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1、西北农业学报 2008,17(4):334-338Acta Agriculturae Boreali-occidentalis SinicaVaR 数学模型及其计算方法*刘红波,边宽江*,程 波,袁志发(西北农林科技大学理学院,陕西杨凌 712100)摘 要:VaR(Value at Risk)是一种以规范的统计技术来度量市场风险的新标准,目前在金融数学领域被广泛使用,它是在正常的市场条件下,给定一定时间区间和置信水平,测度最大损失的数学方法。传统的 VaR计算方法在计算开放式基金时,可能存在着高估风险的情况,对数正态分布假设下得到的风险值(VaR)要比正态分布假设下的风险值更接近实际值。本文
2、着重论述了 VaR 模型的数学原理以及该模型的计算方法,运用对数正态分布假设来评估开放式基金的风险,以验证其结果是否更加接近实际风险值。关键词:VaR;置信度;时间序列;对数正态分布中图分类号:F224.9 文献标识码:A 文章编号:1004-1389(2008)04-0334-05VaR Mathematical Model and Its Computing MethodsLIU Hong-bo,BIAN Kuan-jiang*,CHENG Bo and YUAN Zh-i fa(College of Science,Northwest A&F University,Yangling Sh
3、aanxi 712100,China)Abstract:VaR(Value at Risk),is a new criterion to measure the market risk by a standard statisticaltechnology,and it is widely used in financial mathematics at present.It is a method to anticipate themost heavy loss under the normal market condition with the given confident level
4、and time horizon.The traditional VaR computational method is used in calculating the open style fund,it may overest-imate the risk.The value of risk we obtained under the logormal distribution supposition must bemore approach the actual value compared to under the normal distribution supposition.Thi
5、s paper es-pecially study the mathematical theory and the computing methods of VaR model.Using the logormaldistribution supposition to appraise the risk of the open style fund,to confirm whether the result is e-ven more approaches the real value of risk.Key words:VaR;Confident level;Time series;Loga
6、rithm normal distribution VaR 模型是金融数学研究的重点问题之一,标准差,系数,持续期等传统的度量方法已不能适应新的金融风险的度量。因此,金融机构需要一种能全面反映投资组合所承担风险的技术方法,而 VaR数学模型就是为了适应这种需要而产生的风险度量方法。VaR 是基于统计分析基础上的风险度量技术,它的核心在于描述金融时间序列的统计分布或概率密度函数 1。目前,国内外对 VaR模型的研究极为广泛。Umberto Cheru-bini 和 Elisa Luciano(2001)全面介绍了 VaR 方法的优点、适用范围、计算过程以及其不足之处。蒲明(2003)也从理论方面
7、论证了 VaR 模型在对开放式基金风险估计的可行性,并提出了具体的操作步骤,主要提出/方差)协方差法0这种简单的计算方法。笔者通过对比分析,发现这些研究尽是针对现有的 VaR 模型而展开的,没有对模型进行数学原理的分析,故本文论述了 VaR 数学模型的计算方法以及对数正态分布假设下资产组合的风险值。*收稿日期:2007-12-04 修回日期:2008-04-05作者简介:刘红波(1982-),男,陕西乾县人,硕士研究生,主要从事应用数学研究。*通讯作者:边宽江(1963-),男,陕西陇县人,副教授,硕士生导师,主要从事应用数学研究。1 VaR 模型的数学原理VaR 模型是指在正常的市场条件下和
8、给定的置信度下,在给定的持有期间内,某一投资组合所面临的最大的潜在损失(可以是相对值,也可以是绝对值)。其数学表达式为:Prob(vW VaR)=1-c=A,式中,vW 为金融资产在持有期 vt 内的损失;VaR 为置信水平A下处于风险中的价值;c 为置信度。例如,对于某一金融机构来说,它所持有的金融资产在未来一周内,置信度为 99%,市场正常波动的情况下,其 VaR 值为 150 万元,则表示该公司的金融资产在一周内,由于市场价格变化而带来的最大损失额超过 150 万元的概率为 1%,换句话说,也就是有 99%的概率在未来一周的损失额不会超过 150 万元。令 W0为某资产组合的期初价值,W
9、 为该资产组合的期末价值,R 为该组合在持有期间的投资收益率,则有 W=W0(1+R)。假设在正常的市场条件下,资产组合的最小价值,W*=W0(1+R*),R*为最小收益率。VaR 可定义为相对均值的损失,即:VaR(相对)=E(W)-W*(1)还可以定义为相对于 0的绝对损失,即:VaR(绝对)=W0-W*(2)由前面已知:W=W0(1+R)(3)W*=W0(1+R*)(4)再根据数学期望的基本性质,由(1)(2)(3)(4)式可得:VaR(相对)=E W0(1+R)-W0(1+R*)=W0 E(R)-R*=W0(L-R*)(5)VaR(绝对)=W0-W0(1+R*)=-W0R*(6)在正常
10、的市场条件假设下,R I 时间序列R1,R2,Rt,通常服从正态分布,其数学期望值为 L,因此由(1)(6)式可以看出,计算 VaR 相当于确定最小价值 W*或最小收益率 R*。2 VaR 模型中变量的确定2.1 资产组合收益率分布在市场上,回报行为是一个随机过程。因此,不包括人为和市场机制的干涉因素。设某金融资产价格的时间序列为 Wt,W0为某资产组合的期初价值,W 为该资产组合的期末价值,R 为该组合在持有期间的投资收益率,则有 W=W0(1+R)。将 R 看作一个随机变量,作为金融资产的时间序列 Rt,有 Rt=Wt-Wt-1t-(t-1)/Wt-1t-(t-1),(t-1)表示前一时刻
11、,当 Wt-1已知时,收益率序列Rt服从正态分布 N(L,R2),虽然资产收益正态分布假设能进行较方便的 VaR 度量和分析,但实证研究表明资产收益率分布具有尖峰厚尾现象,正态分布的假设往往会低估风险值 5。因此,在实际中需要对资产收益率的分布进行合理的假设。2.2 置信水平设总体 X 的分布含有一个未知参数 H,若由样本 X1,X2,Xn确定的两个统计量 H1(X1,X2,Xn)及 H2(X1,X2,Xn),对于给定值A(0 A 0设 W 的数学期望和方差分别为 LW,和 R2W,则有LW=E(W)=Q+-W#f(W)dW=Q+-1R2Pe-(ln W-L)22R2dW令 ln W=L+R#
12、t,则 dW=e(L+R t)Rdt=1R2PQ+-e(-t22)e(L+R t)dt=12PeLQ+-e(-t22+ot)dt=12PeLQ+-e(-(t-R)22)eR22dt=12Pe(L+R22)Q+-e-(t-R)22dt令 m=t-R则上式=12Pe(L+R22)Q+-e-m22dm而Q+-e-m22=2P,则上式=e(L+R22)R2W=D(W)=E(W2)-(EW)2=Q+-W2#f(W)dW-(e(L+R22)2=Q+-W21RW2Pe-(lnW-L)22R2dW-e(2L+R2)=Q+-1RW2Pe-(lnW-L)22R2dW-e(2L+R2)令 ln W=L+R#t,则
13、W=e(L+R t),dW=e(L+R t)R dt=1R2PQ+-e(L+R t)e-t22e(L+R t)Rdt-e(2L+R2)=12PQ+-e-(t-2R)22e(2L+2R2)dt-e(2L+R2)令 x=t-2R则上式=12Pe(2L+2R2)Q+-e-x22dx-e(2L+R2)=e(2L+2R2)-e(2L+R2)=(eR2-1)e(2L+R2)根据概率分布推导:1-c=QW*-f(W)dW=QR*-f(R)dR=QLa-U(E)dE其中,La为标准正态分布的分位数,U(E)为标准正态分布的密度函数。又由 P(R R*)=P(R-LWRWR*-LWRW)=1-c得:R*-LWR
14、W=LA R*=LW+RWLA所以 VaR 的计算方法可推导为:VaR相对=E(W)-W*=E W0(1+R)-W0(1+R*)=W0(LW-R*)#336#西 北 农 业 学 报 17 卷=W0(LW-LW-RWLA)=-W0RWLA=-W0 e2L+R2(eR2-1)LAVaR绝对=W0-W*=W0-W0(1+R*)=-W0R*=-W0(LW+RwLA)=-W0(L+R22+e2L+R2(eR2-1)LA)当资产组合包括 2 种以上资产时,我们用向量形式来表示,假定组合中有 n 种资产,每种资产的收益为 Ri(t)(i=1,2,n),令向量 R(t)=(R1(t),R2(t),Rn(t)T
15、),并假设 R(t)服从多元正态分布,记 F=(Qi,j)n n为n 种资产的相关系数矩阵,x=(x1,x2,xn,)为每种资产投资占总投资的比重,显然有 En1xi=1,另记投资组合的收益为 RW(t),则有RW(t)=x1R1(t)+x2R2(t)+,+xnRn(t)我们已经知道正态分布的线性组合仍然是正态分布,所以 RW(t)服从正态分布,按照前面的推导,其风险值(在此仅计算相对 VaR 值)VaRw=-W0RwLA(7)剩下的关键问题就是求投资组合的标准差Rw了,首先构造加权矩阵 x=x1x2,xn 以及其转秩矩阵 xT=x1x2,xnT,标准差矩阵U=R10,00R2,0,00,Rn
16、和相关性矩阵F=1Q1,2,Q1,nQ2,11,Q2,n,Qn,1Qn,2,1,然后由相关系数定义及方差求解的性质,可知资产组合的标准差Rw同每种资产的标准差 R之间的关系为:Rw2=xR FR xT,代入(7)得:VaRW=-W0(xRFR xT)1/2LA5 计算实例为了证实对数正态分布假设下得到的 VaR值是否比更接近实际值,本文选取了 8 只开放式基金作为样本,假设这些基金仅投资于某一资产,样本数据为 2006 年 7 月 6 日至 2007 年 07 月 09日的 41 个交易日数据(数据来源:http:/my- 30 个作为计算 VaR 的样本数据,后 11 个作为对计算结果进行回
17、测的验证数据。根据前面对数正态分布假设下的 VaR 计算方法,我们可对 8 只基金的数据在 95%和 99%置信度下进行计算,这里:L1=0.0246,L2=0.01,L3=0.0146,L4=0.01324L5=0.014,L6=0.01228,L7=0.0112,L8=0.0352R12=0.001659,R22=0.000127,R32=0.000462,R42=0.000199R52=0.000165,R62=0.000166,R72=0.000296,R82=0.003042。代入公式 VaR(相对)=-W0 e2L+R2(eR2-1)LA,分别取 L0.05=1.645,L0.01
18、=2.33,计算得其绝对值:VaR1(95%)=1.775 e2 0.0246+0.001659(e0.001659-1)1.645=3.033VaR1(99%)=1.775 e2 0.0246+0.001659(e0.001659-1)2.33=4.295,VaR8(95%)=3.246 e2 0.0352+0.003042(e0.003042-1)1.645=5.729VaR8(99%)=3.246 e2 0.0352+0.003042(e0.003042-1)2.33=8.115具体数值见表 1。表 1 对数正态分布下的 VaR值Table 1 The value of VaR unde
19、r logormal distribution基金名称Name of funds样本方差Variance of sampleVaR 值(95%)VaR value(95%)/%VaR 值(99%)VaR value(99%)/%华夏大盘精选0.0016593.0334.295嘉实服务增值行业0.0001272.0562.912易方达深 100ET F0.0004622.3953.392兴业趋势0.0001992.6413.741中信红利精选0.0001652.4283.439光大保德信红利股票0.0001661.8942.683华夏上证 50ET F0.0002961.9192.719华安上证
20、 180ET F0.0030425.7298.115#337#4 期 刘红波等:VaR 数学模型及其计算方法 接下来要对上面的 VaR 值进行验证,看其是否接近实际值。在此运用常见的巴塞尔规则(1996)对上一部分中得到的值进行回测分析。所选用的数据为后 11 个交易日样本数据。巴塞尔规则可用表 2简单概述。表 2 巴塞尔规则区域Table 2 The area of Basel rule区 域 The area例外个数 Number of exception绿 灯 Green light0 1黄 灯Yellow light2 3红 灯 Red light4 个以上 其中例外个数是指回测样本数
21、据值均高于之前计算的 VaR 值。对表 1 中的数据进行验证时发现,只出现了一个例外,即 95%置信度下,光大保德信红利股票一日的收益超过了其 VaR 值,这一例外个数刚好落在了巴塞尔规则的绿灯区域之内。这说明运用对数正态分布假设预测的 VaR值接近实际值。6 结论本文通过对 VaR 模型的分析,注意到计算VaR 值时首先涉及三个要素:一是市场有效性,即未来资产价值的分布特征;二是置信度的大小;三是目标区间的选择,即持有期的长短。VaR 模型的构建也有多种方法,不同研究领域可根据不同需求来构建相应的VaR。其次,通过对VaR 模型的计算方法改进之后,所得的理论值与实际值更加接近。总而言之,我们
22、可以看出 VaR 是一个数值,而且若要得到这个数值最重要的是对风险因素波动的测量。在金融投资市场的统计中,通常用方差来度量风险,对方差的不同计算方法将导致对VaR 的不同度量。例如,将正态分布假设修正为对数正态分布假设后,直接影响到计算结果的准确性和科学性。参考文献:1 张国勇,杨宝臣.VaR 计算方法综述 J.天津理工学院学报,2003,(4):74-76.2 程先双,边宽江.VaR 度量金融风险的几个问题 J.西北农林科技大学学报:自然科学版,2005,3(3):142-144.3 肖春来,宋 然.VaR 理论极其应用 J.数理统计与管理,2003(2):6-10.4 袁志发,周静芋主编.
23、多元统计分析 M.科学出版社,2002.5 郭晓亭,蒲勇健,杨秀苔.VaR 模型及其在证券投资管理中的应用 J.重庆大学学报,2006,(3):152-155.6 刘 凡,宋福铁.基于 VaR 方法对开放式基金风险评估的实证研究 J.华东理工大学学报,2006,(2):34-39.7 张国良.VaR 及其基本原理 J.沈阳航空工业学院学报,2001,9.8 Smons Katerna.T he U se of Value at Risk by InstitutionalInvestor J.New England Economic Review,2000,(6):21-31.9 BerkowitzJ,BrienJ.How accurate are the value-at-risk mod-els at commercial banks?J.Journal of Finance,2002,(6):1093-1112.#338#西 北 农 业 学 报 17 卷