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1、收稿日期:2001-01-20;修改稿收到日期:2001-07-17.作者简介:董石麟(1932-),男,教授,中国工程院院士.第19卷第3期2002年8月 计算力学学 报Chinese Journal of Computational MechanicsVol.19,No.3August 2002文章编号:1007-4708(2002)03-0365-04空间网格结构几何非线性有限元分析方法的研究董石麟1,张志宏1,李元齐2(1.浙江大学 土木系空间结构研究中心,浙江 杭州 310027;2.同济大学 土木系 上海 200092)摘要:在对T.L/U.L.法和C.Oran梁柱单元有限元法进行
2、系统研究比较的基础上,推导了结合以上两种理论的几何非线性有限元列式。C.Oran 梁柱单元在分析轴力为主的结构时具有非常高的效率,但在分析纯弯曲问题时却存在很大困难。本文采用 VC+6.0 编制了面向对象的非线性有限元程序,对其进行了考题验算分析,得出了有用的结论。关键词:几何非线性有限元;修正的拉格朗日描述;梁柱单元中图分类号:T U311文献标识码:A1引言空间网格结构的非线性有限元静力分析主要有两种方法,一是基于梁柱理论有限元法 1-4;二是基于 T L/UL 描述的 有限变 形理论 有限 元方法 5-8。方法一在分析轴力为主的结构时具有非常高的效率,但在分析纯弯曲问题时却存在很大困难。
3、本文推导了基于 U.L.描述的梁单元切线刚度矩阵,单元内力求解分别采用两种方法,使得本文方法可以高效求解以轴力为主的结构,而且在分析以弯矩为主的结构仍能保持内力的精确求解。最后,用 VC+6.0 编制了采用本文方法的空间结构非线性有限元程序。2基于 T.L/U.L.描述的几何 非线性梁单元2.1全量型变分原理材料类型为超弹性材料,同各文献一样采用全量型变分原理:?=0VSij(k)?ij0dV-0V0Fi?0ui0dV-0S0Ti?0ui0dS=0(1)式(1)是在 Lagrange 描述下的即以初始构形为参考构形,若采用于 Updated Lagrange 描述下则以上各量应基于 t 时刻构
4、形 5-7即:?=tVtSij(k)?t?ijdtV-tVtFi?tuitdV-tStTi?tuitdS=0(2)其中,为系统能量泛函;tSij(k)为基于 t 时刻构形的第二Piola-Kirchhoff 应力;t?ij为基于t 时刻构形的 Green 应变;tFi、tTi分别为 t 时刻单位体积中的体力及 t 时刻单位边界上的面力;tV、tS 分别代表 t时刻的体积和边界面。考察 t+?t 时刻的构形,由式(1)可以推导出T.L.描述的单元切/割线刚度矩阵有限元列式,由式(2)可推导出 U.L.描述下单元切线刚度矩阵,具体推导请参考文献 5-8。2.2 坐标变换和内力计算(1)坐标变换J.
5、Argyris 9提出的描述大转动的转换方法,该方法非常有效,本文采用了该方法。此外还有文献 1,3,4 节点定向矩阵的方法以及文献 6 中的坐标变换方法等。(2)内力计算内力的计算是影响计算结果正确性的主要因素,内力的求解将直接影响残差的大小,而残差大小决定了近似解逼近真解的程度。本文采用 C.Oran 梁柱理论计算内力,这一点与文献 5,6 不同,对于纯弯曲结构或以弯矩为主的结构,本文程序采用 T.L.法中的单元割线刚度矩阵来求解。用 Saafan 关于杆件挠曲对轴向变形的影响以及 Liveslay 和 Chandler 推导的稳定函数,C.Oran运用传统的梁柱理论得出梁单元在随动局部坐
6、标系下的杆端力与位移的关系 3,4,其中单元轴力的计算公式为N=EA(uL0-Cb2-Cb3)(3)式中,E、L0、A 分别为材料的弹性模量、单元初始长度、单元截面面积;N 为单元轴力(压为正);u、Cb2和Cb3分别为单元轴向缩短量、单元由弯曲变形引起的轴向变形。梁柱理论有限元列式的具体推导可参考文献 1,3,4。3C.Oran 梁柱理论有限元方法与 有限变形理论有限元方法的比较C.Oran 梁柱单元在计算轴力为零或以弯矩为主的结构或构件时非常困难,而在分析以轴力为主的结构时基于有限变形理论的有限元的效率不如 C.Oran 梁柱理论有限元,例如算例 2 要达到相同的精度,梁柱理论有限元只需要
7、最少的单元数为二,而有限变形理论的有限元则需要十个单元 5。下面从两个方面分析其原因。3.1理论假设与数值模型划分单元之后的结构即成为一个数值模型,几何非线性分析主要考虑大位移的影响,如果单元两节点的相对位移较大,用有限变形理论有限元,无论是 T.L.法还是 U.L.法,割线刚度矩阵还是切线刚度矩阵,位移的高阶项均已省略,故随着节点相对位移的增大,误差会增大。如果单元数目增加一倍。则左右节点相对位移的值要减少一半即?/2(如图 1),位移高阶项的影响衰减很快,相应的误差也会小很多,即弱化了结构刚体位移(大位移)的影响,这里的刚体位移指 32 节点?单元的刚体位移,即不引起变形的位移,而对 1-
8、2 节点,作为一个单元来讲?为引起变形的位移,故在每一增量步就更接近于其假设每一增量步仍为小变形小应变的假设,因此精度也越高。此外,U.L.法只能推导出单元切线刚度矩阵,如没有单元内力的精确求解,误差会越积越大,最终出现应力漂移。其二,基于有限变形理论的有限元如文献 6K.J.Bathe 梁元的坐标变换是针对直梁单元,如果梁的变形为曲线则该坐标变换是不精确的,同一结构若划分的单元越多,则梁的变形就越接近小变形,则该坐标变换引起的误差也将越小。其三,从数学的角度来讲,划分的单元越多,位移函数空间就越完备,因此数值模型就越接近实际结构。理论假设与数值模型不符是有限变形理论有限元较少的单元不能实现高
9、精度的原因。虽然如果单元较少可以通过每一增量步取得很小来逼近小变形小应变,对此作者也对算例 2 作过分析,精度提高的效果并不明显。3.2理论假设与实际结构梁柱理论来源于 T imoshenko 所提出的稳定函数理论。如果轴力为零,半解析 C.Oran 梁柱理论应用于悬臂梁的内力轴力计算误差很大,因此在计算悬臂梁的纯弯曲时导致其收敛非常困难。因此,梁柱理论的缺陷是理论上的,主要表现在:首先,C.Oran 梁柱单元计算内力的公式及由其得到的增量切线刚度矩阵,均是在平面压弯梁的解析解的基础上迭加而得到的,并不是空间梁真实的变形曲线,而空间梁真实变形曲线的推导在弹性力学中还没有得到完善解决。其次,C.
10、Oran 梁柱单元在计算轴力时(式(3),不能精确考虑弯矩引起的梁弦长的缩短,从而在纯弯曲悬臂梁中出现了轴力。可以通过迭代或数值积分来求梁变形后弧长长度,前提是必须首先得到梁的解析变形曲线。也可以对式(3)中轴力的计算另行推导,在求梁弧长时考虑四阶或更高阶项,具体推导可参考文献 10。再者,C.Oran 梁柱单元在推导刚度矩阵时忽略了剪切、扭转及弯剪、剪扭耦合应变能,该刚度矩阵是不完全的。文献 8 指出梁柱单元刚度矩阵只是有限变形理论有限元刚度矩阵在引入一些假定之后得到的显式,因此其适用范围要小一些。4算例分析算例 1悬臂梁图 3(a)为由图 1 悬臂梁纯弯曲采用本文方法20 个单元的分析数据
11、形成的曲线,该结果与文献 1 非常吻合,而梁柱理论有限元对该问题完全失效。图3(b)、(c)、(d)为梁柱理论有限元与Ansys5.5分析结果的对比,可以发现一个非常有趣的现象,即梁柱理论有限元当轴力很小时误差也很小。从以上分析可以看出,对该模型而言梁柱理论分析结果与 Ansys5.5 基本吻合,但收敛性随着偏心距的增大而越来越差,在纯弯情况下则非常困难。366计算力学学报第 19 卷算例 2威廉平面刚架威廉平面刚架是几何非线性分析中的经典算例,其基本尺寸如图4(a)所示。许多文献 1,5,10对此结构做过分析。采用本文方法(两单元)进行了分析。该结果与文献 1,5,10 的结果是完全吻合的。
12、而有限变形理论有限元如文献 5,8 则是采用 10个单元。5结论C.Oran 梁柱单元在求解纯弯曲问题时非常困难,而经典的 T.L./U.L.法在求解以轴力为主的结构时效率不如梁柱理论有限元高。反过来,求解以弯矩为主的结构时,虽然梁柱单元误差也可以很小,但是其计算效率将随轴力与弯矩比值的减小而降低,甚至不收敛。因此,在不了解结构杆件内力分布的情况下采用传统的梁柱单元进行分析,存在一定的问题,有待进一步的研究。参考文献(References):1李元齐.大跨度拱支网壳稳定性研究D.上海:同济大学,1998.(Li Yuanqi.Stability research on large-span a
13、rch-supported reticulated shell structures D.Shanghai:Tongji University,1998.(in Chinese)2 沈士钊,陈昕.网壳结构稳定性M.北京:科学出版社,1999.(Shen Shizhao,Chen Xin.T he StabilityofLattice Shells M .Beijing:Science Publishing,1999.(in Chinese)3Cenap Oran and ASCE M.T angent stiffness in planeframes,ASCEJ.JournaloftheStr
14、uctural367第 3 期董石麟,等:空间网格结构几何非线性有限元分析方法的研究Division,1973,6:973-985.4 Cenap Oran and ASCE M.Tangent stiffness in spaceframes J .A SCE.JournaloftheStructuralDivision,1973,6:987-1001.5 朱忠义.球面组合网壳结构的几何非线性分析 D.杭州:浙江大 学,1995.(Zhu Zhongyi.Analysis ofgeometrically non-linear stability of composite latticesph
15、erical shellD.Zhejiang University,1995.(inChinese)6 Bathe K J and Said Bolourchi.Large displacementanalysis of three-dimensional beam structuresJ.Int.J.f or Num.Meth.in Engin,1979,14:961-986.7董永涛,张耀春.板壳结构非线性屈曲分析的修正拉格 朗日法J.土木工程学报,1997,30(2):34-41.(Dong Yongtao,Zhang Yaochun.U L formu-lationfor nonlin
16、ear buckling analysis of plates and shells J.J.Civil Engineering,1997,30(2):34-41.(inChinese)8 陈政清,曾庆元,颜全胜.空间杆系结构大挠度问题内力 分析的 U L 列式法 J.土木工程学报,1992,25(5):34-44.(Chen Zhengqing,Zeng Qingyuan,YanQuansheng.A U L formulation for internal forceanalysisofspatialframestructureswithlargedisplacement J.J.Civi
17、l Engineering,1992,25(5):34-44.(in Chinese)9 Argyris J.An excursioninto largerotationsJ.Comp.M eth.App l.Mech.Eng,1982,32:85-155.10 Saafan S A.Nonlinear behaviour of structural planeframes J.Journal ofthe Structural Division,A SCE,1963,89(4):557-579.Research on geometrical nonlinar finite elementmet
18、hod of spatial reticulated structuresDong Shilin1,Zhang Zhihong1,Li Yuanqi2(1.Department of Civil Engineering,Zhejiang University,Zhejiang.Hangzhou310027,China;2.Department of Civil Engineering,T ongji University,Shanghai 200094,China)Abstract:Based on systemic study on the geometrical nonlinear fin
19、ite element theory(C.Oran beam-column theory and T.L.method/U.L.method)of spatial structures,A geometrical nonlinear finiteelement method and some discussion is presented in this paper,a new phenomnon that C.Oran beam-column element can not solve cantiliever only bearing monment is firstly put forward and discussed.Anonlinear finite element program has also been developed by adopting VC+6.0 language.Key words:geometrical nonlinear finite element method;updated Lagrange description;beam-columnelement368计算力学学报第 19 卷