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1、信号处理技术信号处理技术上海大学硕士生课程上海大学硕士生课程第三章第三章第三章第三章离散随机信号离散随机信号离散随机信号离散随机信号(Discrete Random Signals)(Discrete Random Signals)参考章节参考章节参考章节参考章节（1）胡广书：第10章（）胡（2）奥本海姆：第八章（3）离散时间信号处理：附录A3.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计3 1 13 1 1 概念概念3 3.1 1.1 1 概念概念（1）概率分布函数：（1）概率分布函数：abPr),(11xxnxPnxn(1)(1)式中，xn为随机变量，x1为某一特定值，n为
2、时刻、时期或其它物理量时期或其它物理量。例如，xn为平均气温，x1为18oC，n为10月份，即指10月份平均气温小于等于18oC的概率分布即指10月份平均气温小于等于18oC的概率分布。给出了xn的分布函数，可知落入某区间的概率。3.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计例如已知近10年考试成绩低于80分的概率分布及低于60分的概率分布，可求出成绩在6080分之间的概率：probprob,prob1221xxxxnxPnxPxxxxxnnnprobprob 12xxxxnn3.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计（2 2）概率密度函数概率密度函数（
3、2 2）概率密度函数概率密度函数已知概率分布就可求出随机变量xn落在Xn附近极小范围内的概率密度围Xn内的概率密度。即：由XXXnXXxPnXXxPnXpnnnnnnnxnnnxXnx,2,2lim,0得：nxnXP,nnxnxXnXpnn,()()或简写为：nXP(2 2)或简写为：11,XnXPnXpnnxnx3.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计反之：1x反之：1),(,1xxdxnxpnXPnn(3)(3)但式(2)是在xn在连续取值时的表达式，若xn被量化成离散的可数集时，概率密度函数为：,prob),(11xxnxpnxn(3)式可写为：1),(),(1x
4、xxxnxpnXPnn(4)(4)13.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计（3 3）维联合概率维联合概率（3 3）二二维联合概率维联合概率当某随机过程存在二个随机变量xn1、xn2时，用二维联合概率分布描述合概率分布描述：,prob),;,(22112211xxxxnxnxP(5)(5),prob),;,(22112211,21xxxxnxnxPnnxxnnx1x2均连续取值时二维概率密度：(5)(5)xn1、xn2均连续取值时，二维概率密度：2211),;,(nxnxP212211,2211,),;,(),;,(2121xxnxnxPnxnxpnnnnxxxx(6)
5、(6)3.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计当为离散可数集时二维概率密度可写为当xn1、xn2为离散可数集时，二维概率密度可写为：b)(,prob),;,(22112211,21xxxxnxnxpnnxxnn若两个随机变量的取值互不相关（统计独若两个随机变量xn1、xn2的取值互不相关（统计独立）时，则有：)()();(),(),(),;,(22112211,2121nxpnxpnxnxpnxPnxPnxnxPnnnnxxxx),(),(),;,(22112211,2121nxpnxpnxnxpnnnnxxxx3.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计
6、域号计（4 4）狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程（4 4）狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程随机过程的概率特性与时间选择无关，或不随时间的平移变平移而变。此时一维概率可简化表示为：)(),(1xpnxpx(7a)(7a)(),(1ppnx二维概率仅与二个随机变量的时间差n1-n2=m有关：(7a)(7a)二维概率仅与二个随机变量的时间差n1-n2m有关：);,();,(),;,(212212211mxxpmxxpnxnxpxxx);,();,(),;,(212212211,21pppmnnxxx(7b)(7b)3.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计3 1 23 1 2
7、统计统计（概率概率）平均平均3 3.1 1.2 2 统计统计（概率概率）平均平均除上述用概率特性函数外，更广泛使用统计平均表征随机过程征随机过程。（1）随机变量集合（1）随机变量集合xn的均值，定义为：的均值，定义为：dxnxxpxmnnxnx),(E(8)(8)有三个特性：EEE ;EEnnxxxxxaaxEEE2121nnnnxxxx若xn1、xn2统计独立，则：EE,E2121nnnnxxxx（线性独立）3.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计（2 2）均方差均方差（2 2）均方差均方差d)(E22(9)(9)dxnxpxxnxn),(E22(9)(9)（3 3）
8、方差方差2222E)(Emxmx(10)(10)（3 3）方差方差E)(Ennnxnxnxmxmx或：222Emx或：Ennxxnmx2222E2EEE2Ennxxnnmmxxmmxx以上称为阶概率平均E2Ennxxnnmmxx以上称为一阶概率平均，以下为二阶概率平均3.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计（4 4）自相关自相关（4 4）自相关自相关表征某随机过程中在不同时刻的xn1、xn2间的相关性：212211,2121),;,(E),(2121dxdxnxnxpxxxxnnnnxxnnxx(11)(11),2121nn平稳时：(12)(12)平稳时2121221)
9、;,(E)(dxdxmxxpxxxxmmnnxx注意，式中，若是复序列时分别以取代mnnnnxxxx、21注意，式中，若是复序列时分别以取代和，下同mnnnn2121nnxxmnnxx3.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计（5）自协方差（5）自协方差)(E),(221121nnxnxnxxmxmxnnr平稳时，,21xxxmmmnn(13)(13)2)(EE)(21212121nnxxxxnnxxmmmmmmxxmrnnnn2)(xxxmm 3.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计（6）互相关（6）互相关两个随机过程x、y 的随机变量间的相关性
10、两个随机过程xn、yn的随机变量间的相关性。dxdynynxxypyxnn);(E)(dxdynynxxypyxnnnnyxnnxy),;,(E),(21,212121平稳时()()平稳时：(1414)dxdymyxxypyxmmnnxy);,(E)(23.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计（7）互协方差（7）互协方差)(E)(mymxnnr)(E),(221121nynxnnxymymxnnr平稳时：(15)(15)平稳时：yxxyxymmmmr)()(3.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计3 1 33 1 3 广义平稳随机过程广义平稳随机
11、过程3 3.1 1.3 3 广义平稳随机过程广义平稳随机过程其概率分布虽随时间而变，但其一阶概率平均mx为常数二阶概率自相关仅与时间差 相关常数，二阶概率自相关仅与时间差m相关。)(mxx)(mrxx3.1.4 实平稳随机过程特性3.1.4 实平稳随机过程特性2E)0(2)12(nxxx2x相关性呈高斯分布，随m增x2m0m分布，随增大而；左图按(10)，右图按xm0(a)m(b)m按(13)。3.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计（1 1）m=0时时)13(（1 1）mx=0时时)()()()()15(mmrmmrxxxx如图所示)()(mmrxyxy如图(a)（2
12、 2）E)0(2)12(x(16)(16)2)10(22(16)2)13(E)0()0(mxmr如图()（2 2）E)0(nxxx(17)(17)E)0()0(xxnxxxxxmxmr如图(b)，由图可得(3)和(4)：如图()，由图可得()和()（3）（3）)()(),()(mrmrmmxxxxxxxx(18)(18)3.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计（4 4）|)(|)0(m（4 4）|)(|)0(|,)(|)0(mrrmxxxxxxxx自身的相关性最大（图()）（5）（5）)12(Elim)(limmnnmxxmxxm(19)(19)（图(a)）20EExm
13、nnmmxx平稳相关性为(19(19a a)0)()()19(2)13(axxxxxmr(19b)(19b)（图(b)）)()(xxxxx)()0(E)16(22(10)2mx(20)(20)（图(a)）)()0(E)19(xxxxaxnxmx(20)(20)（图(a)）3.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计（6 6）（6 6）EE)()14(yxyxmnmnnmnmnnxy(21)(21)(E mxyyxmnn同理)()(mrmr(22)(22)同理，)()(mrmryxxy(22)(22)14(23)(23)yxmnnmnnmxymmyxyxEEElim)(23)
14、(23)0)()()23()15(yxxyxymmr3.1 时时域域随机信随机信号号的统的统计计表达表达域号计域号计（7 7）两平稳随机过程两平稳随机过程若仅平移常数若仅平移常数:0 xyn（7 7）两平稳随机过程两平稳随机过程，若仅平移常数若仅平移常数由于：由于：)12(,:00nnnxynEE)()12(00 xxyymnn nmnnnnmnnyy(24)(24)(E 0mxxxxmnnnn-n则二者的自相关相等则二者的自相关相等。同理：)()(mrmrxxyy(25)(25)3.2 随机信随机信号号的的频域频域表达表达号频域号频域0)(lim 0,0)(lim)19()19(axxxbx
15、xmmmr时以及因)(,)(xxmxxxm因（均值为0，自相关收敛）付氏变换均存在定义：)()(jwxxjwxxee、定义：)()()(xxnmjxxjwxxPemre(26a)(26a)(26b)(26b)或：)()()(xxmmjxxjwxxPemeP()称自功mPxx()称自功率谱密度。)()(xyjwxyPe互功率谱密度。各代表自相关（序列）和互相关（序列）的频谱。3.3 线线性系统性系统对对随机信随机信号号的响应的响应线对号线对号3 3 13 3 1 对广义平稳随机实信号的响应对广义平稳随机实信号的响应3 3.3 3.1 1 对广义平稳随机实信号的响应对广义平稳随机实信号的响应h(n
16、)x(n)y(n)h(n)是确定的（非随机）（1）若输入是广义平稳随机信号，输出也为广义平稳随机信号（1）若输入是广义平稳随机信号，输出也为广义平稳随机信号)()(E)()(EEkknykhknxknxkhym(27)(27)1）)()()(00jxkjxkxeHmekhmkhm(27)(27)若mx是常数，my也为常数。3.3 线线性系统性系统对对随机信随机信号号的响应的响应线对号线对号 rmnxrhknxkhmnyny)()()()(E)()(E2）krrmnxknxrhkhrmnxrhknxkhmnyny)()(E)()()()()()(E)()(E2）xxnxkrrkmrhkhrmnx
17、knxrhkh)()()()()(E)()()(平稳 xxlkrkrxxlmlkhkh)()()()()()(lyyxxkxxklmmvmlkhkhlm)()()()()()(28)(28)lk的非周期自相关)(),()()(nhlhlhlv输出自相关是输入自相关与可看出，输出自相关也仅与m有关。输入自相关脉冲响应自相关的卷积。3.3 线线性系统性系统对对随机信随机信号号的响应的响应线对号线对号根据1）与2），输出也为广义平稳随机信号。),sin()(0nAnx例题1 设其中A、0为常数，为均匀分布随机变量：20 ,21)(p21)(pelse ,0222求均值mx，自相关，判断是否为广义平稳
18、？),(21nnxx3.3 线线性系统性系统对对随机信随机信号号的响应的响应线对号线对号根据1）与2），输出也为广义平稳随机信号。（2 2）输出与输入的统计特性关系输出与输入的统计特性关系（2 2）输出与输入的统计特性关系输出与输入的统计特性关系（28）式可写为：)()()()(mhmhmmxxyy(29a)(29a)得：)()()()(1zHzHzz(29b)(29b)得：)()()()(zHzHzzxxyy(29b)(29b)|)(|)()(2jjxxjyyeHee，均为实偶正函数(29c)(29c)()(|)(|)()(xxyyxxyyPP输出自功率谱是输入自输出自功率谱是输入自功率谱与
19、系统频率响应的值的平方之积。3.3 线线性系统性系统对对随机信随机信号号的响应的响应线对号线对号由E)()()(由xykmnxkhnxEmnynxEm)()()()()()(输出功率谱与输kkmnxnxEkhkmnxkhnxE)()()()()()(输出功率谱与输入自功率谱关系khkkhkmnxnxEkh)()()()()()()(30a)(30a)kxxxxmmhkmkh)()()()(30a)(30a)由付氏变换得：)()()()()()26(jbjjPHHP由付氏变换得：)()()()()(xxjjxxjxyPeHeeHP(30b)(30b)类似可得：)()()(jPeHP(30c)(3
20、0c)类似可得：)()()(xyyyPeHP(30c)(30c)3.3 线线性系统性系统对对随机信随机信号号的响应的响应线对号线对号解：2)8(1解2000)8(0)sin(21)sin(E)(E)(dnAnAnxxm)11(1)sin()sin()sin()sin(E)()(E),(221201021)(21dnnAnAnAnxnxnnxx个随机变量仅)(cos2)(cos2)sin()sin(2202010dnnnnAdnnA三角积化仅需单积分)(cos)(cos2)(cos420210210nnAdnnnn和差)(cos2210nn 因为常数只与时间差有关为广义平稳随机过程因mx为常数，
21、只与时间差有关，为广义平稳随机过程。xx3.3 线线性系统性系统对对随机信随机信号号的响应的响应线对号线对号或：2A或)(cos2),(2120221nnAnnxx|)|cos(2),(210221nnAnnxx由于m 为常数只与时间差有关xx由于mx为常数，只与时间差有关，为广义平稳随机过程。xx3.3 线线性系统性系统对对随机信随机信号号的响应的响应线对号线对号3 3 23 3 2 对平稳白噪声的响应对平稳白噪声的响应3 3.3 3.2 2 对平稳白噪声的响应对平稳白噪声的响应（1）白噪声的特点：（1）白噪声的特点：1）各离散值互不相关，一般mx=02）)()(2mmxxx(31)(31)
22、代入(26a)中的得：)(mxx3）2)(xxxP(32)(32)得：mmjxxxemP)()(2（2）线性系统对白噪声的响应（2）线性系统对白噪声的响应由(28):)()()()(lhlhlmmxxyy)()()()()()()()()(22)31(mhmhlhlhlmxxlxxyy(33)(33)l3.3 线线性系统性系统对对随机信随机信号号的响应的响应线对号线对号由上式xyykmhkhm)()()(2由上式，kxyy)()()(故：khhh)()0()0()0(222(34)(34)故kxxyykhhh)()0()0()0(34)(34)31()30(a(35)(35)()()()()(
23、)(22)()(mhmmhmmhmxxxxxy(35)(35)32()30(b)()()()(2)32()30(jxjxxbxyeHeHPP(36)(36)22)36()30(|)(|)()()(jxxyjcyyeHPeHP(37)(37)输出自概率谱密度不一定为常数，也不一定是白噪声。3.3 线线性系统性系统对对随机信随机信号号的响应的响应线对号线对号例题2 在通信系统等应用中，有时需生成白噪声序列，1|,)()(E|aamnxnxm例题 在通信系统等应用中，有时需成白噪声序列，为构造一均值为0，方差为1的白噪声序列，令满足：的输入送入一线性离散非|,)()(的输入送入线性离散非时变最小相位
24、系统H(z)，求该系统的H(z)？分析：题意为：H(z)x(n)y(n)的白噪声1,02yym解题步骤：1)已给出，判断mx是否为0，若是则的Z变换存在。1,02yym)(),(mmyyxx则的 变换存在。2)求出表达式。3)利用公式(29b)，求出H(z)、H(z-1)表达式;)()(yyxx)(),(zzyyxx3)利用公式(29b)，求出H(z)、H(z)表达式;4)根据要求，H(z)是最小相位系统，来确定H(z)的表达式。3.3 线线性系统性系统对对随机信随机信号号的响应的响应线对号线对号解1解：由公式(29b):)()()()(1zHzHzzxxyy由3.2知，只有mx、my=0时，
25、)(),(zzyyxx存在题给出的my=0，又：变换存在。的，即zmmmammxmmxxmx)()(0 ,0lim)(lim|2变换存在。的，zmmyyxx)()(1)(|zazazazmmmmmm111)(210aazzazazazmmmxx)1)(1(11 11azazazaz3.3 线线性系统性系统对对随机信随机信号号的响应的响应线对号线对号)31(1)()()(22)(ymmymmyyyyzmzmz代入(29b)代入(29b)：2111)1)(1()(1)()(aazazzzHzHxx2211111 aazaaz题目要求最小相位0|1)(1azH题目要求最小相位，0|z|,11)(2aazzH