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1、第 18 卷 第 5 期 牡丹江大学学报 Vol.18 No.5 2009 年 5 月 Journal of Mudanjiang University May.2009 101文章编号：1008-8717（2009）05-0101-03 基于 MATLAB 和 SPSS 的非线性回归分析 陈 永 胜（吉林师范大学数学学院，吉林 四平 136000）摘 要：非线性回归分析是把工程和科学实验数据拟合为非线性函数，以反映变量间的相互关系 本文以Logistic曲线为例，用MATLAB和SPSS编制相关程序，实现其非线性回归分析 关键词：非线性回归；Logistic 曲线；MATLAB；SPSS 中
2、图分类号：O241.5；TP392 文献标识码：A 在科学与工程计算中，为了把握某些规律，经常需要研究和探寻一些变量之间的关系而变量之间的关系有时是确定的，有时又是非确定的研究这些确定性与非确定性之间关系的一个重要工具就是回归分析方法回归分析1是数理统计学中重要的一部分，而非线性回归2在科学实验、数学模型的建立、决策预测及自动控制中都有着广泛的应用 下表给出了某地区 19712000 年的人口数据（表 1）我们分别用 MATLAB3和 SPSS4软件，对该地区的人口变化进行曲线拟合 表 1 某地区人口变化数据 T(年份)y(人口)(单位：人)T(年份)y(人口)(单位：人)T(年份)y(人口)
3、(单位：人 1971 33815 1972 33981 1973 34004 1974 34165 1975 34212 1976 34327 1977 34344 1978 34458 1979 34498 1980 34476 1981 34483 1982 34488 1983 34513 1984 34497 1985 34511 1986 34520 1987 34507 1988 34509 1989 34521 1990 34513 1991 34515 1992 34517 1993 34519 1994 34519 1995 34521 1996 34521 1997 345
4、23 1998 34525 1999 34525 2000 34527 根据上表中的数据，作出散点图，见图 1.T=1971:2000;y=33815;33981;34004;34165;34212;34327;34344;34458;34498;34476;34483;34488;34513;34497;34511;34520;34507;34509;34521;34513;34515;34517;34519;34519;34521;34521;34523;34525;34525;34527;scatter(T,y)图 1 某地区人口随时间变化的散点图 从图 1 可以看出，人口随时间的变化呈
5、非线性过程，而且存在一个与横坐标轴平行的渐近线，可以用 Logistic 曲收稿日期：2008-08-27 基金项目：吉林省高等教育教学研究重点课题（2007-2009），课题名称数学实验在数学教学中的理论研究与实践。作者简介：陈永胜（1973），男，吉林省长春市人，吉林师范大学数学学院讲师，硕士，研究方向：动力系统与数学软件。102 线模型进行拟合，Logistic 曲线模型的基本形式为：tbeay+=1 一、调用 MATLAB 工具箱函数拟合非线性回归模型 1回归 确定回归系数的命令：beta,r,J=nlinfit（x,y,model,beta0），其中 beta 代表估计出的回归系数，
6、r 代表残差，J 代表 Jacobian 矩阵，x、y 代表输入数据，x、y 分别为mn矩阵和 n 维列向量model 是事先用 m-文件定义的非线性函数，beta0 回归系数的初值 2预测和预测误差估计 Y,DELTA=nlpredci（model,x,beta,r,J），求 nlinfit 所得的回归函数在 x 处的预测值 Y 及预测值的显著性为 1-alpha的置信区间 Y DELTA 对将要拟合的 Logistic 模型tbeay+=1，建立 Logistic.m 文件如下：function y=Logistic(beta,t)y=1./(beta(1)+beta(2)*exp(-t)
7、;输入数据：t=1:30;y=33815;33981;34004;34165;34212;34327;34344;34458;34498;34476;34483;34488;34513;34497;34511;34520;34507;34509;34521;34513;34515;34517;34519;34519;34521;34521;34523;34525;34525;34527;beta0=8 2;求回归系数：beta,r,J=nlinfit(t,y,Logistic,beta0)得结果：beta=1.0e-004*0.2902 1.0e-004*0.0184 即得回归模型为：tey+
8、=00000184.000002902.01 预测与作图：Y,delta=nlpredci(Logistic,t,beta,r,J);plot(t,y,k+,t,Y,r)得到实际值与回归曲线的图形 图 2 二、利用 MATLAB 编程拟合非线性回归模型 1把非线性模型线性化 Logistic 曲线模型的基本形式为：tbeay+=1，只要令：yy1=，tex=,就可以将其转化为直线模型：bxay+=2用 MATLAB 编程进行回归分析拟合计算 源程序（a.m），如下：y=33815;33981;34004;34165;34212;34327;34344;34458;34498;34476;344
9、83;34488;34513;34497;34511;34520;34507;34509;34521;34513;34515;34517;34519;34519;34521;34521;34523;34525;34525;34527;%读入人口数据（19712000 年）t=1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20;21;22;23;24;25;26;27;28;29;30;%读入时间变量数据（t年份1970）for t=1:30,x(t)=exp(-t);y(t)=1/y(t,1);end%线性化处理计算，并输出回归系数 B c=z
10、eros(30,1)+1;X=c,x;B=inv(X*X)*X*y for i=1:30,z(i)=B(1,1)+B(2,1)*x(i);%计算回归拟合值 s(i)=y(i)-sum(y)/30;%计算离差 w(i)=z(i)-y(i);%计算误差 end S=s*s;%计算离差平方和 S 103Q=w*w;%回归误差平方和 Q U=S-Q;%计算回归平和 U F=28*U/Q%计算并输出 F 检验值 for j=1:30,Y(j)=1/(B(1,1)+B(2,1)*exp(-j);end%计算非线性回归模型的拟合值 plot(T,Y)%输出非线性回归模型的拟合曲线（Logistic 曲线）程
11、序运行后，输出回归系数 B 及 F 检验值如下：B=1.0e-004*0.2902 1.0e-004*0.0184 F=47.8774 输出 Logistic 模型拟合曲线 图 3 三、直接调用SPSS软件拟合非线性回归模型 1用SPSS作散点图 步骤如下：（1）激活数据管理窗口，定义 2 个列变量分别为人口 y、年份 T、输入表 1 的数据，数据文件格式为 30 行 2 列（2）选择 Graphs-Scatter，选择 Simple 后单击 Define，在出现的 Simple Scatterplot 主对话框中把 y 和 T 分别选入 Y Axis 和X Axis，单击 OK，见图 4 人
12、口随年份变化的散点图 T20102000199019801970Y3460034400342003400033800 图4 从图 4可以看出，人口随年份的变化呈非线性过程，而且存在一个与横坐标轴平行的渐近线，近似 Logistic 曲线 下面，我们用 SPSS 软件进行非线性回归分析拟合计算 2用 SPSS 进行非线性回归分析拟合计算 在SPSS中可以直接进行非线性拟合，步骤如下：选择analysis-regression-nonlinear，在弹出的对话框中选择因变量和自变量，分别选择y（人口），t（时间变量）为因变量（dependent）和自变量（independent）在Models E
13、xpression中输入y=1/(a+b*2.718*(-t)，在Parameters弹出的对话框中，在Name处输入a，在Starting Value处输入0.0001，单击Add按钮，继续在Name处输入b，在Starting Value处输入0.0001，单击Add按钮，单击Continue.单击save按钮，在弹出的对话框中选中Predicted values和Residuals，得出利用各种方法拟合的结果和残差，并将它们作为列插入到原始数据表中，方便进行对比.单击OK确认后运行得到了模型的拟合效果 Nonlinear Regression Summary Statistics Dep
14、endent Variable y Source DF Sum of Squares Mean Square Regression 2 35539582977.6 17769791488.8 Residual 28 385900.40807 13782.15743 Uncorrected Total 30 35539968878.0 (Corrected Total)29 1043447.46667 R squared=1-Residual SS/Corrected SS=.63017 Asymptotic 95%Asymptotic Confidence Interval Parameter
15、 Estimate Std.Error Lower Upper （下转105页）105更好看。（3）学术论文文后的作者简介并列词语用逗号分隔。例如：兰天天，女，1979 年生，北京人，讲师，研究方向为英语语言理论，比较教育，科技论文写作，计算机辅助教学。其中姓名、性别、出生年、原籍、职称和研究方向的词语之间，用逗号而不是用顿号。从汉语语言学来说，若用顿号，所分隔并列的项目较多，而且句串较长，显得分隔作用不强。这里的逗号起各项之间的独立分隔作用。若用分号显得过于凝重，不如用逗号更能贯穿一气，而且用分号又与国家标准规定不符；其中研究方向的子方向的项与项之间并列关系有的期刊规定用顿号，也有的规定用逗
16、号。这里，子研究方向中的名词术语（词语）字数和并列项都较多，用顿号不如用逗号。最后的两项既可以用连接词“和”相连，也可以用顿号分隔，但这里由于最后两项比较长，所以仍用逗号分隔，从整个句子形式看，显得具有匀称并列的美。（4）科技论文表达中英文、希腊文、汉语拼音等字母之间或数字之间并列，用逗号而不用顿号，例如：（）笛卡儿坐标系符号是x,y,z.（）ABC,DEF,GHI皆为等腰三角形。（）该物体重心的坐标值为（62.15，20.85，93.57）.以上（）（）例子中用逗号而不用顿号，与英文逗号用法一致，这可能是为了与国际接轨。在科技论文表达中也约定俗成。另外，让我们将（）项中用逗号和用顿号二者试对
17、比如下，显然前者比较清晰。用逗号 62.15，20.85，93.57 用顿号 62.15、20.85、93.57（5）参考文献中并列的不同参考文献序号的分隔，用逗号不用顿号。例如：谨慎型旅游理论者认为，旅游在一定的条件下能够产生积极的生活文化影响，但是不能忽视可能带来的消极负面的影响6，8，11。这种6，8，11用法是借鉴英文逗号用法，我国较早制订的相关国家标准还没有考虑到科技论文表达的这种特殊问题。（6）在学术论文的评审书或答辩决议书中某些句子并列词语的项多，为强调各并列项相对独立性和重要性，用逗号连接。这种用法也不违背国家标准精神。例如某学位论文有关写作的评语：本学位论文综述得当，结构合理
18、，层次清楚，论证严谨，逻辑性强，格式规范，文笔流畅。科技论文表达中出现了相关国家标准未涉及的以逗号代替顿号的上述用法。其原因是，其一、科技论文表达有特殊性，它面临着日新月异的复杂的科技内容描述或论述，并要求用准确、简洁、清晰的语言（包括标点符号）表达，所以出现了国家标准没有涉及的出版界约定俗成的某些逗号代替顿号的用法；其二、随着科技论文表达的国际通用化而需要与国际接轨，则借鉴了英文逗号的用法，用逗号代替了顿号；其三、从汉语语言学角度看，它也符合汉语语言学原理，并使中文科技论文的表达更加准确、简洁和清晰。这种用法是合理的，是有所依据的。顺便提及，对科技论文（包括中学生的科技小论文）作者来说，标点
19、符号用法应该严谨、规范，有理有据，至少应该符合期刊或出版界的相关规定，不能像文学作品用标点符号那样随意。中文标点符号从创建到现在还不足百年，标点符号（包括逗号、顿号）用法也将随着时代的进展，科技出版界国际通用化发展，将会变得更科学、规范而又精彩。参考文献：1A history of punctuation EB/OL.http:/ 15834-1995)标点符号用法S.北京：中国标准出版社，1995.3冯英.标点符号用法正误辨析M.北京：北京工业大学出版社，2000:105-111.4苏培成.并列词语间用逗号还是用顿号J.语文建设，2000,(1):18.（上接103页）a .00002901
20、9 1.87501E-08 .000028981 .000029058 b 1.83531E-06 2.69987E-07 1.28227E-06 2.38836E-06 从曲线可以看出，Logistic模型对表1的人口数据具有较好的拟合效果，同时2R为0.63017，确定具有非常高的拟合度.拟合方程为：tey+=0000018531.0000029019.01 参考文献：1姜启源,谢金星,叶俊.数学模型（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.2赵静,但琦.数学建模与数学实验（第二版）M.北京：高等教育出版社，2004.3李志辉,罗平.SPSS for Windows统计分析教程(第二版)M.电子工业出版社，2005.4苏金明,傅荣华,周建斌,张莲花.统计软件SPSS系列二次开发篇M.电子工业出版社，2003.