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1、数学模型华中科技大学管理学院第八章第八章离散模型离散模型8.1 层次分析模型层次分析模型8.2 循环比赛的名次循环比赛的名次8.3 社会经济系统的冲量过程社会经济系统的冲量过程y数学模型华中科技大学管理学院离散模型离散模型 离散模型离散模型：差分方程差分方程（第第7 7章章）、）、整数规划整数规划（第第4 4章章）、）、图论图论、对策对策论论、网络流网络流、分析社会经济系统的有力工具分析社会经济系统的有力工具 只用到代数只用到代数、集合及图论集合及图论（少许少许）的知识的知识数学模型华中科技大学管理学院8.1 层次分析模型层次分析模型背背景景 日常工作日常工作、生活中的决策问题生活中的决策问题
2、 涉及经济涉及经济、社会等方面的因素社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当大作比较判断时人的主观选择起相当大的作用的作用，各因素的重要性难以量化各因素的重要性难以量化 Saaty于于1970年代提出层次分析法年代提出层次分析法AHP(Analytic Hierarchy Process)AHP一种一种定性与定量相结合的定性与定量相结合的、系统化系统化、层次化层次化的分析方法的分析方法数学模型华中科技大学管理学院目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途一一.层次分析
3、法的基本步骤层次分析法的基本步骤例例.选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色个目的地中按照景色、费用费用、居住条件等因素选择居住条件等因素选择.数学模型华中科技大学管理学院“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归纳思维过程的归纳 将决策问题分为将决策问题分为3个层次个层次：目标层目标层O，准则层准则层C，方案层方案层P；每层有若干元素每层有若干元素，各层元素间的关系各层元素间的关系用相连的直线表示用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方及各方案对每一准则的权重案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合将上述两组权重进行综合，确
4、定各方案对目标的确定各方案对目标的权重权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤成以上步骤，给出决策问题的定量结果给出决策问题的定量结果。数学模型华中科技大学管理学院1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1,0,)(层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量元素之间两两对比元素之间两两对比，对比采用相对尺度对比采用相对尺度设要比较各准则设要比较各准则C1,C2,Cn对目标对目标O的重要性的重要性ijjiaCC:A成对比较阵成对比
5、较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1,Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地景色景色费用费用居住居住饮食饮食 旅途旅途景色景色费用费用居住居住饮食饮食旅途旅途数学模型华中科技大学管理学院nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA21222121211171242/11A成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况):(2/12112CCa):(43113CCa):(83223CCa 一致比较一致比较不一致不一致允许不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况nwwwW,)1(21jiijwwa/令权向量),(21
6、Tnwwww成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量C1C2C3C1C2C3注意注意i、j的含义的含义第第1行行形成形成w1见见P226石头的石头的解释解释数学模型华中科技大学管理学院wAwnnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA212221212111成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况nkjiaaaikjkij,2,1,满足满足的的正互反阵正互反阵A称称一致阵一致阵，如如 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致对于不一致
7、(但在允许范围内但在允许范围内)的成对比较阵的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根建议用对应于最大特征根 的特征向量的特征向量作为权向量作为权向量w，即即一致阵一致阵性质性质成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量矩阵A中有一个r阶子式D0，所有含有D的r+1阶子式都等于0，则A的秩为r。Ax=x方阵特征值特征向量如何求？见P238-239数学模型华中科技大学管理学院2 4 6 8比较尺度比较尺度aijSaaty等人提出等人提出19尺度尺度aij取值取值1,3,9及其互反数及其互反数1,1/3,1/9尺度尺度1 3 5 7 9 ija相同相同稍强稍强强强明显强明显强绝对强绝对强的重要性jiCC:j
8、iCC:aij=1,1/3,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个 用用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较种比较尺度对若干实例构造成对比较阵阵，算出权向量算出权向量，与实际对比发现与实际对比发现，19尺度较优尺度较优。便于定性到定量的转化便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量数学模型华中科技大学管理学院一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知已知：n 阶一致阵的唯一非
9、零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n,且且=n时为一致阵时为一致阵1nnCI定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大越大，不一致越严重不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51n1 234567891110为衡量为衡量CI 的大小的大小，引入引入随机一致性指标随机一致性指标 RI随机模拟得到随机模拟得到aij,形成形成A，计算计算CI 即得即得RI。定义一致性比率定义一致性比率 CR=CI/RI当当CR0.1时时，通过一致性检验通过一致性检验Saaty的结果如下的结
10、果如下代表了代表了一致阵一致阵代表了我们要代表了我们要考察的矩阵考察的矩阵A为什么为什么n-1?因为因为：1）除去除去 后后，还还n-1个特征值个特征值；2）A有有n个特征个特征值值为什么取为什么取0.1？*数学模型华中科技大学管理学院“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根=5.073权向量权向量(特征向量特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T01
11、8.0155073.5CI一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12(查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0163)个顶点的双向连通竞赛图个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数存在正整数r，使邻接矩阵使邻接矩阵A 满足满足Ar0，A称称素阵素阵seAkkklim 素阵素阵A的最大特征根为正单根的最大特征根为正单根，对应正特征向量对应正特征向量s，且且eAAsskkk)1()(0001100011000110A排名为排名为1，2，4，3sskkk)(,)(归一化后Ts)230.0,167.0,280.0,323.0(,4.1用用s排名排名1234(4)
12、1,2,3,4?如何归一化如何归一化？常数常数，可以不考虑可以不考虑归一化后归一化后，就消掉了就消掉了*数学模型华中科技大学管理学院000100100100110000001010111000111010ATTTTssss)16,25,21,32,28,38(,)9,12,7,16,10,15()3,4,3,9,5,8(,)1,2,2,3,3,4()4()3()2()1(1234566支球队比赛结果支球队比赛结果Ts)104.0,150.0,113.0,231.0,164.0,238.0(,232.2排名次序为排名次序为1，3，2，5，4，6数学模型华中科技大学管理学院v1能源利用量能源利用量
13、；v2能源价格能源价格；v3能源生产率能源生产率；v4环境质量环境质量；v5工业产值工业产值；v6就业机会就业机会；v7人口总数人口总数。8.3 社会经济系统的冲量过程社会经济系统的冲量过程系统的元素系统的元素图的顶点图的顶点元素间的影响元素间的影响带方向的弧带方向的弧影响的正反面影响的正反面弧旁的弧旁的+、号号带符号的有向图带符号的有向图影响影响直接影响直接影响符号符号客观规律客观规律；方针政策方针政策例例能源利用系统的预测能源利用系统的预测+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5数学模型华中科技大学管理学院Evvvvvvajijijiij若，为若为若，0,1100000011000000
14、01000011000000001001000000010001110A带符号有向图带符号有向图G1=(V,E)的邻接矩阵的邻接矩阵AV顶点集顶点集 E弧集弧集定性模型定性模型-vivj+某时段某时段vi增加导致增加导致下时段下时段vj增加增加减少减少带符号的有向图带符号的有向图G1+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5数学模型华中科技大学管理学院0000005.1100000005.100002.13.000000000100200000007.00002.18.05.00W加权有向图加权有向图G2及其邻接矩阵及其邻接矩阵W定量模型定量模型某时段某时段vi增加增加1单位导致单位导致下时段
15、下时段vj增加增加wij单位单位jwivvij的特例视为 WAv70.311.511.51.20.8-2-2-0.7-0.5v1v2v3v4v5v6加权有向图加权有向图G2v1能源利用量能源利用量；v2能源价格能源价格；v3能源生产率能源生产率；v4环境质量环境质量；v5工业产值工业产值；v6就业机会就业机会；v7人口总数人口总数。数学模型华中科技大学管理学院,2,1,0,2,1),1()()1(tnitptvtviiininiiijjiijjtpatptpwtp11)()1(),()1(或)1()()1(tptvtv冲量过程冲量过程（Pulse Process)研究由某元素研究由某元素vi变
16、化引起的系统的演变过程变化引起的系统的演变过程vi(t)vi在时段在时段t 的的值值；pi(t)vi在时段在时段t 的的改变量改变量(冲量冲量)(,),(),()(),(,),(),()(2121tptptptptvtvtvtvnnjwivvij冲量过程模型冲量过程模型Wtptp)()1(Atptp)()1(或或i是所有指向是所有指向 j 的顶点的顶点第第j列是所有指向列是所有指向j的权重的权重*数学模型华中科技大学管理学院231-10010-12-21-110-11-11-10103-32-211-1能源利用系统的预测能源利用系统的预测简单冲量过程简单冲量过程初始冲量初始冲量p(0)中中某个
17、分量为某个分量为1，其余为其余为0的冲量过程的冲量过程若开始时能源利用量有突然增加若开始时能源利用量有突然增加，预测系统的演变预测系统的演变)0()0(pv)1()()1(tptvtvAtptp)()1(设设能源利用系统的能源利用系统的 p(t)和和v(t)-110-11-100011-10000t4p3p5p6p7p2p4v3v2v1v5v6v7v01000000100000001p)0()0(pv因为数学模型华中科技大学管理学院简单冲量过程简单冲量过程S的稳定性的稳定性 任意时段任意时段S的各元素的值和冲量是否为有限的各元素的值和冲量是否为有限(稳定稳定)S不稳定时如何改变可以控制的关系使
18、之变为稳定不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定S冲量稳定冲量稳定对任意对任意 i,t,|pi(t)|有界有界S值稳定值稳定对任意对任意 i,t,|vi(t)|有界有界值稳定值稳定冲量稳定冲量稳定)1()()1(tptvtvWtptp)()1(tWptp)0()(S的稳定性取决于的稳定性取决于W的特征根的特征根记记W的非零特征根为的非零特征根为 v(t)p(t)*数学模型华中科技大学管理学院S冲量稳定冲量稳定|1 S冲量稳定冲量稳定|1且均为单根且均为单根S值稳定值稳定 S冲量稳定冲量稳定且且 不等于不等于100000011000000010000110000000010010000000
19、10001110A对于能源利用系统的邻接矩阵对于能源利用系统的邻接矩阵A)1()(2352f特征多项式特征多项式76)2(,2)1(ff)2,1(能源利用系统存在能源利用系统存在冲量不稳定冲量不稳定的的简单冲量过程简单冲量过程简单冲量过程简单冲量过程S的稳定性的稳定性反过来不一定成立反过来不一定成立，即必要条件即必要条件充分条件充分条件根据第根据第2条条，说明说明 小于小于1|E-A|=0使|E-A|=0第1条第2条第3条不满足第不满足第2条条数学模型华中科技大学管理学院简单冲量过程的稳定性简单冲量过程的稳定性改进的玫瑰形图改进的玫瑰形图S*带符号的有向带符号的有向图双向连通图双向连通，且存在
20、一个位于所有且存在一个位于所有回路上的中心顶点回路上的中心顶点。回路长度回路长度 构成回路的边数构成回路的边数回路符号回路符号 构成回路的各有向边符号构成回路的各有向边符号+1或或-1之乘积之乘积ak长度为长度为k的回路符号和的回路符号和r 使使ak不等于不等于0的的最大整数最大整数 S*冲量稳定冲量稳定)1,2,1(rkaaar-krk,1ra 若若S*冲量稳定冲量稳定，则则S*值稳定值稳定 1r1kka+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5对于所有的k=1,2,，都有ak=0(即r=0)，则S是冲量稳定、值稳定的。即没有闭路回环即没有闭路回环但我们讨论但我们讨论r0的情况的情况：所有闭
21、路的符号和的和所有闭路的符号和的和定理4：定理5：数学模型华中科技大学管理学院简单冲量过程简单冲量过程S*的稳定性的稳定性a1=0,a2=(-1)v1v2 (-1)v2v1=1a3=(+1)v1v3v5v1+(-1)v1v4v7v1+(+1)v1v3v2v1=1,a4=0,a5=1,r=5 S*冲量稳定冲量稳定)1,2,1(rkaaar-krk,1ra352aaa(-1)v1v2(+1)v1v2(由鼓励利用变为限制利用由鼓励利用变为限制利用)a2=-1+S*冲量不稳定冲量不稳定)1()(2352fA的的特征多项式特征多项式且为单根12/)31(,1,0,0iiS*冲量稳定冲量稳定 S*冲量稳定
22、冲量稳定|1且均为单根且均为单根v1利用量利用量,v2价格价格v7+-+-+-+v2v1v3v4v6v5何意何意？有有1条长度为条长度为2的闭路的闭路有有3条长度为条长度为3的闭路的闭路因为对于因为对于k5，ak=0没有长度没有长度为为4的闭的闭路路有重根有重根？数学模型华中科技大学管理学院 若S*冲量稳定冲量稳定，则则S*值稳定值稳定 1r1kka1,0,1,1,0,54321aaaaa S*冲量稳定冲量稳定)1,2,1(rkaaar-krk,1rav3能源生产率能源生产率v5工业产值工业产值1,1,5353aaaa(-1)v3v5 违反客观规律违反客观规律S*值不稳定值不稳定S*值值稳定稳
23、定(+1)v3v5(-1)v3v5能源利用系统的值不应稳定能源利用系统的值不应稳定？-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5+长度为长度为3的闭路和长度为的闭路和长度为5的闭路的闭路，的公共边的公共边数学模型华中科技大学管理学院闭卷考试的题型及结构 简答题（30分）：7题 运算题（15分）：2题 分析题（45分）：3题（含6小题）建模题（10分）：1题数学模型华中科技大学管理学院00)0(,)0(yyxxbxycxyx混合战争模型混合战争模型02002cxbxy乙方胜0n给出 x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)，计算乙方胜利的可能性大小。简答题举例：什么叫比例加惯例法？运算题举例：分析题举例：生猪销售时机的健壮性分析。建模题举例：冰山运输问题。举例