动态特性，必须知道该系统的运动方程式（即微分方程），一旦控制系统的运动方程式列写出来，就可以应用各种可能的方法

2、和计算机工具对系统进行分析和设计。本章首先介绍控制系统数学模型的建立方法；简要给出线性系统传递函数分析方法的数学基础（拉普拉斯变换）；在给出传递函数定义的基础上，介绍典型环节传递函数，以及通过系统方块图和信号流图对复杂系统进行简化的方法，最后给出几类典型控制系统（环节）传递函数的建立实例。2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 拉普拉斯变换是控制理论中用到的一个重要数学工具，利用它可以将微分方程转换成以s为复变量的代数方程，从而简化微分方程的求解；另外，经典控制理论中的传动函数也是以拉普拉斯变换数学工具作为基础。2.1.1 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯变换及逆变换 1.拉普拉斯变换 对于时间函数)(

3、tf，当0a的所有复数s（sRe表示s的实部）都使积分绝对收敛，故sRea是拉氏变换的定义域，a称为收敛坐标。2.拉普拉斯逆变换 当已知时间函数)(tf拉普拉斯变换)(sF，由)(sF求函数)(tf称为拉普拉斯逆变换。拉普拉斯逆变换实际上是由像函数求原函数，它是拉氏变换的反变换。定义式为+=jjde)(j21)(aastssFtf （2-2）记作)()(1sFLtf=，式中a为实常数。2.1.2 常用函数的常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换 1.单位阶跃函数 单位阶跃函数的数学表达式为 0 （t0）1（t）=1 (t0)其拉普拉斯变换为=0001)e1()e1(e1de)(1)(1 limss

4、sstttLsttstst 2.指数函数 指数函数的数学表达式为 attf=e)(该函数的拉氏变换+=+=000)()(1e1dedeee)(asasttLsFtastasstatat 3.正弦函数 将正弦函数用欧拉公式转换成指数函数可求其拉氏变换，即+=022jj0de)ee(21desinsin)(sttttLsFstttst 4.t的幂函数 t的幂函数之数学表达式为 nttf=)(（t 0）利用分部积分法=+uvuvvudd可求得其拉氏变换=+=0001110dedeede)(nstnstnstnstnntLsnttsnttsnsttttLsF 继续用分部积分公式可得 10!121)(+

5、=nnsntLsssnsntLsF 以上给出了几个常用简单函数的拉氏变换，更多函数的拉氏变换可参阅附录。2.1.3 拉普拉斯变换拉普拉斯变换的主要定理的主要定理 1.叠加定理 若)()(11sFtfL=，)()(22sFtfL=则)()()()(2121sbFsaFtbftafL+=+（2-3）2.微分定理)0()(d)(dfssFttfL=（2-4）证明证明 根据拉氏变换的定义，并利用分部积分法可得+=0000de)()0(d)(e)()(eed)(dd)(dttfsfttfstfdtttfttfLstststst)0()(fssF=同理可以证明，n阶导数的拉氏变换为)0()0(0()0()

6、()(dd)1()2()1(21=nnnnnnnfsffsfssFstftL）若 0)0()0(0()0()0()1()2()2()1(=nnfffff）则)()(ddsFstftLnnn=（2-5）3.积分定理 sfssFttfL)0()(d)(1+=（2-6）式中，=ttffd)()0(1在0=t时的值。对于多重积分可用类似的方法求得其像函数，即 sfsfsfssFttfLnnnnn)0()0()0()()d)(121+=若 0)0()0(0(21=nfff）则 nnssFttfL)()d)(=（2-7）4.延迟定理 如果)(tf沿时间轴延迟一恒值，即)(tf，则其拉氏变换为)(e)(sF

7、tfLs=（2-8）证明证明 由于当 t0时，0)(=tf，所以=00)()(ede)(e)(dee)()(sFTTfttftfLsTssst 5.初值定理 如果)(tf及其一阶导数ttfd)(d的拉氏变换存在，且)(limssFs也存在，则)()0(limssFfs=（2-9）证明证明 根据拉氏变换的微分定理有 0)0()()0()(ded)(dlimlimlimlim0=fssFfssFtttfssssts 即)()0(limssFfs=6.终值定理 如果)(tf及其一阶导数ttfd)(d的拉氏变换存在，)(limtft也存在且唯一，则)()(limlim0ssFtfst=（2-10）与初

8、值定理一样可以得到证明。7.相似定理)(asaFatfL=（2-11）证明证明 设=at，=as，则at=，as=，即=000de)()(de)(defaaftatfatfLst)()(asaFaF=8.位移定理)()(easFtfLat+=（2-12）证明证明)(de)(de)(e)(e00)(asFttfttftfLtasstatat+=+9.卷积定理 若原函数)(tf和)(tg的拉氏变换存在，则)()()(*)(sGsFtgtfL=（2-13）证明证明 由卷积定义得 =000ded)()(d)()(tgtftgtfLst=000de)()(dde)()(sstsFgttfg=0)(de)

9、()(sGsFgsFs）2.1.4 拉普拉斯变换拉普拉斯变换的的应用的的应用 拉普拉斯变换常用于求解微分方程，这也是对控制系统进行时域分析的重要手段之一，但若根据定义求拉氏逆变换，需要进行复变函数积分，一般很难直接计算。通常采用部分分式将复杂函数展开成有理分式函数之和，再由拉氏变换表分别查出对应的反变换函数，即可得到所求的原函数。控制理论中常见的线性系统其像函数一般是s的有理分式，即 0110111)()()(asasasabsbsbsbsXsYsFannnnmmmm+=nm （2-14）其中，使分母为零的s值称为极点，使分子为零的s值称为零点。显然，对于最高阶数为n分母的多项式相应有n个根，

10、因此，可以将式（2-14）表示为=)()()(sXsYsF)()(210111nmmmmpspspsbsbsbsb+（2-15）式中，1p，2p，np可能是实数，也可能是复数，若其中有相等的，意味分母方程式有重根。下面分几种情况来讨论。1.)(sF有互不相同的实数极点 这时上面的式（2.15）可以写成部分分式的形式，即=+=+=niiinnpsApsApsApsAsF12211)(（2-16）其中iA是待定系数，称为)(sF在极点ip处的留数，可用下式求解 iipsiipsipssFsFpsA=+=+=)()()(lim （2-17）例例 2.1 求)3)(2)(1(35)(+=sssssF的

11、原函数。解解 将)(sF写成部分分式的形式，即 321)3)(2)(1(35)(321+=+=sAsAsAsssssF 根据式（2-17）有 1)1()3)(2)(1(35lim11=+=sssssAs 7)2()3)(2)(1(35lim22=+=sssssAs 6)3()3)(2)(1(35lim33=+=sssssAs 所以 362711)(+=ssssF 其原函数 tttsFLtf321e6e7e)()(+=2.)(sF有共轭复数极点 如果1p和2p是)(sF的一对共轭复数极点，其余极点均为互不相等的实数极点，则)(sF可以展开成 nnpsApsApspsAsAsF+=332121)(

12、)(（2-18）式中1A和2A的值可用)(21psps+乘以式（2-18）的两边，并令1ps=或2ps=而求得，即 11)()(2121pspspspssFAsA=+=+（2-19）因为1p是一个复数，方程式两边也是复数值，令等号两边的实部、虚部分别相等，得到两个方程式，联立求解，即可求得1A、2A，其它各iA的值仍用式（2-17）求。例例 2.2 求)22)(1(2)(2+=sssssF的原函数。解解 显然，像函数包含j1的共轭复根，因此)(sF可写成 221)(2210+=ssAsAsAsF 根据式（2-17）可求得10=A，再根据式（2-19）可得 j122j121)22()22)(1(

13、2+=+=+=+ssssssssAsA 即 j1j112=+AAA 将该式等号两边实、虚部比较后可得 11=A，02=A 所以有 2211)(2+=sssssF 查表附 A，得2/1=，2=n，计算出4/=，则)(sF的原函数 ttttttf=e4sin214sine2e)(3.)(sF有多重极点 设)(sF有r重极点，其分母可写成)()()()(11nrrpspspssA+=+则)(sF的部分分式为 nnrrrrrpsApsApsApsApsAsF+=+11111112111)()()(（2-20）式中1+rA、2+rA、nA的求法用式（2.16），而11A、12A、rA1可用下面各式求解。

14、1)(111psrpssFA=+=1)(dd112psrpssFsA=+=1)(dd!2112213psrpssFsA=+=1)(dd)!1(11)1()1(1psrrrrpssFsrA=+=（2-21）由于nps)(1+的拉氏逆变换为 ptnntnpsL=+e)!1(1)(111 则 tprrrAtrAtrAsFLtf1e)!2()!1()()(12121111+=tpntprnrAA+ee11（t0）（2-22）例例 2.3 求2)2(1)(+=sssF的原函数 解解 将)(sF写成部分分式的形式 2)2()(12211+=sAsAsF 由式（2-21）可得 1)2()2(1)2)(222

15、2211=+=+=sssssssFA 1)2()2(1dd22212=+=sssssA 则 2)2(121)(+=sssF 查附表 A 可得)(sF的原函数 ttttttf222e)1(ee)(=2.2 传递函数传递函数 在建立了系统或元件的数学模型（即微分方程）之后，通过求解微分方程，可得到系统的输出响应。但是，直接求解微分方程（尤其是高阶微分方程）非常复杂且难度较大。对于线性定常系统通常采用传递函数作为其系统模型，传递函数是在拉氏变换的基础上产生的，它直观描述了线性定常系统输入输出之间的关系，是对系统进行分析、研究及综合的有力工具。因此，传递函数是经典控制理论的基础，也是一个重要的基本概念

16、。2.2.1 传递函数的定义传递函数的定义 线性定常系统传递函数的定义：在零初始条件下，系统输出的拉氏变换)(sY与输入拉氏变换)(sX之比，用)(sG表示，即)()()(sXsYsG=（2-23）若线性定常系统微分方程的一般形式为 mmmmnnnnbxbxbxbyayayaya+=+1)1(1)(01)1(1)(0 （2-24）式中，y是系统的输出量，x是系统的输入量，在零初始条件下，对上式两边求拉氏变换，可得系统的传递函数 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsXsYsG+=11101110)()()(（2-25）传递函数分母中s的最高阶数，就是输出量导数的最高阶数，如果s的最高阶

17、数为n，则称该系统为n阶系统，实际系统中，一般有nm。传递函数是一种以系统参数表示线性定常系统输入量与输出量之间的关系式，它表达了系统本身的特性，而与输入量无关。由式 2.25可知：)()()(sXsGsY=，这个关系可以用图 2.1 直观地表示。图 2.1 系统框图 传递函数是控制理论中的一个非常重要的基本概念，需要特别指出的是：1）传递函数在是在拉氏变换的基础上导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算，所以传递函数的概念仅适用于线性定常系统。2）传递函数中的各项系数与相应微分方程中的各项系数一一对应，它们完全取决于系统的结构参数。通常一个输入对应一个输出，因此只适用于对单输入单输出系统的描述，

18、而且系统内部的中间变量的变化情况，传递函数也无法反映。3）传递函数是在零初始条件下定义的，因此，传递函数原则上不能反映系统中非零初始条件下的运动规律。2.2.2 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 物理系统一般由若干元件按一定的形式连接而成，各元件在系统中承担着特定的作用，并具有各自的功能，通过它们的相互配合而构成一个完整的系统。从控制理论的角度看，物理本质、工作原理不同的元件完全可以有相同的数学模型。在控制工程中，一般将具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节，经常遇到的环节称为典型环节。任何复杂的系统都可以看作是若干个典型环节按某种形式组合而成。求出典型环节的传递

19、函数，就可以求出系统的传递函数，这样给复杂系统的分析、研究带来极大的方便。常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延迟环节，下面给出这些典型环节的传递函数。1.比例环节 如果一个环节的输出与输入成比例，则称此环节为比例环节。其运动方程为 Kxy=（2-26）式中，y为输出量，x为输入量，K为环节的比例系数。显然，比例环节的传递函数为 KsXsYsG=)()()(（2-27）比例环节在信息传递过程中，既不失真也不延迟，只是将输入放大（或缩小）K倍。现实世界中的比例环节很多，如：略去弹性的杠杆机构、无侧隙的齿轮减速器、丝杠螺母机构以及运算放大器等都可看作比例环节。2.惯

20、性环节 凡运动微分方程为一阶微分方程)()(d)(dtKxtyttyT=+（2-28）形式的环节称为惯性环节，其传递函数为 1)()()(+=TsKsXsYsG （2-29）式中，K为环节的增益，T为时间常数，它表征了环节的惯性，与环节的结构参数有关。惯性环节通常含有储能元件（如弹簧、电容等），所以当输入量突然变化时，输出量不能跟着突变，而是按照指数规律变化，这也是惯性环节的名称的由来。实际系统中的RC电路、液压系统里的液压缸、直流电机的励磁回路等都是惯性环节。3.微分环节 凡输出量正比于输入量微分的环节称为微分环节，其运动方程为 ttxKtyd)(d)(=（2-30）传递函数为 KssXsY

21、sG=)()(）（2-31）式中，K为常数。微分环节的输出是输入的微分，当输入为单位阶跃函数时，输出应是脉冲函数，这实际上是不可能的，这也证明传递函数分子的阶数不可能高于分母的阶数，因此，微分环节不可能单独存在，只能与其它环节共存。有些元件当其惯性非常小时可以近似看作是微分环节。微分环节主要用来做校正装置，以改善系统的动态性能，减小振荡，增加其稳定性。4.积分环节 对于具有输出量正比输入量积分之特性的环节称为积分环节，其运动方程为=tttxKty0d)()(（2-32）根据拉氏变换的积分定理可得其传递函数 sKsXsYsG=)()()(（2-33）式中，K为常数，有时也用其倒数的形式即：TK/

22、1=，此时的T称为积分时间常数。积分环节具有记忆功能，在控制系统设计中，常用积分环节来改善系统的稳态性能。5.振荡环节 振荡环节含有两个独立的储能元件，且所储能量能在储能元件中相互转换（如位能与动能、电能与磁能），使得输出带有振荡的特性，该环节的微分方程为)()(d)(d2d)(d222txtyttyTttyT=+（2-34）从方程可以看出，其数学模型是一个二阶微分方程，即所谓的二阶系统。对上式两边求拉氏变换可得振荡环节的传递函数 121)()()(22+=TssTsXsYsG （2-35）式中，T为振荡环节的时间常数，为阻尼比。振荡环节的传递函数常写成如下标准形式 2222)()()(nnn

23、sssXsYsG+=（2-36）式中，Tn/1=称为无阻尼固有频率。需要指出的是：当阻尼比10时，二阶微分方程才有共轭复根，此时的二阶系统才能成为振荡环节；而当0时，系统有两个（或两个相等）的实根，这时系统实际上是两个惯性环节串联。6.延迟环节 延迟环节是输出滞后输入时间而不失真地反映输入的环节。延迟环节一般不单独存在而是与其它环节共存。延迟环节的输入/输出之间满足如下关系)()(=txty （2-37）式中，为延迟时间，)(tx是)(tx的延迟函数，也称平移函数。根据拉氏变换的延迟定理可得延迟环节的传递函数 ssXsYsG=e)()()(（2-38）延迟环节与惯性环节不同，惯性环节的输出是从

24、输入的瞬间就有，但需要延迟一段时间才逼近输入。而延迟环节在输入开始的时间内并无输出，在后，输出就完全等于输入，从波形上看就是向后平移了一个时间。2.3 传递函数传递函数的的方块图表示及运算方块图表示及运算 方块图是一种数学模型的图形化表示法，它清楚地表明某个环节或元件在系统中的功能以及信号在系统中的流动，是一种方便、直观的系统分析工具（或模型）。2.3.1 方块图的定义及组成方块图的定义及组成 方块图（或系统方块图），是系统中每个环节的功能和信号流向的图解表示。在方块图中，通过函数方块，可以将所有系统变量联系起来，“函数方块（简称方块）”是对加到方块上的输入信号的一种运算符号，运算结果以输出量

25、表示。环节的传递函数通常写进相应的方块中，并以标上信号流向的箭头将这些方块连接起来。这样，控制系统的方块图就清楚地表示它的单向特性。方块图的组成元素有（1）方块 系统方块图是由描述元件或环节输入输出关系的方块图单元（即方块）构成，如图 2.1 所示，它包含如下信息：信号流向：在方块图中信号传递方向用箭头表示，在控制系统方块图中，信号只沿单向传递。输入信号：箭头指向方块的信号代表输入信号，如图 2.1 中的)(sX。输出信号：箭头离开方块的信号代表输出信号，如图 2.1 中的)(sY。输入/输出关系：图 2.1 中的方块图单元表示如下输入/输出关系)()()(sXsGsY=（2-39）（2）比较

26、点（或加法点）对两个或两个以上信号进行加、减比较运算的元件。如图 2.2 所示，图 2.2a代表如下含义)()()(sBsXsY=（2-40）图 2.2b 代表如下含义)()()(sBsXsY+=（2-41）a）b）图 2.2 比较点 （3）分支点（或引出点）用于将同一信号传送到不同的元件上，一个分支点可以引出若干信号线，在同一分支点引出的信号其性质、大小完全相同，如图 2.3 所示。图 2.3 分支点 2.3.2 闭环控制系统的闭环控制系统的方块图方块图 图 2.4 所示为一个负反馈闭环系统的方块图。输出信号)(sY反馈到比较点，并且与参考 图 2.4 闭环系统方块图 输入)(sX进行比较。

27、显然，图中各信号的关系为)()()(sEsGsY=)()()(sBsXsE=)()()(sYsHsB=根据方块图的符号规则，从图 2.4 所示的闭环控制系统方块图中，可以导出一些在进行系统性能分析中经常用到的关系式。1.前向通道传递函数 前向通道传递函数定义为输出信号)(sY与作用误差信号)(sE之比，即)()()(sGsEsY=（2-42）2.开环传递函数 开环传递函数定义为反馈信号)(sB与作用误差信号)(sE之比，它等于前向通道传递函数)(sG与反馈通道传递函数)(sH的乘积，即)()()()(sHsGsEsB=（2-43）3.闭环传递函数 实际的控制系统除了有参考输入点作用外，还受到干

28、扰信号的作用，图 2.5 是具有扰动作用的闭环系统。当两个输入量同时作用与系统时，可以对每个输入量单独进行处理，最后应用叠加原理，可得到闭环系统总输出响应。图 2.5 具有扰动信号的闭环系统（1）参考输入信号作用下系统闭环传递函数 闭环传递函数定义为输出信号)(sYX与参考输入信号)(sX之比。因为)()()()(21sEsGsGsYX=)()()()()()(sYsHsXsBsXsEX=将后式带入前式消去)(sE，可得)()()()()()(21sYsHsXsGsGsYXX=此时闭环传递函数)()()(1)()()()(2121sHsGsGsGsGsXsYX+=（2-44）（2）扰动信号作用

29、下系统闭环传递函数 假设0)(=sX，并将图 2.5 画成下面图 2.6 的形式，可写出在扰动信号)(sN作用下系统的闭环传递函数)()()(1)()()(212sHsGsGsGsNsYN+=（2-45）图 2.6 扰动信号作用下闭环系统（3）系统在参考输入信号、扰动信号共同作用下的输出响应 根据线性叠加原理可得)()()()(1)()()()()(1)()()()()(2122121sNsHsGsGsGsXsHsGsGsGsGsYsYsYNX+=+=)()()()()()(1)(1212sNsXsGsHsGsGsG+=（2-46）4.系统误差传递函数 以误差信号)(sE为输出量，以参考输入信

30、号)(sX或扰动信号)(sN为输入量的闭环传递函数称为误差传递函数。这是闭环系统的另一个重要的关系式，在进行系统误差分析时特别有用。（1）参考输入信号作用下系统的误差传递函数 设0)(=sN，并将图 2.5 改成如图 2.7（a）所示，即只考虑)(sX的影响，则 （a）（b）图 2.7 以误差作为输出量的系统方块图)()()(1)()()()()()()()()(sXsHsYsXsHsYsXsXsBsXsXsE=)()()(1121sHsGsG+=（2-47）在分析随动系统误差时，该式非常有用。（2）扰动信号作用下系统的误差传递函数 设0)(=sX，将图 2.5 改成如图 2.7（b）所示，即

31、只考虑)(sN的影响，则)()()(1)()()()(212sHsGsGsHsGsNsE+=（2-48）恒值控制系统的误差主要由扰动所引起，因此，上式可以用来对恒值控制系统进行误差分析。（3）在参考输入信号、扰动信号共同作用下系统的总误差 根据叠加原理，系统总误差为)()()()(1)()()()()()(11)(21221sNsHsGsGsHsGsXsHsGsGsE+=（2-49）以上各式，当1)(=sH时，即得到单位反馈控制系统的各种传递函数表达式。2.3.3 系统方块图的绘制系统方块图的绘制 在绘制系统方块图时，可按以下步骤进行：（1）列写系统各组成部分的运动方程；（2）对运动方程进行拉

32、氏变换，求出它们的传递函数；（3）将每个部分用方块图表示；（4）按输入输出关系将所有方块连接起来，构成系统方块图。下面通过实例说明方块图绘制过程。例例 2.4 绘制图 2.8(a)所示 RC 电路的方块图。解解 根据基尔霍夫定律可写出电路的方程 Rieeoi+=（2-50）=tiCeod1 （2-51）零初始条件下，两式的拉氏变换为 RsEsEsIoi)()()(=（2-52）)(1)(sICssEo=（2-53）（a）RC 电路 （b）式（2-52）单元方块 （c）式（2-53）单元方块 （d）RC 电路方块图 图 2.8 系统方块图的绘制过程 根据式（2-52）、式（2-53）画出的单元方

33、块见图 2.8(b)、(c)，再按照各单元方块的输入输出关系连接所有单元方块，得系统的方块图，如图 2.8（d）所示。2.3.4 方块图的方块图的等效变换及运算法则等效变换及运算法则 在对复杂系统分析时，常常需要对系统方块图进行运算或变换，以求得其传递函数，实现对系统动态性能的分析。方块图的运算或变换是按照等效原则进行的。所谓等效，就是对方块图所作的任何变换都是以输入输出之间总的数学关系不变为前提，即变换前后系统的输入输出表达式不变。表 2-1 方块图的运算法则 序号 原始方块图 等效方块图 1 2 3 4 5 方块图的变换的方法是：在可能的情况下首先利用环节串联、并联及反馈连接的公式计算系统

34、的传递函数；当不能直接利用这些公式时，可以通过改变加法点、分支点的位置，利用方块图的运算法则，对方块图进行等效变换，直至可以使用串并联及反馈连接的公式为止。表 2-1 给出了方块图的基本运算法则。例例 2.5 求如图 2.9 所示 RC 电路的传递函数。解解 根据基尔霍夫电压定律，由图可知 sCIIIRU2211111)(+=（2-54）sCIIIRU2212221)(+=（2-55）中间回路方程为 图 2.9 RC 电路 212111IsCRIR+=（2-56）由式（2-54）可得 1)/(2122211+=sCRsCsCIUI （2-57）由式（2-56）可得 1121112+=sCRsC

35、RII （2-58）由式（2-55）可得 22212211IsCRIsCU+=（2-59）根据式（2-57）可画出图 2.10a 所示的方块，由式（2-58）可画出图 2.10b 所示的方块，而根据式（2-59）可画出图 2.10c 所示的方块，将以上三个方块按输入、输出关系连接即可得到图 2.11 所示的系统方块图。将图 2.11 中的第一个分支点后移，得图 2.12 所示的结果。再对图 2.12 进行变换可得最终结果，如图2.13 所示。系统传递函数见式（2-60）。1)(1)()()()(122111221211212212112+=sCRCRCRsCCRRsCRRsCCRRsUsUsG

36、 （2-60）灵活运用方块图的运算法则，可以方便得到系统的传递函数，这里要强调的是，虽然最终结果是一样的，但具体的简化过程并不是唯一的。例如，也可以将图 2.11 方块图中的第二个分支点前移，同样可得到式（2-60）的传递函数表达式。(a)式（2-55）方块 (b)式（2-56）方块 (c)式（2-57）方块 图 2.10 各单元方块 图 2.11 系统方块图 图 2.12 等效变换后的方块图 图 2.13 最终系统方块图 2.4 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式 方块图是进行系统分析的重要工具，然而，对于比较复杂的系统，利用其进行变换或化简往往显得繁琐且费时。信号流图是系统模型的另一种图

37、解表示式，它特别适合对复杂控制系统变量之间关系的描述，在对复杂系统进行化简时，比方块图更有优势。2.4.1 信号流图的概念信号流图的概念及术语及术语 信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。当我们用信号流图表示控制系统时，首先必须将系统的线性微分方程进行拉氏变换，并转换成以s为变量的代数方程。信号流图是由网络组成的，通过网络中各节点和支路来表示一组方程，如图 2.14 所示的信号流图，表示如下方程：211cxaxy+=212dxbxy+=图 2.14 信号流图所表示的系统 信号流图中，每个节点表示系统的一个变量；两个节点之间的定向线段称为支路，用于连接各个不同的变量。信号流图基本上包含了方块图

38、所包含的有关信息。下面以图 2.15 为例，图 2.15 信号流图 对信号流图的有关术语进行介绍。信号流图中用到的术语有：1）节点：用来表示变量或信号的点。如图 2.15 中的1x、2x、3x等；2）传输：两个节点之间的增益。如图 2.15 中的a、b等；3）支路：连接两个节点之间的定向线段，其中箭头表示信号的流向。图 2.15 中连接1x与2x之间的线段，该支路的传输（或增益）为a；4）输入节点（也称源点）：只有输出支路而没有输入支路的节点，图 2.15 中的1x、5x；它们对应于自变量；5）输出节点（也称阱点或汇点）：只有输入支路而无输出支路的节点，图 2.15 中的4x点，它对应于因变量

39、；6）混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点，图 2.15 中的2x、3x；7）通路（或通道）：沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径，图 2.15 中的abe；8）前向通路：从输入节点到输出节点，通过任何节点不多于一次的通路；9）回路：回路就是闭通路，图 2.15 中的bc；10）不接触回路：回路中无任何公共节点。2.4.2 信号流信号流图的图的性质及化简性质及化简 信号流图具有以下性质：1）信号流图中节点代表变量。输入节点代表输入量，输出节点代表输出量，混合节点表示所有流入信号的代数和。2）支路表示信号或变量的传输和变换过程，反映了信号与信号之间的函数关系，信号只能沿箭头方向通过。3）通过增

40、加单位传输支路，可以将混合节点转化为输出节点。4）对于给定系统，信号流图不是唯一的。信号流图的运算法则：与方块图一样，信号流图也有其运算法则，利用这些法则可以将复杂信号流图简化成只包含输出和输入节点的形式，并最终获得系统的传递函数。1）加法规则：并联支路的总传输等于各支路的传输之和。如图 2.16a 所示。2）乘法规则：串联支路的总传输等于所有支路传输的乘积。如图 2.16b 所示。3）分配规则：混合节点可以通过移动支路的方法消掉。如图 2.16c 所示。4）反馈回路简化规则：根据反馈联接的规则进行简化。可以先转化成自回路（图 2.16d 的中间结果），然后再作进一步简化。如图 2.16d 所

41、示。（a）（b）（c）（d）图 2.16 信号流图的运算法则 例例 2.6 设某系统其性能可由下列方程描述，试绘制该系统信号流图。213312321fyeyydycyybyayy+=+=+=解解 首先按顺序将1y、2y、3y三个节点画出，并将每个方程所代表的信号流图画出，如图 2.17 所示。再将各方程信号流图叠画在一起，最终可得系统的信号流图，如图 2.18 所示。(a)方程 1 的图 (b)方程 2 的图 (c)方程 3 的图 图 2.17 各方程的信号流图 图 2.18 系统的信号流图 2.4.3 梅逊公式梅逊公式 对于复杂的控制系统，无论是用方块图还是信号流图化简都显得繁琐、费时，此时

42、可直接利用梅逊公式来求系统的传递函数。梅逊公式为=nkkkPG11 （2-61）式中：kP为第 k 条前向通路的增益或传输；是信号流图的特征式，其表达式为+=fedcbaLLLLLL1 （2-62）这里 aL表示所有不同回路的增益之和；cbLL为任意两个互不接触回路增益乘积之和；fedLLL为任意三个互不接触回路增益乘积之和；k称为第 k 条前向通路的余因子，指的是在中，除去与第 k 条前向通路相接触的回路后，剩余的部分。例例 2.7 利用梅逊公式求图 2.19 所示系统的传递函数。图 2.19 系统的信号流图 解解 由图可见，在输入节点)(sX与输出节点)(sY之间，只有一条前向通路，其传输

43、为 43211GGGGP=从图中还可以看出，此系统共有三个单独的回路，这些回路的增益分别为 1321HGGL=2432HGGL=343213HGGGGL=显然，这三个回路之间都有公共节点，故不存在互不接触回路，于是系统的特征式为 HGGGGHGGHGGLaa43212433211+=由于三个回路均与前向通路1P接触，所以其余因子11=。可得系统传递函数为 HGGGGHGGHGGGGGGPsYsXsG43212433243211111)()()(+=2.5 系统数学模型的系统数学模型的 MatLab描述描述 MatLab 软件已广泛应用于工程领域中，已成为线性及非线性系统的仿真与分析中不可或缺的

44、工具。对于动态系统，可以用微分方程、传递函数、状态方程等对其进行描述。MatLab 可以方便地实现对系统的各种描述。2.5.1 连续系统数学模型的连续系统数学模型的 MatLab 表示表示 1.传递函数描述 在 MatLab 中，传递函数有分子分母多项式模型、零极点增益模型两种表示。可以用 tf、zpk 这两个函数分别来创建其模型。格式为),(dennumtfG=),(kpzzpkG=式中：num 为分子多项式的系数，den 为分母多项式系数；z 为零点矩阵，p 为极点矩阵，k 为系统增益。例例 2.8 用 MatLab 表示传递函数为1325)(23+=sssssG的系统。解解 分别写出分子

45、、分母多项式的系数矩阵，再用 tf 函数创建传递函数模型，即%tf 函数的使用 num=1 5;den=1 2 3 1;G=tf(num,den)执行后，显示的结果为 Transfer function:s+5-s3+2 s2+3 s+1 例例 2.9 用 MatLab 表示传递函数为)3)(2)(1()5)(4(6)(+=ssssssG的系统。解解 可分别写出零点、极点矩阵及增益，再用 zpk 函数创建模型，即%zpk 函数的使用 z=-4-5;p=-1-2-3;k=6;G=zpk(z,p,k)执行后，结果显示为 Zero/pole/gain:6(s+4)(s+5)-(s+1)(s+2)(s

46、+3)如果需要根据传递函数求系统的时间响应函数，根据前面所介绍的，可以先将传递函数展开成部分方式，再进行傅氏逆变换即可。在 MatLab 中可用 residue 函数来得到传递函数的部分分式形式，其格式是),(,dennumresiduekpr=其中，r、p、k分别为部分方式展开后的留数、极点及直接项，对于传递函数)(/)(sYsX的部分分式可由下式给出 kpsrpsrpsrsYsXnn+=2211)()(例例 2.10 求传递函数sssssF342)(23+=的时间表达式。解解 本题的 m 文件如下：%residue 函数的使用 format rat%格式化输出数为分数 num=1 2;de

47、n=1 4 3 0;r,p,k=residue(num,den)运行结果为：r=-1/6 -1/2 2/3 p=-3 -1 0 k=其部分分式为 36/112/13/2)(+=ssssF 由此可写出时间响应函数如下)(e61)(e21)(32)(3tutututftt=2.模型之间的相互转换及连接 各种模型适用于不同的场合，在 MatLab 中还是可以在不同模型间进行转换，这也大大方便了对系统的分析。另外，实际系统通常是由各种基本环节按一定方式连接而成，同样，在 MatLab 中也有一些模型连接函数。MatLab 中的模型转换和模型连接函数如下表所示：表 2-2 模型的连接及转换函数 函数名

48、功 能 函数名 功 能 tf2zp 由传递函数到零极点模型 series 系统的串联连接 zp2tf 由零极点模型到传递函数 parallel 系统的并联连接 residue 传递函数与部分分式的相互转换 feedback 系统的反馈连接 例例 2.11 将传递函数61164)(23+=sssssG写成零极点模型。解解 本题的 m 文件如下：num=1 4;den=1 6 11 6;z,p,k=tf2zp(num,den);G=zpk(z,p,k)运行结果为 Zero/pole/gain:(s+4)-(s+3)(s+2)(s+1)2.5.2 基于基于 Simulink 的的系统系统建建模模 S

49、imulink 是 MatLab 中的基于图形化的仿真建模工具，在这种图形化的交互环境下，只需要用鼠标拖动的方法就能方便、迅速地构建起复杂的系统框图模型，甚至不需要编写一行代码，同时，系统中各环节的关系、信号的流向等都非常清晰。利用 simulink 提供的模块库（包括通用模块库和专用模块库），可以进行各种动态系统的建模及仿真分析。1.simulink 的模块库介绍 在 MatLab 的命令窗口输入“simulink”回车或点击 simulink 图标，可打开 simulink 的模块库浏览器（Simulink Library Browser），如图 2.20 所示。随着 simulink 版

50、本的升级，其模块库中所包含的内容、模块所在的位置会有所变化，但是其中通用模块的几个主要部分变动不大，如连续模块（Continuous）、.逻辑运算模块（Logic and Bit Operations）、数学运算模块（Math Operations）、端口及子系统模块（Ports&Subsystems）、信号路由模块（Signal Routing）、显示模块（Sinks）、源模块（Sources）等，实际上，我们在进行连续系统建模时，主要用的也就是这些子模块库中的各模块。图 2.20 simulink 的模块库浏览器 2.simulink 系统框图的构建与编辑 在 simulink 的模块库浏