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1、3 国家自然科学基金资助项目(19571010)收稿日期:2003203205图像强化去噪的一种偏微模型3郇中丹孔令海黄海洋(北京师范大学数学系,100875,北京第一作者47岁,男,教授)摘要给出了图像处理中加强去噪的一种方法.具体作法是在能量泛函中用模糊算子作用后的原图像与获得图像之间的距离代替原图像与获得图像之间的距离.实验结果表明,这样的处理不仅加强了去噪效果,而且保持了现有处理方法的其他优点.建立了与这一模型对应的流方程Cauchy问题的逼近问题的古典解的存在惟一性,使得这类问题的讨论完善化了.关键词去噪;模糊算子;黏性解分类号 O 241.81 模型与数值结果20世纪90

2、年代以来,通过偏微分方程研究图像修复与图像分割的工作(简称为偏微(PDE)方法)取得了迅速进展127,其基本想法是把问题转化成是求在一定约束条件下能量泛函的最小值问题.由于相应的Euler2Lagrange方程的奇异性,为了获得强制性,人们考虑与Euler2Lagrange方程(有时是有所修正的)相应流方程的初值问题.Barcelos和Chen在文献8中利用了能量泛函E(u)=(x)|Du|+2(u-I)2dx,(1)其中u:R表示图像,它给出图像在区域各点的灰度值,0为常数,Du为u的梯度,(x)是在边缘点(|Du|=)上取0,在同质区域(Du=0)上取1的光滑,I为获得图像函数.人们一般

3、所获得的不是真实的图像u,而是经过种种干扰后的获得图像I.我们注意到Y ou和Kaveh在文献9讨论的含噪蜕化图像模型I(x)=Au(x)+N(x),x,(2)这里=0,1n,N(x)为白噪声,一般认为是Gauss噪声,当Au=u时,模型(2)为含噪模型.在大多数场合取A为模糊算子Au(x)=Dd(x,y)u(x-y)dy,(3)其中d(x,y)是点扩散函数,D=D(x)为d(x,)的支集.d满足条件:Dd(x,y)dy=1;d(x,y)0.基于模型(2),我们认为在能量泛函(1)中用模糊算子A对u作用的结果Au替代其第2项中的u更为合理,因此考虑下面的能量泛函:2003年 12月第39卷第

4、6期北京师范大学学报(自然科学版)Journal of Beijing Normal University(Natural Science)Dec.2003Vol.39No.6E(u)=2(x)|Du|+2|Au-I|2dx.(4)与此相应的Euler2Lagrange方程为div(2(x)(Du/|Du|)-A3(Au-I)=0,(5)边值条件是5u/5n|5R+=0.(6)A3是A的共轭算子.将式(5)整理后得到2(x)div(Du/|Du|)+2(x)D(x)Du/|Du|-A3(Au-I)=0.为减少数值计算时由分母上的|Du|造成的误差8,10,将式(5)两边乘以|Du|,得到2(x

5、)|Du|div(Du/|Du|)+2(x)D(x)Du-|Du|A3(Au-I)=0其相应的流方程(其中可以与t有关)ut=2|Du|div(Du/|Du|)+2DDu-|Du|A3(Au-I).如同文献8所做的那样,在对上式右端的第3项添加系数后,就得到我们的模型:ut=2|Du|div(Du/|Du|)+2DDu-|Du|A3(Au-I),x,t 0,u(x,0)=I(x),x,5u5n(x,t)=0,x(0,).(7)模型中的I(x)为获得图像,=g(DG3u)=1/(1+K|DG3u|2),K是正常数,G(x)=14 exp(-|x|24).(x)2被用来控制扩散速度,而为权衡参数8

6、.我们将初边值问题(7)的存在惟一性化为寻求相应的初值问题的22周期解的存在惟一性问题.初值?I(x)是I(x)先对x的各个分量作偶延拓到-1,1n上,然后在Rn上再对各个变量作周期2延拓3.为了叙述的简洁和与数值模拟的讨论一致,我们仅讨论模糊算子A为Gauss型算子的情况,即点扩散函数d(x,y)=G0(y)(在数值计算中0比中的要小).在下面的讨论中,我们用到如下的一些记号:R+=(0,),ei=(1i,ni)(i=1,n),Di表示对xi偏导算子.对于n阶矩阵X,Tr(X)表示起对角线元素的和,|X|为X平方范数,即|X|2=Tr(XX).对于=(1,n)Rn+.设f:RnR,如果对任何

7、xRn和i=1,n,f(x+iei)=f(x),就说f是周期的.同样对于u:Rn0,TR,如果对任何xRn,t0,T和i=1,n,u(x+iei,t)=u(x,t),就说u关于x是周期的,简称是周期的.关于u我们还用到记号:Du=(D1u,Dnu),D2u=(DiDju)i,j=1,n,DG3u=(D1G3u,DnG3u),D2G3u=(DiDjG3u)i,j=1,n.下面是本文的基本定理.定理1(存在惟一性定理)对于周期的Lipschitz连续函数I(x),在对和A的假定下,初值问题734北京师范大学学报(自然科学版)第39卷 ut=g2(DG3u)|Du|div(Du/|Du|)+2g(D

8、G3u)Dg(DG3u)Du-|Du|A3(Au-I),xRn,t 0,u(x,0)=I(x),xRn(8)有惟一的周期黏性解u(x,t).对任何T 0,u(x,t)在Rn0,T上关于x为Lipschitz连续,关于t为1/22Hlder连续.由模型(7)所得的数值结果表明:模型(7)在保持图像细节信息,边缘检测和增强等方面具有较好效果.我们用下面2个图像处理的结果来说明这一点.第1个是对于指纹图像的处理.在图1中,a为原图像,b是利用文献8的模型处理的结果,c是由模型(7)处理的结果.其中有关参数都是=0.282 5,=0.002,K=0.01及dt=0103.迭代次数均为25次.文献8的模

9、型的CPU迭代时间是54 s,模型(7)的CPU迭代时间是58 s.比较可以发现在,在图像边缘(纹理)得到明显增强的同时,模型(7)还提高指纹图像峰谷的对比.图1 指纹图像的处理对比第2个例子对Matlab中一个图像的处理.图2中a为原图像,b为蜕化图像,c为图像b添加了Gauss白噪声N(0,0.02),d为通过模型(7)恢复的图像.有关参数的选取是=01006,dt=0.01,CPU迭代时间为285 s.图2Matlab中图像的处理对比2 模型解的存在惟一性我们证明的思路是把模型(7)解的存在惟一性归结为初值问题(8)关于22周期解初值的22周期解的存在惟一性.其一般形式就是定理1.我们先

10、建立初值问题(8)的非退化逼近问题第6期郇中丹等:图像强化去噪的一种偏微模型735 的古典解的存在惟一性,然后利用文献3中的证明框架建立初值问题(8)的黏性解的存在惟一性.我们的证明与文献3,8的不同之处在于:我们是直接证明了古典解的存在惟一性,而不是引用文献11的相应结论(实际上,引用的合法性是不存在的,问题(8)中的方程带有算子G,因而不再是一个单纯的偏微分方程初值问题).我们需要对(8)的逼近问题vt=Tr A(Dv,DG3v)D2v+B(DG3v,D2G3v)Dv-C(Dv)A(Av-I),xRn,t 0,v(x,0)=I(x),xRn(9)周期古典解的存在惟一性,及解对任何T 0,

11、在Rn0,T上关于x的Lipschitz连续和关于t的1/22Hlder连续模的对0的一致估计.在逼近初值问题(9)中,A(p,q)=(g(q)+)(1+)En-p“p/(|p|2+),B(q,X)=-4Kg3(q)Xq,C(p)=|p|2+2-及I为I的磨光.由Gauss型积分算子是对称算子,有A3=A.这里En是n阶单位矩阵,X为n阶对称矩阵,p,q是n阶列向量,p“p=pp,Xq与pp 表示通常的矩阵乘积.我们先来证明初值问题(9)周期古典解的惟一性.引理1 在上述的条件下,初值问题(9)的周期古典解惟一.证设vi(x,t)(i=1,2)为(9)在Rn(0,T上的2个周期解.要证明v1

12、v2.由二阶抛物型方程的正则性理论可知,viC(Rn0,T.v=v1-v2满足线性方程vt=Tr a(x,t)D2v+b1(x,t)Dv+b2(x,t)DG3v+b3(x,t)D2G3v+c(x,t)A2v(10)及v(x,0)=0.这里a(x,t),bi(x,t)(i=1,2,3)和c(x,t)由A(p,q),B(q,X)及C(p)的一阶偏导数、和vi(i=1,2)及其一阶与二阶偏导数确定,并且一致有界.特别a(x,t)一致椭圆,其最小特征值大于2.考虑w(x,t)=v(x,t)e-t,其中 0是待定常数.由w(x,t)关于x是周期函数可知w(x,t)在Rn0,T上有最大值与最小值,不妨设w

13、(x,t)=max|w(x,t)|:xRn,t0,T 0.由微积分可知wt(x,t)0,Dw(x,t)=0及D2w(x,t)0.将vt=(wt+w)et,Dv=etDw及D2v=etD2w代入方程(10).在(x,t)点有:w(x,t)b2(x,t)DG3w(x,t)+b3(x,t)D2G3w(x,t)+c(x,t)A2w(x,t).这里利用了方程(10)中的积分算子对与x无关的函数系数的齐次性.易见存在仅与,0,和|b2(x,t)|,|b3(x,t)|及|c(x,t)|的上界有关的常数M使得w(x,t)Mmax|w(x,t)|:xRn,t0,T=Mw(x,t).当M时,我们就得到矛盾.下面来

14、证明逼近初值问题(9)古典解的存在性.为此对于(0,1,T 0和Rn+引入函数空间X=u:Rn0,TR:u是周期,且 u0,u(x,0)=I(x),xRn(11)的惟一解.由Leray2Schauder不动点原理,初值问题(9)解的存在性归结为证明:U是紧算子;不动点集合=uX:存在某个0,1,u=U(u,)在X中的有界性.我们把这2点的验证分解为下面的4个引理.引理2U是紧算子.证由线性抛物方程的Schauder理论,初值问题(11)有无穷光滑的古典解u=U(v,),并存在仅与有关的常数C使得 u2,C(I2,+|F(v),这里F(v)=B(DG3v,D2G3v)Dv-C(Dv)A(Av-

15、I).由此可得,U把X的有界集映射成X的紧集.而U的连续性可以由初值问题(11)解的惟一性和U的紧性(可参考引理1的证明)得到.引理3 设u,则对于xRn,t0,T,|u(x,t)|I.(12)证任取u,则存在0,1有u=U(u,).欲证明 uI(I).取定 0,考虑w(x,t)=u(x,t)-t,若w正最大值在(x,t)Rn(0,T达到,则wt(x,t)=ut(x,t)-0,Dw(x,t)=Du(x,t)=0和D2w(x,t)=D2u(x,t)0.将其代入方程ut=(1-)u+TrA(Du,DG3u)D2u+B(DG3u,D2G3u)Du-C(Du)A(Au-I),(13)得到矛盾0.类似

16、地可证明u(x,t)+t不能在Rn(0,T内达到负的最小值.由此引理3的结论得证.引理4 设u,则存在仅与0,I1,T及维数n有关的正常数C使得 u1C.(14)证取定u.按照Bernstein估计的步骤,对方程(13)的两边对xk求导,然后再在两边乘以2uxk并对k由1至n求和.记w=|Du|2,就得到wt=(1-)w+TrA(Du,DG3u)D2w +H(1)Dw-2(H(2)+H(3)Du-J,(15)这里H(1)=B(DG3u,D2G3u)-(H(1)1,H(1)n),对i=1,n,H(1)i=Tr5A5pi(Du,DG3u)D2u+5C5pi(Du)A(Au-I),H(j)=(H(

17、j)1,H(j)n),j=2,3,对i=1,n,第6期郇中丹等:图像强化去噪的一种偏微模型737 H(2)i=nk=1Tr5A5qk(Du,DG3u)D2uDiDkG3u,H(3)i=nk=1(Bqk(DG3u,D2G3u)Du)DiDkG3u+nk,l=1(BXkl(DG3u,D2G3u)Du)DiD2klG3u+C(Du)A(Au-I)xi,以及J=2Tr(D2u)A(Du,DG3u)(D2u)+2(1-)|D2u|2.注意到,对于k=1,n,5A5qk(Du,DG3u)=-2K(DkG3u)g(DG3u)A(Du,DG3u)和不等式:对于n阶对称矩阵A,B,|Tr(AB)|2Tr|A|T

18、r(B|A|B),|A|为A的绝对值矩阵,即若A=Udiag1,n U,|A|=Udiag|1|,|n|U,这里U为n阶正交矩阵.利用这个不等式和Gauss算子的性质就有|2H(2)Du|Tr(D2u)A(Du,DG3u)(D2u)+C1w.而|2H(3)Du|C2+C3w,其中Ci(i=1,2,3)仅与K,0,n及 I有关.由此根据线性抛物方程的极值原理就容易得到,存在仅与Ci有关的常数C使得 DuC.取定s0,T.记u(x,s)为u(x,s)关于x的磨光.对于xRn|u(x,s)-u(x,s)|C,|Du(x,s)|C,|D2u(x,s)|C/,其中C仅与 u和 Du有关.v(x,t)=u

20、(x-y,t-s)0C.(16)证取定u,记S(x,t,p)=(1-)E+A(p,DG3u(x,t),H(x,t,p)=B(DG3u(x,t),D2G3u(x,t)p-C(p)A(Au-I)(x,t),则S和H关于(x,p)光滑.并且对于=min1,/(1+KC()I)和=1(C()是仅与有关的常数)以及仅与0,I1,T及维数n有关的正常数:ES(x,t,p)E,t0,T,x,pRn,|Sx(w)|,|Sp(w)|,|H(w)|xRn,t0,T,738北京师范大学学报(自然科学版)第39卷其中w=(x,t,Du(x,t).记=(1,21)(-n,2n),=(0,1)(0,n),Q=(0,T

21、和Q=(0,T.由u(x,t)在Q上解方程vt=Tr S(x,t,Dv)D2v+H(x,t,Dv),根据文献11第517页的定理,就能够得到引理5的结论.由此我们就可以建立定理1.为了节省篇幅,我们仅给出证明的思路.这里关键是要得到逼近初值问题(9)的周期古典解的存在性以及关于的一致有界性和等度连续性,这些我们上面已经建立了.由此借助于已有的黏性解理论3,通过让趋于零(必要时取子列)就可以得到定理1中初值问题(8)黏性解的存在性,并且解满足引理2和3中的估计.这些估计和解的周期性使得我们可以使用文献3中的黏性解惟一性证明的框架来得到(8)的黏性解的惟一性.3 参考文献1Morel J M,So

22、limini S.Variational methods in image segmentationM.Boston:Birkh?user,19952SethianJ.Level set methods and fast marchingMethodsM.Cambridge:Cambridge University Press,19993AlvarezL,Lions P L,Morel J M.Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion()J.SIAMJ Num Anal,1992,29:8454K o

23、enderink Jan J.The structure of imagesJ.Biol Cyber,1984,50:3635Osher S,Rudin L I.Feature oriented image enhancement using shock filtersJ.SIAMJ Num Anal,1990,27:9196Perona P,Malik J.Scale space and edge detection using anisotropic diffusionM.Miami,FL:Proc IEEE ComputSoc Workshop on Computer Vision,19

24、87:167Vogel C R,Oman M E.Iterative methodsfor total variation denoisingJ.SIAMJ Sci Statist Comput,1996,17:278Barcelos C A Z,Chen Yunmei.Heat flows and related minimization problems in image restorationJ.Computer andMathematics with Applications,2000,39:819Y ou Yuli,Kaveh M.A regularization approach

25、to joint blur identification and image restorationJ.IEEE Transactionon Image PRocessing,1996,5:1510Chen Yunmei,Vemuri B C,Wang L.Image denoise and segmentation via nonlinear diffusionJ.Computers andMathematics with Applications,2000,39:13111Ladyzhenskaya O A,Solonnikov V A,Uraltseva N N.Linear and q

26、uasilinear equation of parabolic type M.Providence,RI:American Mathematical Society,1968A PDE ENHANCED DENOISE MODEL IN IMAGE RESTORATIONHuan ZhongdanK ong LinghaiHuang Haiyang(Department of Mathematics,Beijing Normal University,100875,Beijing,China)AbstractAn enhanced denoise model for image restor

27、ation is proposed.The difference betweenoriginal image and obtained is replaced by that between blurred and obtained in energy functionals.Theexperimental results show that the model enhances the denoise effect and retains the other advantages as incurrent approaches.The existence and uniqueness of classicalsolutions to Cauchy problem ofapproximating equations of the flow equation are also established,which makes the discussion complete.Key wordsdenoise;blurring operator;viscosity solutions 第6期郇中丹等:图像强化去噪的一种偏微模型739

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