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1、核电站安全性分析与发展预测陈宗则 熊桄清 张泽荣 摘要本文意在解决核电站的发展预测问题。发展预测涉及到核电站的安全性考核以及核电站经济效益的研究。为此本文一共分为问题提出、问题分析、模型假设、模型建立与求解、模型评价、参考文献以及附录七大部分。其中包含三个模型的研究，核泄漏放射性物质扩散模型模型I，核电站边际效益评估模型模型II以及核电站发展预测模型模型III。模型I是为了模拟核泄漏的扩散范围与路径，运用了烟雾扩散模型，结论是扩散面积约为173.57平方公里。模型II是研究核电站的最大经济效益与技术进步的关系，模型为边际效益模型。先建立经济收益Y的函数，在通过求导得出边际效益函数。边际效益为0
2、时总经济收益最大化，一次可得出经济层面上，为使总经济收益最大化的合理核电站数目与技术进步的配对组合解集。模型III在模型I、模型II的基础上从总经济收益函数出发，推导出综合考虑安全因素与经济收益的发展预测模型。由此得出使中国现有7座核电站承担起未来20年发生核泄露风险所要求的技术进步的临界值。如若现实的技术进步大于临界值，则可以扩大建设核电站；反之则不宜扩建，但是核发电技术依然值得发展。三个模型综合研究了核电站的安全性、效益型以及发展趋势。同时在将情景极可能简化的前提下，得出相对可信的预测结果。具有较强的参考价值。关键词：烟雾扩散模型 边际效益分析模型 量化分析 控制变量法一、问题的提出 20
3、11年3月11日，日本遭受了9级大地震并引发了强烈的海啸。这次大地震及其引发的海啸不仅给日本以重创，而且由此造成的福岛核电站的核泄漏更是引起了全世界对核电站及其安全的重新思考。请从互联网或报刊上搜集有关数据，根据这些数据建立评估核电站安全的数学模型。考虑：（1） 随着人们生活水平的提高，用电量大幅增加，假设不建设核电站，用电量和发电量之间的差距有多大？建设一个某种规格的核电站能提供多少电力？建设核电站的经济成本和效益如何？目前国内有几个核电站、在建或准备建设的有几个？也就是要求建立建设核电站必要性的数学模型并分析；（2） 以秦山或大亚湾核电站为例（选一个），如果这些地方出现了严重的自然灾害造成
4、了核泄漏（需要你自己作出合理假设），那么，在一定气象条件（一定风向、风力、下雨等）的情况下建立核扩散的数学模型，并讨论对周围多大范围的居民进行疏散以及其他的应对措施和可能的后果；综合前两问给出核电站的发展前景预测。二、问题的分析 自然灾害造成核电站的核泄漏问题具有不可预测性与严重性。不可预测性指的是自然灾害发生的不可预测；严重性指的是核泄漏带来的居民生命财产损失的危害严重。不可预测性与严重性使对于核电站安全的评估问题转化为对从事发之后补救措施实施过程的有效性和成本的评估问题。而对于事后补救措施研究的首要问题就是对于核泄漏影响区域的模拟。为此我们建立了核泄露放射性物质泄露模型模型I。模型I采用了
5、烟雾扩散模型，通过量化固定风向风力和降雨等因素，定量分析了发射性物质可能的扩散范围。基于此，我们定性将讨论在污染范围内所需采取的补救措施的可行性，已经经济成本。从而对核电站安全性进行评估。对于核电站的发展预测问题，我们分为三大步：第一步是利用扩散模型模拟出核泄漏可能污染的区域，从而计算损失成本；第二步是建立边际效益模型，并且利用分离变量法，研究技术进步对于效益的影响，从而得出效益关于技术进步的函数，由此我们建立了核电站边际效益模型模型II；第三步基于扩散模型得出污染范围以及边际效益模型得出效益技术进步函数，我们建立了发展预测模型模型III，讨论在不同技术进步的假设下，核电站的发展趋势。三、模型
6、假设一、核泄露放射性物质泄露模型模型I1、核泄漏看作在地面某一点向四周等强度低随时释放放射性物质，放射性物质在无穷空间扩赛，不计地形影响。2、放射性物质扩散服从扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与它的浓度梯度成正比。3、放射性物质在穿过降雨时，其强度由于雨水的吸收而减少，减少比率为常数。4、风的影响只考虑放射原点的某一风向、某一风速的影响。风的影响范围，随着时间而减小。二、核电站边际效益评估模型模型II1、排除通货膨胀影响因素，以及假设现金回报率为0。2、以大亚湾核电站为标准核电站3、由于大亚湾核电站截止2009年7月31日，大亚湾核电站1号机组实现安 全运行2539天，创造了国内核电
7、站单机组安全运行最高纪录。所以假定安全运行是核电站的常规状态，既不考虑发生事故。4、假设目前只有火电站（化石燃料为能源的发电站）和核电站（新兴绿色能源核电站）5、假设投入到研究核电技术的资金等于技术进步带来的经济收益三、核电站发展预测模型模型III1、满足模型I、II假设2、核电站发生事故的概率与全世界核电站的发生泄露概率频率相等四、模型的建立与求解核泄露放射性物质泄露模型模型I一、模型设计放射性扩散的范围和强度主要受到放射源的自然扩散、风以及降雨的影响。自然扩散符合烟雾扩散模型，在给定放射源浓度等数据时，可以求出静态扩散范围。风力具有加大扩散面积的作用，而降雨具有吸收稀释放射性元素的作用。二
8、、变量解释k:扩散系数Q：放射性物质泄漏总量C：某一点的放射性物质浓度t:扩散的时间r：降雨对于放射性物质的吸收比率ws：风速wa：风向wd：风力影响范围每天减小量三、模型建立与求解1、建立空间坐标轴将核泄漏时设为t0=0，以核电站为坐标原点，建立以正东为x正方向，正北为y正方向，建立三维直角坐标系。2、推导放射源自然辐射范围半径：时刻t无穷空间中任意一点（x,y,z）的放射性物质浓度记为C。根据假设2，单位时间通过单位法相面的流量为： q=-kgradC（1）k是扩散系数，grad表示梯度，负号表示有浓度高香浓度低的地方扩散。考察空间域，的体积为V，包围的曲面为S，S的外法线向量为n,则在t
9、,t+t内通过的流量为： Q1=tt+tSqnddt（2）而内放射性物质的增量为： Q2=vC（t）-C(t+t)dV（3）有质量守恒定律： Q1= Q2（4）根据曲面面积分的奥氏公式： Sqnd=vdiv q dV（5）其中div是散度记号。有（1）（5）不难得到： =kdiv(gradC)=k(2C/x2+2C/y2+2C/z2)，t0,- x,y,z或t时，C0通过将x2+y2+z2=R2代入方程（8）可以解除R：R2=(-4)ktln(C/Q) (4kt)3/2（9）R为在给定扩散系数k，影响时间t，放射性物质浓度C，以及放射源总泄漏量Q的情况下的受自然扩散影响范围的半径，即在不考虑风
10、力、降雨情况下的影响范围。通过matlab，可以实现该模型的图像生成，如图一。在此假定：k=0.00001(扩散系数)Q=1000000（放射源总量）C=100（放射性物质浓度）t=1000000(秒)（扩散时间）（程序见附录一，此次输入参数为：expand(0.00001,1000000,100,1000000,0.5,0,0,0)）计算机生成图像为：图一球面半径R=7.12公里，即距离放射源7.12公里内均有受到污染3、考虑风力与降雨因素的影响:降雨因素：假设降雨对于放射性物质的吸收率为r,则方程（9）变为：R2=(-4)ktln(C/(1-r)Q) (4kt)3/2（10）风力因素：只考
11、虑产生在辐射原点某一角度wa，某一强度ws的风力影响。风力的影响范围从R开始每天减少wd，并且对于影响范围内每一点的作用相同。具体计算机模拟实现见附录一。综上两个因素，在matlab上生成考虑了风速和降雨因素的影响范围图像（程序见附录一，输入参数为：expand(0.00001,1000000,100,1000000,0.5,0.04,0.785,0.3)）变量假设：k=0.00001(扩散系数)，参考了其他元素粒子的扩散系数均为此数量级Q=1000000毫西弗（放射源总量），发生七级核泄漏时的放射性物质泄漏量C=100毫西弗（放射性物质浓度），会对人体产生危害的浓度t=1000000(秒)（
12、扩散时间）r=0.5(假设雨水对于放射性物质的吸收率为50%)ws=0.04(公里每小时)（假设作用在放射源的风速为40米/小时）wa=0.785（假设风向与x0y面平行，且与x轴成正45度角）wd=0.3（假设风力影响范围从R开始，每天减弱300米）计算机生成图像为：图二注：图形最大半径球的半径R=7.12公里，最小半径球的半径R0=3.52公里，图形中分线长度为：7.12+11.11（球心位移）+3.52=21.75（公里）。即放射性物质最远可达沿风向距离放射源21.75公里处。图形面积为：(14.24+7.04)*7/2+pi*7.122/2+*3.522/2=173.57（平方公里）四
13、、模型结果分析模型的分析结果说明在给定的条件下，扩散的最远距离为21.75公里。由于现实中风向的不确定性，出于安全考虑，在核泄漏的中心周边21.75公里范围的居民都应该撤离。从模型可以看出，主要影响范围的因素主要有核泄漏的总量，以及核泄漏在扩散过程中的稀释。因此控制核泄漏主要有两点可以考虑。一个是核泄漏源，一个是风力对于核泄漏影响过程。从核泄漏源考虑，可以通过注水，封堆等控制方法减少核泄漏的量。比如建立一个检测系统，一旦发生核泄漏，可以自动注水或者封堆，以减少核物质的泄露总量。从核泄漏扩散过程考虑，可以通过人工降水来吸收泄露出的核物质，或者在核电站的选址时考虑地形因素，尽量选择背风点选址。核电
14、站边际效益评估模型II：一、模型设计本模型拟用核电站的边际经济效用来衡量核电站的存在必要性。假设核电站的总经济效用主要受以下因素影响：1、建设核电站的投资的产出与成本2、用于技术研发的资金3、发电量供需缺口4、环保优势二、变量解释Y：所有核电站总经济效益产出D：全国对于用供电经济效用总需求缺口 N：现有核电站总数目I：建设一座核电站所需投资的金额（元）Qn：一座核电站年发电量（千瓦时）Qc：全国每年的用电量（千瓦时）Pe：电价(元/每千瓦时）R：真实GDP增长率r:环境治理投资占GDP的比重Ep:环保系数Cn:核电站碳排放量Cf:火电站太排放量Td：投资于单个核电站促进技术进步的资金所带来的经
15、济效益t:研究的时间范围k：中国用于研究开发领域经费占国内生产总值的比重三、模型建立本模型通过研究边际分析，研究核电站最优数量，如果最有数量等于或大于目前我国已有核电站数目+在建核电站数目+计划建设核电站数目，那么我们认为核电在有继续建设的需求；反之，则没有必要性。模型为：一、本模型认为所有核电站的总经济效益分三部分影响因素：1、核电站在研究时间范围内通过发电产生的经济收益，即： (QnNPe t (1-r) -Ep（1.1）其中QnN为所有核电站总发电量，Pe为电价，t为有效时间；因为考虑到核电站为绿色能源，解约了治理环境的成本，所以出去了治理环境的成本。在这里假设核电站用于治理环境的资金占
16、总产出的比例与中国投入环境治理的费用占GDP的比重相同，即r。与此同时，引入判断核电站是否为绿色电站的指标环保系数Ep，如果Cn(Cn+Cf)0.5,则Ep=0，反之为1。2、建设时投入的建设成本，即：IN（1.2）其中I为投资成本，N为核电站的数量3、由于技术进步带来的经济效益，即：TdN（1.3）其中Td为一座核电站由于技术进步产生的经济收益综合（1.1）、（1.2）、（1.3），得出所有核电站的总经济效益函数Y：Y= (QnPe(1+r) EptNIN+TdN（1）二、本模型技术进步主要受国内对于发展该技术的投资的影响：1、假设国内对于发展核电站的需求是国内总发电量与所有核电站发电量得差
17、值的货币表示，即：C=( Qc- QnN) Pe (1+R)t（2.1）其中，Qc- QnN为国内总发电量与所有核电站发电量得差值，Pe为电价，目的在于将该差值用货币表示；与此同时，考虑到对于技术进步的需求会随着经济增长而增加，所以在此假设对于技术进步的需求每年以真实GDP增长率增长，即：(1+R)t。2、对于技术进步的投资为对于技术进步的需求的函数，即：kC（2.2）在此假定对于核电站技术进步的投资额占需求额的比重与我国投资于研究开发领域资金占GDP的比重相等，即为k。3、技术进步带来的单位核电站经济产出等于技术进步的投资，即：Td=kC（2）在此假设技术是可以无成本复刻的，所以一旦技术进步
18、了，所有的核电站的经济效益都同时提升相同量，且等于投资额。三、将所有核电站的总经济效益Y变形:将（2.1）、（2）代入（1）中，得：Y= (QnPe(1-r)-1EptI+ k QcPe (1+R)t)N- kQn Pe (1+R)tN2（3.1）令:a=(QnPe(1-r)-1EptI+ k QcPe (1+R)t);b= kQn Pe (1+R)t则（3.1）变为：Y=aN-bN2（3.2）对Y关于N求导，得出所有新建核电站边际经济效益产出：= a-2bN（3.3）有边际效益理论知，当边际效益为0时，总效益达到最大化。令核电站的边际经济效益产出为0，即=0,得最大核电站数量N*为：N*=（
19、3）其中a=QnPe(1-r)-1EptI+ k QcPe (1+R)t;b= kQn Pe (1+R)t那么出于（3）上的每一点都是可以使总效益最大化的，或者说是边际效益为0的点。我们认为这就是最合理的核电站数目。通过计算机实现模型II在这里，我们打算用控制变量法，隔离出技术进步因素K对于合理核电站数目的影响。以k为自变量，研究合理核电厂数N：Qn=150000000000（千瓦时）单座核电厂年发电量（数据来自中国核能协会网关于大亚湾核电站年上网电量统计）Pe=全国电价并不唯一，但大多分布在0.20.8之间，故在此假设为0.6元/千瓦时r=1.49% 为国家环境治理投资占GDP的比重（数据来
20、自中国环境保护部官网，2008年环境统计年报）Ep=1，由之前的定义知，由于Cn(Cn+Cf)=00.5（数据来自中广核集团官网）I=2646800000000（元人民币），单座核电厂总投资额。折合美元40.72亿美元（数据来源中广核集团官网）Qc=47000000000000（千瓦时）全国年用电量（数据来自中国电力联合会官网中国电力联合会）t=为考察年限，在此定20年。R=为真实GDP增长率。真实GDP增长率每年略有不同，在此设为8%。其函数图象为：（具体程序见附录二，测试数据为：nuclear(150000000000,0.6,0.0149,1,2646800000000,47000000
21、000000,20，0.08）)图四注：1（1）平行于K轴的是N=0,直线一；（2）平行于N轴的是K=0.62（%），直线二；（3）曲线为：N*= ，其中R为自变量。设为曲线1.其中：a=QnPe(1-r)-1EptI+ k QcPe (1+R)t;b= kQn Pe (1+R)t结果分析（2）如图四，在给定时间和其他因素的基础上，单一研究技术进步K对于核电站数量的影响，可见核电站数量呈现增长趋势，但是边际增长递减。当技术进步率在0.62%水平左右时，核电站的合理数目为0，也就是说在此点之前的点建设核电站出于亏损状态；此点之后建设核电站可以盈利。在技术进步水平出于0.62%至10%之间时，随着
22、技术进步水平的增加，合理核电站数目不断上升。当技术进步突破10%点时，核发电技术足够成熟，核电站数目达到饱和为156座左右。核电站发展预测模型模型III一、模型设计从模型I我们得出了核泄漏的扩散路径和范围，即173.57平方公里；从边际效益模型我们得出N=N（k）是单调递增函数，进而得到核电站最大经济收益为技术进步的单调增函数（即在边际收益为0的前提下）。在此，我们的模型III从边际效益模型开始推导出综合考虑经济效益和安全性的发展预测模型。二、变量解释Y：所有核电站总经济效益产出N=7座（我国已建成），在建9座，计划建设2座I=2646800000000（元）Qn=1500000000000（
23、千瓦时）Qc=47000000000000（千瓦时）Pe=0.6元每千瓦时电价，电价R=8%，真实GDP增长率r=1.49%，环境治理投资占GDP的比重Ep=1，环保系数t=20年，研究的时间范围k：中国用于研究开发领域经费占国内生产总值的比重P0：一座核电站一年内核泄漏发生概率P：在研究时间范围内发生核泄漏的概率C：核泄漏带来单位面积的经济损失A：搬迁费用B：污染地区在未被污染前每年的GDPS=173.57平方公里，污染面积detal:核电站产生的总经济收益与核泄漏带来的期望损失的差值三、模型建立与求解模型为：模型II的（3.1）式，将t=20等参数代入，得到最大总经济收益Y关于技术进步k的
24、函数。 Y=-5.73701012+8.99521014k（1）全世界438座核电站，50年内共发生10起事故，故每年发生的先验概率为：P0=10/(438*50)= 0.0004.5662（2）那么20年故事发概率为：P=20*10/(438*50)=0.0091（3）查得单位面积的GDP损失加上迁移费（假设20年无法恢复生产）为：C=A+B20 1、假设单位GDP产值与深圳单位面积GDP产值的数量相等，即为4.8807亿元/平方公里，故设B=1亿元/平方公里=1092、假设搬迁费用与三峡移民单位面积搬迁费用数量级相等，即510亿/3389.25万平方公里或15505000元/平方公里。故A
25、=10000000S=1735700000=1.7357109元C=1735700000+100000000020=2.17361010(元)（4）由此，我们可以退出核电站的总经济收益与核泄漏期望损失的差值：delta=Y- PSC =-5.73701012+8.99521014k -0.0091173.572.17361010 = -5.7713e+012+8.99521014k（5）然后我们假定差值为0，即核电站的总收益与核泄漏期望损失相等，可以解出：K*=0.0064（6）K*的含义是，为使现有的7座核电站承担起未来20年核泄漏安全事故的风险所需要的核发电技术进步的投入经费占全国对于核电
26、站发电需求的比例。所以：当k K*时表明核电站可以承担更大的风险，所以可以继续增加建设。当k K*时表明核电站承担风险的能力已不足，不宜继续增加建设。五、模型评价模型I：优点：此模型在把问题最大程度简化的基础上，解决了放射性元素扩散的影响范围模拟。有助于对情况有直观的认识。对于最快反应出应对措施有着借鉴意义。缺点：此模型将风速、风向、风力以及降雨都假定为定值或者简单的线性函数，与现实情况有一定差距。如果能够这些因素改为更贴近现实的函数，将有助于模型的推广。模型II：优点：此模型充分考虑了时间，发电量，电力供应缺口，科技进步以及核电站的环保性等因素，起到了确立技术进步与基于经济层面合理核电站的函
27、数关系。缺点：对于技术进步、环保性的量化不够精准。如果可以有更加贴切的函数模拟，可以使模型结果更为准确。模型III：优点：模型综合考虑了核电站的安全性能，以及不同技术进步带来的不同总收益，继而从风险综合收益的角度对在不同技术进步前提下核发电产业未来可能的走向。缺点：对于迁移费用、单位面积损失不够具体落实到不同核电站的具体经济状况。六、参考文献1 王玉磊 邱罡 编著 从零开始学MATLAB 中国铁道出版社 2 大亚湾核电运营管理有限责任公司官网 3中广核官网 4国家电力信息网 5中国电力企业联合会官网 6中国核能协会官网 http:/www.china-7中华人民共和国统计局官网 8中华人民共和
28、国环境保护部官网 七、附录附录一：核泄露放射性物质泄露模型模型I计算机实现:function =expand(k,Q,C,t,r,ws,wa,wd)R=sqrt(-4)*k*t*log(C/(1-r)*Q)*(4*pi*k*t)(1.5)for i=0:24:t/3600if (wd*(i/24)=R R=R-wd; R0=R;t=0:0.1:0.5*pi;p=0:0.1:2*pi;wsx=ws*cos(wa)*i;wsy=ws*sin(wa)*i;theta,phi=meshgrid(t,p);x=R*sin(theta).*cos(phi)+wsx;y=R*sin(theta).*sin(phi)+wsy;z=R*cos(theta);hold onsurfc(x,y,z)endendR0=R0view(20,70)title(核泄漏有风向影响);xlabel(x);ylabel(y);zlabel(z);axis(-10,15,-10,25,0,10)x0=ws*cos(wa)*1000000/3600y0=ws*sin(wa)*1000000/3600R1=sqrt(x0)2+(y0)2)end附录二核电站关于技术进步的边际效益模型模型II：