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1、第 23 卷 第 13 期 岩石力学与工程学报 23(13)：22432247 2004 年7 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering July，2004 2003 年 2 月 24 日收到初稿，2003 年 4 月 13 日收到修改稿。作者 谭忠盛 简介：男，1963 年生，博士，1999 年毕业于西南交通大学，现任副教授，主要从事隧道及地下工程方面的研究工作。隧道衬砌结构可靠度分析的二次二阶矩法 谭忠盛 王梦恕(北京交通大学隧道及地下工程试验研究中心 北京 100044)摘要 隧道衬砌多为曲墙式，且所受荷载复杂，不易用解析的方
2、法求得衬砌各个截面的荷载效应，一般情况下都要用数值法求解。在隧道衬砌结构可靠度分析中，常用较为简单的一次二阶矩法，并结合随机有限元法进行分析，但精度较低。虽然有很多高精度的结构可靠度分析方法，但大多太复杂或计算时间长，不适用于隧道结构的可靠度计算。经过对算法的比较分析，提出一种简单、实用的二次二阶矩法，与随机有限元法相结合，进行隧道衬砌结构的可靠度分析，并给出了具体步骤和算例，结果表明该法具有较高的精度。关键词 隧道工程，隧道衬砌，可靠度，二次二阶矩法 分类号 TD 824.2，U 455 文献标识码 A 文章编号 1000-6915(2004)13-2243-05 SECOND-ORDER
3、SECOND-MOMENT METHOD FOR STRUCTURAL RELIABILITY ANALYSIS OF TUNNEL LINING Tan Zhongsheng，Wang Mengshu(Research Centre of Tunnelling and Underground Works，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044 China)Abstract Tunnel lining commonly is curve wall，and the load is complex，so load effect at each sect
4、ion of tunnel lining is not easily obtained.In general，numeric method is adopted to calculate the load effect.In reliability analysis for tunnel lining structure，the simple first-order second-moment method combined with stochastic finite element method is usually employed，but its precision is low.Al
5、though there are many methods of higher precision for reliability analysis，most of these methods are complicated or their calculation time is too long.They are not suitable for reliability analysis of tunnel lining structure.Hereby，it is suggested that second-order second-moment method combined with
6、 stochastic finite element method should be employed instead，and detailed formula and examples are given.Result shows that this method is of higher precision.Key words tunneling engineering，tunnel lining，reliability，second order moment 1 前 言 二次二阶矩法由于同时取了功能函数级数展开式的一次项和二次项，因而具有比一次二阶矩法更高的精度，而且该法与其它高精度的
7、结构可靠度分析方法(如一次三阶矩法1，二次四阶矩法，数值模拟法等)相比较为简单，因此，本文将二次二阶矩法 引入隧道衬砌结构的可靠度分析中。近年来，许多学者对二次二阶矩法进行了研究26，提出了很多相关的算法，这些算法精度都较高，但计算比较繁琐，实用性差。经过分析比较，本文采用赵国藩教授提出的渐近分析法7与随机有限元法相结合，对隧道衬砌结构进行较高精度的二次可靠度计算。该法是一种精度高、实用性好的二次二阶矩法，适用于隧道及地下结构可靠度分析。2244 岩石力学与工程学报 2004年 2 隧道衬砌荷载效应的统计特征 2.1 计算模型 按“荷载-结构”模式分析衬砌荷载效应的计算模型如图 1 所示。衬砌
8、顶部作用竖向围岩松弛荷载，两侧作用水平荷载。由弹簧来模拟衬砌和围岩之间的相互作用。图 1 衬砌结构计算简图 Fig.1 Calculation model 2.2 节点位移的统计参数8 基于上述计算模型，建立有限元控制方程为 Pu=K (1)式中：K为结构总刚度矩阵，u 为节点位移列阵，P 为节点荷载列阵。由式(1)解出节点位移后，即可求出单元内力列阵eF：eeeuFTK=(2)式中：eK为单元刚度矩阵，T为坐标转换矩阵；eu 为单元节点位移列阵。将节点位移向量 21nuuu，?=u在其均值点 21nxxx，?=x处展开为泰勒级数，保留二次项，两边取均值后可得位移向量的均值为)(COV21E1
9、12jininjjixxxx，xxuuu=+(3)式中：Eu表示对位移求均值，)(COVjixx，为ix 和ix 的协方差，u 为由基本随机变量均值x 代入式(1)直接求得的位移值。位移 u 的方差为)(COVVar11jijninjixxxx，xxxxuuu=(4)位移的任意两个分量iu 和ju 的协方差为)(COVCOV11jijjninjiijixxxuxuuu，xxxx=(5)从式(1)(4)可知，结构响应量位移统计参数的获得关键在于位移对基本随机变量的一阶偏导和二阶偏导的计算。由有限元控制方程式(1)可求得=uPuiiixKxKx1 (6)=jixxu2 uuuPjiijjijixx
10、KxxKxxKxxK221(7)2.3 单元内力的统计参数 与位移统计参数的求法相同，将单元内力在均值点处展开为泰勒级数，并保留二次项，得内力的均值、方差和协方差分别为)(COV21E11e2eejininjjixxxxx，=+xFFF (8)(COVVare11eejijninjixxxxxx，=xxFFF(9)(COVCOV11jijjninjiijixxxFxFFF，xxxx=(10)内力对基本随机变量的偏导可由式(2)对基本随机变量求偏导得到，即 iiixTKTxKx+=eeeeeuuF (11)+=jijijixTxKTxxKxxeeee2e2uuF jiijxxTKxTxK+e2e
11、eeuu (12)根据上述随机有限元方法，可求得衬砌各个截面的位移及内力的统计参数：均值、方差和协方差。同时，本文用蒙特卡罗有限单元法求出了隧道衬砌结构内力的概率分布类型，其轴力和弯矩均为对数正态分布。第 23卷 第 13期 谭忠盛等.隧道衬砌结构可靠度分析的二次二阶矩法 2245 2246 岩石力学与工程学报 2004年 图 2 二次二阶矩法程序流程图 Fig.2 Flow chart for second-order second-moment method 度为 12。衬砌的拱部和边墙均承受梯形分布荷载，计算时将衬砌划分为 24 个单元，25 个节点，结构尺寸和单元划分如图 3 所示。各
12、基本随机变量的统计特征如表 1 所示。并且设 q 与 k 的相关系数为0.8，与 k 的相关系数为0.7。为了进行对照，便于比较分析，该算例分别采 用基于随机有限元的二次二阶矩的渐近法和改进蒙 特卡罗有限元法进行计算，得到了衬砌各个节点截面处的可靠指标。本文限于篇幅，仅列出具有代表 性的部分衬砌截面可靠度的计算结果，如表 2 所 示。图 3 衬砌单元划分(单位：cm)Fig.3 Lining elements(unit:cm)表1 基本随机变量统计特征 Table 1 Probability property for basic random variable 随机变量 均值 变异系数 概率分
13、布 竖向荷载 q/MPa 0.149 0.10 对数正态 侧压力系数 0.23 0.25 正态 混凝土容重 /kgm2 2.3 0.05 正态 弹性抗力系数 k/MPam 150 0.25 正态 混凝弹模 E/GPa 2.4 0.085 正态 衬砌厚度 t/m 0.65 0.15 正态 混凝抗压极限 Ra/MPa 10.5 0.11 正态 混凝抗拉极限 Rl/MPa 1.3 0.12 正态 荷载效应计算模式不定性 kPS 1.0 0.15 正态 抗力计算模式不定性 kPR 1.0 0.15 正态 表2 各种算法计算的衬砌截面可靠指标 Table 2 Reliability index for
14、lining section with varied method 截面 基于随机有限 元的渐近法 改进蒙特卡罗 有限元法 失效状态 3 2.89 2.76 内缘拉 6 3.62 3.21 内缘压 8 2.88 2.76 外缘拉 10 3.70 3.57 内缘压 13 2.47 2.10 内缘拉 14 2.44 2.11 内缘拉 16 4.31 4.30 外缘压 17 4.21 4.72 内缘压 18 4.21 4.22 内缘压 23 2.67 2.60 内缘拉 开始 输入基本随机变量的统计特征 由随机有限元法计算衬砌节点 截面内力的统计参数 将基本随机向量标准正态化为 向量 y 并正交化为向
15、量 u 由 H-L 法计算衬砌第截面的可靠指标和设计验算点 x*，y*，u*由式(18)，(19)计算功能函数在验算点y*处的一、二阶偏导数 由式(17)到式(22)计算 J 值 由式(23)计算失效概率 Pf和相应的 二次可靠指标 i节点总数 Y 输出计算结果 结束 N 第 23卷 第 13期 谭忠盛等.隧道衬砌结构可靠度分析的二次二阶矩法 2247 表 2 中的改进蒙特卡罗有限元法的计算结果可作为相对精确值。计算结果表明：用二次二阶矩法的渐近法计算隧道衬砌截面可靠度具有较高精度，其值非常接近改进蒙特卡罗法的结果。本文首次将二次二阶矩法与随机有限元法相结合，用于隧道结构的可靠度分析中。二次二
16、阶矩的渐近法精度高，且简单实用，是隧道结构可靠度分析中较为理想的高精度计算方法。参 考 文 献 1 Tichy M.First-order three-moment reliability methodJ.Structural Safety，1994，16，189200 2 Tvedt L.Distribution of quadratic forms in normal space-application to structural reliabilityJ.Journal of Engineering Mechanics，ASCE，1990，116(6)：1 1831 197 3 Hohe
17、nbichle M，Rackwitz R.Improvement of second-order reliability estimates by importance samplingJ.Journal of Engineering Mechanics，ASCE，1994，120(1)：2 1952 203 4 der Kiureghian A.Second-order reliability approximationsJ.Journal of Engineering Mechanics，ASCE，1987，113(8)：1 2081 225 5 Cai G Q，Elishakoff I.
18、Refined second-order reliability analysisJ.Structural Safety，1994，14：267276 6 der Kiureghian A.Second-order reliability approximationsJ.Journal of Engineering Mechanics，ASCE，1987，113(8)：1 2081 225 7 赵国藩.工程结构可靠性理论与应用M.大连：大连理工大学出版社，1996 8 刘 宁，卓家寿.基于三维弹塑性随机有限元的可靠度计算J.水利学报，1996，9：5361 9 景诗庭，朱永全，宋玉香.隧道结构
19、可靠度M.北京：中国铁道出版社，2002 10 谭忠盛.隧道支护结构体系可靠度的理论研究及其工程应用博士学位论文D.成都：西南交通大学，1999 中国土木工程学会第十一届年会暨隧道及地下工程分会 第十三届年会通知 中国土木工程学会及其隧道分会决定于 2004 年 11 月 2729 日在北京联合召开学术年会。本次学术年会的主题将围绕交通工程、水利工程、能源储备、市政建设、防护工程等隧道及地下工程领域的新成就、新成果和新的经验及教训进行研讨。本次年会收录的论文将编辑成正式的论文集出版发行。希望业内科技工作者踊跃投稿。本次年会主题为：隧道及地下工程的新发展。年会的主要议题有：(1)城市轨道交通地下
20、工程的新问题、新成就；(2)铁路与公路工程隧道建设的经验、教训；(3)水利建设地下工程的新进展；(4)市政建设地下工程与地下空间开发的新思路；(5)能源储备与废弃物处置地下空间利用的新动态；(6)地下防护工程新技术；(7)设计与施工的典型工程实例；(8)与隧道及地下工程同步发展的新设备、新材料、新工艺、新理论；(9)隧道与地下工程的安全与风险管理研究；(10)国际隧道工程新动态。总会联系人：张 凌，焦明辉；总会联系电话：010-88082196，010-88083049。年会论文筹备组：北京交通大学土木建筑学院隧道中心，邮编：100044。联系人：谭忠盛，贺少辉，刘维宁；联系电话：010-51688127，010-51688129；传真：010-5162239；E-mail：。中国土木工程学会 中国土木工程学会隧道及地下工程分会