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1、习 题 3.3 无穷小量与无穷大量的阶1. 确定a与，使下列各无穷小量或无穷大量等价于() a： (1) u(x) = , (x0，x)； (2) u(x) = (x0，x)； (3) u(x) = + (x0+，x+)； (4) u(x) = (x0+，x+)； (5) u(x) = - (x0，x+)； (6) u(x) = - x (x+)； (7) u(x) = - (x0+)； (8) u(x) = - (x0+)； (9) u(x) = ln cos x - arc(x0)； (10) u(x) = - (x0)。解（1）；。 （2）；。 （3）；。 （4）；。 （5）；。 （6）
2、。 （7）。 （8）。 （9）。 （10）。2. (1) 当x+时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进行排列，并说明理由。 (a1), , (0)， (k0)， x!； (2) 当x0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进行排列，并说明理由。(0)，, (a1)，, (k0)。解（1）当x+时，从低阶无穷大量到高阶无穷大量的排列为(k0)， (0)， (a1), x!, 。证明： 设，则，。由，与，即得到，同时也得到 。（2）当x0+时，从高阶无穷小量到低阶无穷小量的排列为, , (a1)， (0)， (k0)。证明：令，则当x0+时，有。参考（1）的排列即可得到（2）的排列
3、。3. 计算下列极限：；(-)；(- )； (a0)； (a0)；x ( ln (1+x) - ln x )； (a0)；n (- 1) (x0)；( - ) (x0)。解（1）。（2）。（3）(-)。（4）(- )。（5）。（6）。（7）x ( ln (1+x) - ln x )。（8）。（9）。（10）。（11）n (- 1)。（12）( - ) 。习 题 3.4 闭区间上的连续函数1. 证明：设函数在上连续，且 = A（有限数），则在有界。证 由 = A（有限数），可知，：，即。再由在闭区间上的连续性，可知在上有界，即：。令，则，成立。2. 证明：若函数在开区间上连续，且f(a+)和f(
4、b-)存在，则它可取到介于f(a+)和f(b-)之间的一切中间值。证 令，则在闭区间连续，不妨设，由闭区间上连续函数的中间值定理，可知在闭区间上可取到上的一切值，于是在开区间上可取到介于f(a+)和f(b-)之间的一切中间值。3. 证明：若闭区间上的单调有界函数能取到 f(a)和f(b)之间的一切值，则是上的连续函数。证 采用反证法。不妨设单调增加。若是的不连续点，则与都存在，且，于是取不到开区间中异于的值，与条件矛盾；若是的不连续点，则存在，且，于是取不到开区间中的值，也与条件矛盾；同样可以证明也不可能是的不连续点。4. 应用Bolzano-Weierstrass定理证明闭区间上连续函数的有
5、界性定理。证 采用反证法。设在闭区间上连续，但无界，则存在点列，满足，即。由Bolzano-Weierstrass定理，存在子列，且。因为在点连续，所以有，与产生矛盾。5. 应用闭区间套定理证明零点存在定理。证 设在闭区间上连续，且，不妨设，。如果，则定理得证。如果，则令，；如果，则令，。如果，则定理得证。如果，则令，；如果，则令，。这样的过程可以一直进行下去。如果存在某个，使得，则定理得证；如果不存在某个，使得，则得到一个闭区间套，满足，。由闭区间套定理，可知存在唯一属于所有闭区间的点，且。再由在点的连续性，可知与，从而得到，定理得证。6. 证明方程（）至少有一个正根。证 令，则在上连续。取
6、，则，由零点存在定理，在上至少有一个根。7证明方程（）有且仅有一个实根。证 令，则在上是严格单调增加的。由，易知在上有且仅有一个实根。8证明： （1）sin在（0,1）上不一致连续，但在(a,1)(a0)上一致连续； （2）sin在上不一致连续，但在0,A上一致连续； （3）在上一致连续； （4）ln x在上一致连续； (5) 在上一致连续。证（1）在上，令，但，所以sin在（0,1）上不一致连续。在 (a0)上，取，成立，所以sin在(a,1) (a0)上一致连续。（2）在上，令，则，但，所以sin在上不一致连续。在上，取，成立，所以sin在0,A上一致连续。（3） ，取，成立，所以在上一致
7、连续。（4） ，取，成立，所以ln x在上一致连续。（5） ，取，成立，所以在上一致连续。9证明：对椭圆内的任意一点P，存在椭圆过P的一条弦，使得P是该弦的中点。证 过点作弦，设弦与轴的夹角为，点将弦分成长度为和的两线段，则在连续，满足，于是必有，满足，也就是。10设函数在0,2上连续，且f(0) = f(2)，证明：存在，使得。证 令，则在上连续，于是必有，满足。令，则，使得。11若函数在有限开区间上一致连续，则在上有界。证 由在上一致连续，可知，存在且有限。令，则在闭区间连续，所以在有界，因此在上有界。12证明： （1）某区间上两个一致连续函数之和必定一致连续； （2）某区间上两个一致连续
8、函数之积不一定一致连续。证（1）设函数，在区间上一致连续，则，成立，于是，所以在区间上一致连续。（2）设，区间，则，在区间上一致连续，但在区间上不一致连续。13. 设函数在上连续，且，证明在上恒正或恒负。证 设在上不保持定号，则存在（不妨设），使与不同号，由闭区间上连续函数的中间值定理，必定存在，使得，这就产生矛盾，所以在上必定恒正或恒负。14设函数在上连续，证明在中必有，使得。证 根据闭区间上连续函数的中间值定理，闭区间上连续函数一定能取到最大值和最小值之间任何一个值。由于，所以在中必有，使得。15若函数在上连续，且 = A(有限数)，则在上一致连续。证 由，。由于 在连续，所以一致连续，也就是。于是。56