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1、Analysis of Time Series康继军康继军Jijun KANGPh.DAssociate ProfessorSchool of Economics and Business AdministrationChongqing University第二章第二章 平稳时间序列模型平稳时间序列模型CHAPTER 2STATIONARY TIME-SEREISMODELS时间序列建模时间序列建模time series modeling定义：对随机过程的顺序观测所形成的有序观测定义：对随机过程的顺序观测所形成的有序观测值序列，就称为时间序列，记为值序列，就称为时间序列，记为y0,y1,y2,
2、yt。一个时间序列可看作是随机过程的一次实现，即一个时间序列可看作是随机过程的一次实现，即一个样本；而产生时间序列的随机过程则称为时一个样本；而产生时间序列的随机过程则称为时间序列的数据生成过程间序列的数据生成过程(data generating process，DGP)。Most data in macroeconomics and finance come in the form of time seriesa set of repeated observations of the same variable,such as GNP or a stock return.We can wri
3、te a time series as 12,.,1,2,.,Ttx xxor xtT=What is a time series?时间序列数据的特点：时间序列是来自随机过程的一个样时间序列数据的特点：时间序列是来自随机过程的一个样本，其前后数值具有相关性，过去决定或影响着现在与未本，其前后数值具有相关性，过去决定或影响着现在与未来。研究时间序列，实质上是要了解其数据生成过程的特来。研究时间序列，实质上是要了解其数据生成过程的特征和变化规律。征和变化规律。We will treat xtas a random variable.In principle,there is nothing abo
4、ut time series that is arcane or different from the rest of econometrics.The only difference with standard econometrics is that the variables are subscripted t rather than i.For example,if ytis generated by,(|)0tttttyxEx=+=then OLS provides a consistent estimate of,just as if the subscript was“i”not
5、“t”.时间序列建模时间序列建模time series modeling在单变量情形中，一个序列只用其自身的过去值在单变量情形中，一个序列只用其自身的过去值和某个干扰项来建模。其一般表达式为：和某个干扰项来建模。其一般表达式为：12(,.,)ttttxf xxu=为了使该式可操作，必须设定函数形式，滞后变为了使该式可操作，必须设定函数形式，滞后变量的个数和干扰项的结构。量的个数和干扰项的结构。由于时间序列是一个随机变量序列，变量的过去值影响或由于时间序列是一个随机变量序列，变量的过去值影响或决定着现在，所以可以用随机差分方程来对其进行描述。决定着现在，所以可以用随机差分方程来对其进行描述。如：
6、中央银行的货币供给模型，假设货币供给目标以每年如：中央银行的货币供给模型，假设货币供给目标以每年3的速度增长，则的速度增长，则时间序列模型时间序列模型随机差分方程模型随机差分方程模型*1*0*0*-1(2.1)1.03 (1.03)-ttttttmmmmmmm=给定初始条件，则方程的特解为实际值和目标值之间存在差，由于不能完全控制货币的供给，假设美联储试图改变二者差额的，用模型表示该行为为*-1*01 (-)(2.1)(2.2)(1.03)(1)ttttttttmmmmmm=+=+或者,从式，我们得到White noise(白噪音白噪音)离散型随机时间序列的基石离散型随机时间序列的基石Whit
7、e noise(白噪音白噪音).The building block for our time series models is the white noise process,which Ill denote t.In the least general case,2.(0,)tii d NNotice three implications of this assumption:122121.()(|,.)(|all information at-1)02.()cov()03.var()var(|,.)var(|all information at-1)tttttttjttjttttttEE
8、EtEt =2如未作特别说明，总是代表白噪音过程，代表该过程的方差。随机差分方程模型随机差分方程模型白噪音的应用白噪音的应用11 .MA()194qtit iittt qitxtxqqp=现在用白噪音过程来构造时间序列对任意时期，依次取值，乘以对应的可计算出相应的，称该序列为阶移动平均序列，表示为。练习：习题，。求抛硬币“手气”的均值、方差和协方差。自回归移动平均自回归移动平均ARMA模型模型1、ARMA模型的形式模型的形式一般来说，一个变量的现在取值，不仅受其本身过去值的一般来说，一个变量的现在取值，不仅受其本身过去值的影响，而且也受现在和过去各种随机因素冲击的影响，影响，而且也受现在和过去
9、各种随机因素冲击的影响，因此可建立其数据生成模型为：因此可建立其数据生成模型为：0112211.tttptpttqt qyaa ya ya y =+如果该模型的特征根都在单位圆内，则该模型就称为自如果该模型的特征根都在单位圆内，则该模型就称为自回归移动平均模型回归移动平均模型ARMA(p,q)。可以用和式简写为：可以用和式简写为：010 (2.5)pqtit iit iiiyaa y=+AR、MA、ARIMA模型模型如果如果q=0，则该模型退化为：，则该模型退化为：01122.tttptptyaa ya ya y=+011.tttqt qya =+称为称为p阶自回归模型，记作阶自回归模型，记作
10、AR(p)。如果如果p=0，则该模型退化为：，则该模型退化为：称为称为q阶移动平均模型，记作阶移动平均模型，记作MA(q)。如果式如果式(2.5)中有一个或多个特征根大于等于中有一个或多个特征根大于等于1，则称序列，则称序列yt为积分过程，称为积分过程，称式式(2.5)为自回归求积移动平均模型为自回归求积移动平均模型(ARIMA)。ARIMA模型模型2、ARIMA模型模型(1)差分与积分差分与积分(和分和分)对于一个变量序列对于一个变量序列yt，若记其差分，若记其差分(difference)为：为：yt=yt-yt-1则原变量序列就可用其差分表示为：则原变量序列就可用其差分表示为：yt=yt+
11、yt-1+yt-2+y1+y0即原变量序列即原变量序列yt可用其差分之和表示，因此称为可用其差分之和表示，因此称为integration(积分、和分积分、和分)。ARIMA模型模型(2)ARIMA模型的形式模型的形式如果用变量如果用变量yt本身的水平值建立的本身的水平值建立的ARMA模型的特征方程模型的特征方程有单位根，则需要先将有单位根，则需要先将yt差分后再建立差分后再建立ARMA模型，即模型，即：01111.tttptptqt qyaayay =+该模型就称为该模型就称为ARIMA(p,1,q)模型。如果变量模型。如果变量yt的水平值的水平值ARMA模型的特征方程中有模型的特征方程中有d
12、个特征根，则需要先将变量个特征根，则需要先将变量序列序列yt差分差分d次，然后再建立次，然后再建立ARMA模型，即：模型，即：01111.tdddttptptqt qyaayay =+则该模型称为阶数分别为则该模型称为阶数分别为(p,d,q)的自回归和分移动平均模的自回归和分移动平均模型，记为型，记为ARIMA(p,d,q)。ARMA模型3、ARMA模型的移动平均表示模型的移动平均表示0112301111213011001111011,/(1-)./(1-)ARMA(,).(.tttitttttt iittptpttqt qtttyaa yyaaaaaaaap qyaa ya yya =+=+
13、=+=+=+对于一阶自回归模型：求特解得移动平均表达式为：对于一般模型：求特解则得移动平均表达式为：212)(1-.)(2.6)pqt qpa La La L滞后算子滞后算子Lag operators滞后算子的定义及其性质滞后算子的定义及其性质(1)定义：定义：Liyt=yt-i(2)性质性质常数的滞后仍是其本身，常数的滞后仍是其本身，Lc=c.分配律分配律:(Li+Lj)yt=Liyt+Ljyt结合律结合律:LiLjyt=Li+jyt=yt-i-jL的负指数为超前的负指数为超前(向前向前,lead operator)算子算子:L-iyt=yt+i若若|a|1,则无穷和则无穷和:1+(aL)-
14、1+(aL)-2+(aL)-3+yt=-aLyt/(1-aL)即即:yt/(1-aL)=-(aL)-11+(aL)-1+(aL)-2+(aL)-3+ytARMA模型模型4、稳定性条件稳定性条件ARMA(p,q)模型的移动平均表示是一个无限阶的移模型的移动平均表示是一个无限阶的移动平均过程动平均过程MA()，该无穷序列是否收敛决定了原，该无穷序列是否收敛决定了原随机差分方程是否稳定。随机差分方程是否稳定。(参见阅读材料：参见阅读材料：John H.Cochrane(2005)Time Series for Macroeconomics and Finance，第，第3.3节相关内容的推导节相关内
15、容的推导)因此稳定性条件可表示为：因此稳定性条件可表示为：The stability condition is that the roots of the polynomial(1-a1L-a2L2-apLp)must lie outside of the unit circle.即：即：ARMA模型的逆特征方程模型的逆特征方程(1-a1L-a2L2-apLp)的根都必须在单位圆外。的根都必须在单位圆外。时间序列的平稳性时间序列的平稳性1、平稳性的定义、平稳性的定义(1)严平稳过程：如果一个随机过程的有穷维分布函严平稳过程：如果一个随机过程的有穷维分布函数族不随时间的推移而改变，即对于任意正整
16、数数族不随时间的推移而改变，即对于任意正整数n和任意的和任意的t1,t1,tn T及实数及实数，当，当t1+,t2+,tn+T时，都有：时，都有：Fn(yt1+,yt2+,ytn+)=Fn(yt1,yt2,ytn)则称此随机过程为严平稳过程或狭义平稳过程则称此随机过程为严平稳过程或狭义平稳过程(strongly stationary process)。时间序列的平稳性时间序列的平稳性1、平稳性的定义、平稳性的定义(2)宽平稳过程：如果随机过程宽平稳过程：如果随机过程yt存在有穷的二阶矩，且均存在有穷的二阶矩，且均值和方差为常数，自协方差函数只与两时点的间隔长度值和方差为常数，自协方差函数只与两
17、时点的间隔长度有关，而与两时点的位置无关，即有对所有的有关，而与两时点的位置无关，即有对所有的t和和t-s：22()()(2.7)()()(2.8)(,)()()(2.9)tt stttt stt ssE yE yVar yE yCov y yE yy=其中，其中，,2,s均为常数，则称此随机过程为宽平稳过程均为常数，则称此随机过程为宽平稳过程或二阶矩过程或广义平稳过程或二阶矩过程或广义平稳过程(widesense stationary process)。1、平稳性的定义、平稳性的定义如果时间序列的均值和所有的自协方差不受时间如果时间序列的均值和所有的自协方差不受时间变化影响，则该序列协方差平
18、稳。变化影响，则该序列协方差平稳。文献中协方差平稳通常称为文献中协方差平稳通常称为弱平稳弱平稳、二阶平稳二阶平稳或或广义平稳过程广义平稳过程，本课程中仅考虑协方差平稳序列，本课程中仅考虑协方差平稳序列，因此本课程中的平稳即是指协方差平稳。因此本课程中的平稳即是指协方差平稳。在多元模型中，在多元模型中，自协方差自协方差是指是指yt与其与其滞后项间的滞后项间的协方差，协方差，互协方差互协方差指一个序列和另外一个序列之指一个序列和另外一个序列之间的协方差。特别的，对于一元时间序列模型，间的协方差。特别的，对于一元时间序列模型，二者含义相同。二者含义相同。1、平稳性的定义、平稳性的定义(3)严平稳过程
19、与宽平稳过程的关系严平稳过程与宽平稳过程的关系 宽平稳要求随机过程的前二阶矩平稳。一般宽平稳要求随机过程的前二阶矩平稳。一般来说，分布的前二阶矩不能决定整个分布函数，来说，分布的前二阶矩不能决定整个分布函数，所以广义平稳不能保证狭义平稳。所以广义平稳不能保证狭义平稳。严平稳要求整个分布函数平稳，但并不要求严平稳要求整个分布函数平稳，但并不要求前二阶矩存在，所以是严平稳也未必就是宽平稳。前二阶矩存在，所以是严平稳也未必就是宽平稳。只有前二阶矩存在的严平稳过程才一定是宽平稳只有前二阶矩存在的严平稳过程才一定是宽平稳过程。过程。由于正态分布的分布函数完全由前二阶矩决由于正态分布的分布函数完全由前二阶
20、矩决定，所以正态随机过程如果是宽平稳的，那么必定，所以正态随机过程如果是宽平稳的，那么必定也是严平稳的。定也是严平稳的。时间序列的平稳性时间序列的平稳性2、平稳过程的自协方差与自相关函数、平稳过程的自协方差与自相关函数(1)自协方差与自相关函数的计算自协方差与自相关函数的计算自协方差自协方差：s=Cov(yt,yt-s)=E(yt-)(yt-s-)称为称为s阶自协方差函数。显然，阶自协方差函数。显然，0阶自协方差函数阶自协方差函数为为yt的方差：的方差：0=E(yt-)2=y2自相关函数自相关函数：s=s/0称为称为s阶自相关函数。显然，阶自相关函数。显然，0阶自相关函数等于阶自相关函数等于1
21、，有有0=1。时间序列的平稳性时间序列的平稳性2、平稳过程的自协方差与自相关函数、平稳过程的自协方差与自相关函数(2)自协方差自协方差与自相关函数与自相关函数的性质的性质对称性：对称性：s=-s，s=-s；非负定性，即由自协方差或自相关函数非负定性，即由自协方差或自相关函数组成的矩阵是非负定矩阵。组成的矩阵是非负定矩阵。|s|0，|s|1。时间序列的平稳性时间序列的平稳性3、平稳性的意义、平稳性的意义平稳过程一般都具有平稳过程一般都具有遍历性遍历性(ergodicity)，即可用，即可用时间平均去估计空间平均。时间平均去估计空间平均。遍历性遍历性：假设：假设a为随机过程为随机过程yt的某一参数
22、或特征的某一参数或特征指标，若由样本函数构成的估计量指标，若由样本函数构成的估计量，使得当，使得当t时，有时，有：limE|-a|2=0即有：即有：plim=a则称序列则称序列yt关于关于a具有均方遍历性，简称遍历性。具有均方遍历性，简称遍历性。4、AR(1)过程平稳性的条件过程平稳性的条件对于对于AR(1)过程：过程：yt=a0+a1yt-1+t假设过程从基期假设过程从基期(0期期)开始，初值为开始，初值为y0，则其递归解为：，则其递归解为：或其通解为：或其通解为：对式对式(2.10)取期望，得：取期望，得：这表明这表明yt的均值随时间变化，的均值随时间变化，序列序列yt是非平稳的。是非平稳
23、的。110110100 (2.10)ttititt iiiyaaa ya=+()011011titt iiayaA aa=+()1001101011ttitttiaEyaaa yEyA aa=+=+，或：时间序列的平稳性时间序列的平稳性4、AR(1)过程平稳性的条件过程平稳性的条件但是，如果但是，如果|a1|1，则当，则当t时，有：时，有：0101 (2.13)1limitt itiayaa=+时间序列的平稳性时间序列的平稳性其期望和方差及协方差函数分别为：其期望和方差及协方差函数分别为：01222111222411221 /(1)()().)1()()./(1()tttttttyEyaayE
24、 yEaaaaa=+=+=的均值独立于时间变化：的方差：故方差也独立于时间变化，最后，自协方2-111221112224111()()().().()1()().tt stttt st st ssE yyEaaaaaaa =+=+差：2211 ()(1()staay=因此，在极限的情形下序列是平稳的。时间序列的平稳性时间序列的平稳性4、AR(1)过程平稳性的条件过程平稳性的条件综上所述，综上所述，AR(1)过程平稳性的条件可总结为：过程平稳性的条件可总结为：(1)齐次解必须为齐次解必须为0，或是该序列从很久以前开，或是该序列从很久以前开始，或是该过程始终平衡。始，或是该过程始终平衡。(2)特征
25、根特征根a1的绝对值必须小于的绝对值必须小于1.此平稳性条件也可简单地概括为：此平稳性条件也可简单地概括为：AR(1)方程的齐次解必须为方程的齐次解必须为0。ARMA(p,q)模型的平稳性模型的平稳性1、ARMA(2,1)的平稳性的平稳性对于对于ARMA(2,1),简化掉不影响平稳性的截距项简化掉不影响平稳性的截距项,有：有：yt=a1yt-1+a2yt-2+t+1t-1 (2.16)使用待定系数法，得其移动平均表示或特解为：使用待定系数法，得其移动平均表示或特解为：yt=0t+1t-1+2t-2+3t-3+其中：其中：0=1，2=a10+，3=a12+a21，i=a1i-1+a2i-2，i
26、2.由特解计算由特解计算yt的均值和方差及协方差分别为：的均值和方差及协方差分别为：Eyt=0；Var(yt)=2(02+12+22+32+)Cov(yt,yt-s)=2(s+s+11+s+22+s+33+)可见，只有可见，只有i序列收敛，序列收敛，yt才具有平稳性，这就要求才具有平稳性，这就要求ARMA(2,1)模型的特征根都在单位圆内。模型的特征根都在单位圆内。ARMA(p,q)模型的平稳性模型的平稳性2、MA(q)的平稳性的平稳性先考虑无限阶先考虑无限阶MA()过程，过程，MA()过程的表达式为：过程的表达式为：xt=t+1t-1+2t-2+3t-3+4t-4+计算其均值和方差及协方差分
27、别为：计算其均值和方差及协方差分别为：Ext=E(t+1t-1+2t-2+3t-3+)=0；Var(xt)=2(1+12+22+32+)Cov(xt,xt-s)=2(s+s+1 1+s+22+s+33+)由此可见，平稳性的充分必要条件为：由此可见，平稳性的充分必要条件为：(1)02+12+22+32+，即，即(i)2有限有限。(2)s+s+1 1+s+22+s+33+由于由于0=1且且s可取可取0,1,2等值，所以条件等值，所以条件2包含了条件包含了条件1。由此条件可知，任何由此条件可知，任何有限有限阶阶MA(q)过程都是平稳的。过程都是平稳的。ARMA(p,q)模型的平稳性模型的平稳性3、A
28、R(p)的平稳性的平稳性p阶自回归模型阶自回归模型AR(p)过程过程的表达式为：的表达式为：(2.19)yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+apyt-p+t如果模型的特征根都在单位圆内，则其特解为：如果模型的特征根都在单位圆内，则其特解为：(2.20)yt=a0/(1-a1-ap)+0t+1t-1+2t-2+3t-3+其中：其中：i-a1i-1-a2i-2-app=0计算其均值和方差及协方差分别为：计算其均值和方差及协方差分别为：Eyt=a0/(1-a1-a2-ap)；Var(yt)=2(02+12+22+32+Cov(yt,yt-s)=2(s+s+11+s+22+s+33+)由此可见，只
29、有由此可见，只有i序列收敛，序列收敛，yt才具有平稳性，这就要求才具有平稳性，这就要求AR(p)模型的特征根都在单位圆内。模型的特征根都在单位圆内。ARMA(p,q)模型的平稳性模型的平稳性4、一般、一般ARMA(p,q)过程的平稳性条件过程的平稳性条件一般自回归移动平均模型一般自回归移动平均模型ARMA(p,q)过程过程的表达式为：的表达式为：yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+apyt-p+t+1t-1+2t-2+qt-q如果模型如果模型AR部分和部分和MA部分都是平稳的，则该过程就是部分都是平稳的，则该过程就是平稳的平稳的。由此可得结论为：。由此可得结论为：由于由于MA部分是有限阶，
30、其本身是平稳的，所以部分是有限阶，其本身是平稳的，所以ARMA(p,q)过程的平稳性完全取决于过程的平稳性完全取决于AR部分的平稳性。只部分的平稳性。只要要AR部分的特征根都在单位圆内，或者逆特征方程部分的特征根都在单位圆内，或者逆特征方程1-a1L-a2L2-apLP=0的根都在单位圆外，的根都在单位圆外，ARMA(p,q)过程就是平过程就是平稳的。稳的。自相关函数自相关函数(ACF)1、AR(1)过程的自相关函数过程的自相关函数对于对于AR(1)过程：过程：yt=a0+a1yt-1+t，其移动平均表示：，其移动平均表示：yt=a0/(1-a1)+t+a1t-1+a12t-2+由此可计算出其
31、均值和方差及协方差分别为：由此可计算出其均值和方差及协方差分别为：Eyt=a0/(1-a1)0=Var(yt)=E(t+a1t-1+a12t-2+)2=2/(1-a12)s=Cov(yt,yt-s)=E(t+a1t-1+)(t-s+)=2a1s/(1-a12)由方差和协方差得自相关函数：由方差和协方差得自相关函数：s=a1s由于由于|a1|1。所以上述式子可得。所以上述式子可得Yule-Walker方程：方程：0=a11+a22+2 1=a10+a21s=a1s-1+a2s-2，s2.将此差分方程两边同除以将此差分方程两边同除以0，得自相关函数式为：，得自相关函数式为：s=a1s-1+a2s-
32、2，s2.记此差分方程的两个特征根分别为记此差分方程的两个特征根分别为1和和2，则有：，则有：s=A11s+A22s，s2.由于由于1和和2均小于均小于1，所以，所以ACF指数衰减收敛于指数衰减收敛于0。自相关函数自相关函数(ACF)3、MA(1)过程的自相关函数过程的自相关函数对于对于MA(1)过程：过程：yt=t+t-1，有：，有：=Eyt=00=Eyt2=E(t+t-1)2=(1+2)21=Eytyt-1=E(t+t-1)(t-1+t-2)=2s=Eytyt-s=E(t+t-1)(t-s+t-s-1)=0于是有：于是有：1=/(1+2)；s=0，s1。这表明这表明MA(1)过程的过程的A
33、CF只有前两阶不为只有前两阶不为0，二阶及以后，二阶及以后各阶全为各阶全为0，是，是1阶截尾的。阶截尾的。自相关函数自相关函数(ACF)4、ARMA(1,1)过程的自相关函数过程的自相关函数对于对于ARMA(1,1)过程，假设过程，假设Eyt=0，则，则a0=0，模型为：，模型为：yt=a1yt-1+t+1t-1使用使用Yule-Walker方法，得：方法，得：Eytyt-s=a1Eytyt-s-1+Etyt-s+1Et-1yt-s,s=0,1,2,由此得：由此得：0=a11+2+1(a1+1)21=a10+12s=a1s-1,s1.由前两式得：由前两式得：0=(1+12+2a11)2/(1-
34、a12)1=(1+a11)(a1+1)2/(1-a12)自相关函数自相关函数(ACF)4、ARMA(1,1)过程的自相关函数过程的自相关函数用用0去除各去除各i，得各阶自相关函数，得各阶自相关函数1=(1+a11)(a1+1)/(1+12+2a11)s=a1s-1，s1。由于差分方程由于差分方程s=a1s-1的特征根为的特征根为a1，所以递归求其解为：，所以递归求其解为：s=Aa1s,s1.这表明这表明ARMA(1,1)过程的过程的ACF从第从第2阶起遵循指数函数变化阶起遵循指数函数变化模式，以指数方式衰减，是拖尾的。模式，以指数方式衰减，是拖尾的。自相关函数(ACF)5、ARMA(p,q)过
35、程的自相关函数过程的自相关函数对于对于ARMA(p,q)过程，假设过程，假设Eyt=0，则，则a0=0，模型为：，模型为：yt=a1yt-1+a2yt-2+apyt-p+t+1t-1+qt-q使用使用Yule-Walker方法，得：方法，得：Eytyt-s=a1Eytyt-s-1+Eyt-pyt-s+Etyt-s+1Et-1yt-s+qEt-qyt-s,s=0,1,2,由于当由于当sq时，时，Et-kyt-s=0，所以当，所以当sq时，有时，有：s=a1s-1+a2s-2+aps-p,sq.这表明在这表明在q阶以后，阶以后，ARMA(p,q)过程的自协方差函数完全过程的自协方差函数完全由此由此
36、p阶差分方程控制。阶差分方程控制。自相关函数自相关函数(ACF)5、ARMA(p,q)过程的自相关函数过程的自相关函数用用0除此方程的两边，得自相关函数的差分方程为：除此方程的两边，得自相关函数的差分方程为：s=a1s-1+a2s-2+aps-p，sq。若记此差分方程的若记此差分方程的p个特征根为个特征根为1,2,p，则其解为，则其解为(假设各特征根互异）：假设各特征根互异）：s=A11s+A22s+Apps,sq.若将若将q,q-1,q-p+1作为初值代入求出待定常数作为初值代入求出待定常数A1,A2,Ap，则有：，则有：s=A11s+A22s+Apps,sq-p.这表明，若这表明，若q-p
37、p时，所有ss=0。这表明AR(p)过程的PACF是p阶截尾的。偏相关函数(PACF)3、ARMA过程的偏相关函数(2)MA过程的PACF对于MA(1)过程：yt=t+t-1，有：(1+L)-1yt=t即：yt=yt-1-2yt-2+3yt-3-4yt-4+t这表明MA(1)过程的PACF是指数衰减的，具有拖尾的性质。对于MA(q)过程，也有类似的结论，即MA(q)过程的PACF也具有拖尾的性质。偏相关函数(PACF)3、ARMA过程的偏相关函数(3)ARMA过程的PACFARMA(p,q)过程的PACF在p阶以后完全由MA(q)部分决定，所以其p阶以后的PACF以指数方式衰减，也具有拖尾的性
38、质。过程ACF PACFAR(p)拖尾p阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾1、样本自相关系数与偏相关系数的计算由于平稳过程一般具有遍历性，可用时间平均去估计空间平均，所以可以根据时间序列样本估计其数据生成过程的均值、方差、协方差、自相关系数和偏相关系数。()()()()()()2221111201-111TTttttTsstt st sTtt sst sssTtsstt syysyyTTcyyyyTyyyycrcyyysy=+=+=的阶样本自回归方程中的系数2、自相关系数的假设检验假设yt是正态平稳过程，则样本自相关系数的方差为：关于自相关函数，常用的假设检验有：(1)检验
39、假设 H0:s=0在此假设下，有：rsN0,Var(rs)检验统计量：z=rs/Var(rs)1/2N(0,1)若|z|z/2，则拒绝原假设，认为s阶自相关系数不为0。()11121,1,112ssjjTsVar rsTr=+教材P64平稳过程的样本自相关函数2、自相关系数的假设检验(2)检验假设 H0:1=2=s=0检验统计量为：Box-Pierce统计量 Ljung-Pierce统计量()221skkQTrs=()()()2212sskQT TrTks=+问题：对于适度大的样本，其效果也比较差，适用于小样本的修正Q统计量平稳过程的样本自相关函数3、偏相关系数的假设检验(略)假设yt是正态A
40、R(p)平稳过程，则样本偏相关系数的方差为：检验假设 H0:pp=0检验统计量：()1,.ssVarspT=()0,11sszNT=平稳过程的样本自相关函数4、模型选择的准则(1)常用的选择准则AIC=T ln(sum of squared residuals)+2nSBC=T ln(sum of squared residuals)+nln(T)选择AIC和SBC值最小的ARMA模型。(2)选择准则构造的原理每增加一阶滞后，虽然会减少残差平方和，但是也会减少自由度，并使预测增加估计参数得着误差影响。所以是否增加滞后，需要在这二者之间进行权衡。平衡点：边际收益=边际成本平稳过程的样本自相关函数
41、5、模型的估计方法(1)AR模型的估计估计AR模型可直接用OLS方法(2)ARMA模型的估计估计ARMA模型用极大似然估计方法条件极大似然估计无条件极大似然估计Box-Jenkins 建模方法1、Box-Jenkins方法步骤(1)模型识别(identification stage)作时序图，判断时间序列有无趋势、异常点、缺失点和结构变化。如存在趋势，则需进行差分；异常点等也需处理。作样本ACF相关图和PACF偏相关图，与理论ARMA模型的ACF和PACF图进行比较，选择可能合适的模型。使用使用ACF和和PACF的基础是序列具有平稳性和可逆性的基础是序列具有平稳性和可逆性。平稳性宽平稳，AR部
42、分的特征根都在单位圆内。可逆性序列可以用有限阶或无限阶收敛自回归模型表示，条件：MA部分的特征根都在单位圆内。Box-Jenkins建模方法1、Box-Jenkins方法步骤(2)模型估计与选择(estimation stage)使用某种合适的方法估计所选出的各个模型。按照吝啬原则(principle of parsimony)在所估计出的模型中选出最终使用的模型。模型选择的准则：AIC和SBC注意：公因子问题(common factor problem)模型的AR部分与MA部分不应有共同的因子。Box-Jenkins建模方法1、Box-Jenkins方法步骤(3)模型的诊断检验(diagno
43、stic checking)残差序列自相关性检验检验的原假设：模型残差为白噪声检验统计量Ljung-Pierce统计量 结构变动检验检验的原假设：序列无结构变化检验统计量F统计量()()()22121sskQT TrTkspq=+Box-Jenkins建模方法2、例子(1)AR(1)模拟序列的建模(2)ARMA(1,1)模拟序列的建模(3)AR(2)模拟序列的建模预测第一个对经济预测的方法论做全面论述的是Morgenstern(1928),没有英语译本，但在Marget(1929)Hendry&Morgan(1995)的著作中均有讨论。Morgenstern认为经济数据不同质，也不独立，违背了
44、概率和统计的必要前提，而满足这些前提条件的数据的样本量又过小，所以没有任何用处经济和商业预测原则上是不可能的。预测Haavelmo(1944)指出，应用统计分析工具的同时回避正式的概率模型的做法是错误的，工具不与统计分布联系起来，本身是没有意义的。Morgenstern指出，人们对预测的反应能使预测本身无效。Marget认为，如果对事件的因果关系是可能的，即使这样的解释不一定完全准确和合理，但基于此上的预测应该是可行的。但是，这一观点假设因果关系本身蕴含了可预报性。预测1、预测的方法条件期望预测若实际数据生成过程是已知的，并且序列yt和t的现在和过去各期的数值也已知，则就可以现在为原点，根据已
45、掌握的信息，使用条件期望的方法对序列yt未来各期的数值进行预测。预测式为：1212(|,.,.)ttjtjttttttE yE yy yy+=预测2、AR(1)模型的预测(1)点预测对于参数已知的AR(1)模型：yt=a0+a1yt-1+t跨前j期有：yt+j=a0+a1yt+j-1+t+j在t时已知信息的条件下，求期望，得：向前1步预测：Etyt+1=a0+a1yt向前2步预测：Etyt+2=a0+a1Eyt+1向前j 步预测：Etyt+j=a0+a1Eyt+j-1预测2、AR(1)模型的预测(2)预测函数在向前j步预测式中，逐次迭代可得：Etyt+j=a0(1+a1+a12+a1j-1)+
46、a1jyt此式是j的函数，称为预测函数。若|a1|1，则当j时，预测函数的极限为：Etyt+j=a0/(1-a1)平稳ARMA模型的条件预测收敛于无条件均值。预测2、AR(1)模型的预测(3)预测误差所谓预测误差，就是yt+j的实际值与其预测值之间的偏差，记为et(j)，即：et(j)=yt+j-Etyt+j将向前1步、2步、预测值分别代入，得：1步预测误差：et(1)=yt+1-Etyt+1=t+12步预测误差：et(2)=yt+2-Etyt+2=t+2+a1t+1j步预测误差：et(j)=yt+j-Etyt+j=t+j+a1t+j-1+a12t+j-2+a1j-1t+1预测2、AR(1)模
47、型的预测(4)条件期望预测的性质 无偏性：Etet(j)=0 方差最小：Varet(j)=21+a12+a14+a12(j-1)当j时，Varet(j)=2/(1-a12)即：预测误差的方差收敛于yt的无条件方差。尽管向前1步预测误差不相关，但向前多步预测误差却存在序列相关。如：由et(1)=yt+1-Etyt+1=t+1，得：Eet(1)et+1(1)=0由et(2)=yt+2-Etyt+2=t+2+a1t+1，得:Eet(2)et+1(2)=a12预测2、AR(1)模型的预测(5)预测区间在t服从正态分布的假设下，对于给定的置信水平1-，可建立yt+j的预测区间为：Etyt+jz/2Var
48、(et(j)1/2如：向前1步预测区间为：a0+a1yt1.96向前2步预测区间为：a0(1+a1)+a12yt1.96(1+a12)1/2预测3、高阶模型预测以ARMA(2,1)为例(1)点预测对于参数都已知的ARMA(2,1)模型：yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+t+t-1前推j期，有：yt+j=a0+a1yt+j-1+a2yt+j-2+t+j+t+j-1在t时已知信息条件下，求期望，得：向前1步预测：Etyt+1=a0+a1yt+a2yt-1+t向前2步预测：Etyt+2=a0+a1Etyt+1+a2yt向前j步预测：Etyt+j=a0+a1Etyt+j-1+a2Etyt+j-2
49、,j2.预测3、高阶模型预测以ARMA(2,1)为例(2)预测误差1步预测误差：et(1)=yt+1-Etyt+1=t+12步预测误差：et(2)=yt+2-Etyt+2=(a1+)t+1+t+2j步预测误差：et(j)=yt+j-Etyt+j=(a0+a1yt+j-1+a2yt+j-2+t+j+t+j-1)-(a0+a1Etyt+j-1+a2Etyt+j-2)=a1et(j-1)+a2et(j-2)yt+j+t+j+t+j-1,j2.预测3、高阶模型预测以ARMA(2,1)为例(3)用时间序列样本估计模型进行预测 时间序列样本量的要求：时间序列样本量的要求：T 50.点预测假设估计模型为：0
50、112211012112011201122 1j ,2.tttttTTTTTTTTTTTTjTTjTTjyaa ya yE yaa ya yE yaa E ya yE yaa E ya E yj+=+=+=+=+则各期预测值为：步预测：2步预测：步预测：预测3、高阶模型预测以ARMA(2,1)为例(3)用时间序列样本估计模型进行预测 预测误差：1步预测误差：2步预测误差：()101211()TTTTTeyaa ya y+=+()201122010121222011212112()()(1)()TTTTTTTTTTTTTTeyaa E ya yyaa aa ya ya yyaaaaya a ya