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1、第2 9 卷第6 期2 0 0 9 年1 2 月黄冈师范学院学报J o u r n a lo fH u a n g g a n gN o r m a lU n i v e r s i t yV o I 2 9N o 6D e c 2 0 0 9高等数学背景下的函数与不等式高考试题分析李明生(武汉体育学院文化课教研室，湖北武汉4 3 0 0 7 9)摘要以高等数学中的有关知识为背景，从连续函数在闭区间上的性质、严格凸函数的性质、詹森不等式三个方面对近几年来全国及各省、市部分高考题，特别是高考压轴题中的函数与不等式综合题进行了分析和解答。关键词函数；不等式；导数；单调性中图分类号G 6 3 3 6
2、 6文献标识码A文章编号1 0 0 3-8 0 7 8(2 0 0 9)0 6-0 2 1-0 4C o l l e g eE n t r a n c eE x a m i n a t i o na n a l y s i so ff u n c t i o na n di n e q u a l i t y 研t ha d v a n c e dm a t h e m a c t i c e sL IM i n g-s h e n g(D e p a r t m e n to f T r a i n i n g，W u h o nI n s t i t u t eo fP h y s i c
3、 a lE d u c a t i o n，W u h a n 4 3 0 0 7 9，H u b e i，C h i n a)A b s t r a c tW i t hr e l a t e dk n o w l e d g eo fa d v a n c e dm a t h e m a c t i c s，w ea p p l yt h ep r o p e r t i e so fc o n t i n u o u sf u n c t i o ni nc l o s e di n t e r v a la n dr i g o r o u sc o n v e xf u n c t
4、 i o n，a n dJ e n s e n Si n e q u a l i t yt oa n a l y s ea n ds o l v es o m e：t e s tc l u e s-f i o n so ft h eC o l l e g eE n t r a n c eE x a m i n a t i o ni nr e c e n ty e a r s，e s p e c i a l l yt h ec o m p o s i t i v eq u e s t i o n so ff u n c t i o na n di n e q u a l i t y K e yw
5、 o r d sf u n c t i o n；i n e q u M i t y；d e r i v a t i v e；m o n o t o n e随着高考制度改革的不断深化，全国以及各省、市自主命题的高考试题不断有所创新。这种创新一方面体现在更加重视对学生能力的考查；另一方面体现在更加注重对数学思想和数学知识应用的考查。它的一个体现就是高考数学题中出现了以高等数学知识为背景的题目。近几年来，以高等数学知识为背景的函数与不等式综合题在高考中频繁出现，并且常常充当了压轴题的角色。此类试题有以下特点：在知识上以函数和不等式为载体研究相关函数的性质；在方法上重点考查求一阶导数、二阶导数，判断函
6、数的单调性，放缩法等方法和数形结合的思想。由于本文出现的定理在各版本的高等数学或数学分析中都可以查到，所以定理的证明过程略去，仅使用其结论。对于本文中不属于以高等数学中的有关知识为背景的试题的子问题仅给出结果不写出解答过程。1 连续函数在闭区间上的性质定理1(有界性定理)若函数以名)在闭区间，上连续，则八戈)在闭区间，上必有界例1(2 0 0 7 年安庆高考模拟题)：1 1设函数八茗)在闭区间J f 上连续，j 常数M，对V x，满足I f(x l肘，那么称以石)是，上的有界函数已知八茗)=；啊一一似，求使J f x)I l 在戈 o，+)上恒成收稿日期：2 0 0 9 4 2 4-2 2 作
7、者简介：李明生，男，湖北武汉人，讲师，理学硕士，从事高等数学教学与研究万方数据2 2 黄冈师范学院学报第2 9 卷立的a 的取值范围解厂(茁)=鲁一n，因为f(戈)在菇E 0，+)上连续，且f(0)=一口，l i m，7(戈)=,x 14l i m(兰一a)=l 一口，所以在戈E 0，+)必有界。1+。x+l尸(菇)=_ j 吾，因为石 0，+)，所以尸(菇)0，从而八茗)在区间 0，+)上是增函(名+1),x+l数从而一a 0 气石)1 一口又因为坂戈)I l 一l 八菇)l 在石 0，+)上恒成立，所以一l 一口且l 一口l，求得0 n 1 本题是以高等数学中连续函数在闭区间上有界定理为背
8、景，结合导数与函数的单调性转化为不等式求解它要求学生有较强的知识转化能力定理2(根的存在性定理)如果函数八戈)在闭区间 口，b 上连续，且，(口)八b)0；()当m l 时，方程厂(茹)=O 在 e 一一m，e 抽一，I 内有两个实数根解(I)当m l 时，(菇)t 0(过程略)()由条件m 1 知e 1 l e 拥，则e 一一i t,l 一 i t,l 时，八1 一m)=1 一m 一踟(1 一m+m)=1 一m 0，贝八1 一m)八e 一”一m)2 2“一3 m=(3+1)“一3 m=3“+c：3“一1+c：一1 3+l-3 m o，又八石)在闭区间 1 一m，e 2 m r n 上连续且单
9、调递增，所以八茗)在开区间(1 一m，e 2 m m)内存在唯一的石2，使得八菇2)=O 综上所述：当m l 时，方程八髫)=0 在 e 一一m，e 抽一m 内有两个实数根解答本题第()问的解答过程简洁明了，其实质就是应用根的存在性定理，考查学生理解题意的能力，利用已知条件是顺利解题的关键2 严格凸函数的性质定义3 1设函数设八髫)定义在区间，上，若对任意菇。，菇2 J，及任意的0 A l，都有八A 茁，)+(1 一A)戈：)抓茗。)+(1 一A z：)，则称八名)是，上的严格上凸函数定理3 如果取A：了1，总有以生善)掣，那么称 石)在区间，上的图象是严格上凸的例3(2 0 0 5 年湖北高
10、考题)y=2。，)一l 0 9 2 并)。-c o s 2 x，这四个函数中，当0 戈l 菇2 丛，掣恒成立的函数个数是()万方数据第6 期李明生：高等数学背景下的函数与不等式高考试题分析2 3 A OB 1C 2D 3解由不等式厂(鱼竽)丛鱼掣可知，函数以菇)在开区间(o，1)内的的图象是严格上凸的，符合条件的函数只有Y=l 0 9 2 x，故选B 本题虽然没有点出所给的定义是严格上凸函数，但考察的是严格上凸函数的定义，它利用定义来理解图形，考察学生的数形结合思想定理4 设函数八戈)在 口，b 上连续，在(a，b)内具有一阶和二阶导数。如果尸(菇)0，那么八茗)在 口，b 上的图象是严格下凸
11、的；反之如果尸(菇)0，讨论Y=八戈)的单调性；()若对任意茗(0，1)，恒有八戈)1，求口的取值范围解(I)当0 2 时，厂(茗)在(一，一孚)1 9(孕a-2，1)u(1，+)内为增函数，在(一-2，生兰)内为减函数(过程略)()由题意可知：对任意菇(0，1)恒有以石)l，即出一 l 饿一 粤两边同时取自然对数I n 得一似 I n 鸶对任意石E(o，1)恒成立令g-(石)=一仳，9 2(戈)=l I l 等，则g 2 0)_ 南，躬(菇)一志l 一茗tl 一菇J因为对任意石(0，1)g 2(菇)O 且g，2(菇)9 2(石)知，g。(髫)的图象总在g：(菇)的图象的上方，所以g。(彳)的
12、图象不在直线方程Y=一h 下方。则一积一2 戈对任意茗(O，1)恒成立，解得口2 本题主要考察利用导数的方法判断函数的单调性、左端点求右极限的知识，在此基础上结合严格上凸函数图象的特性，根据求使不等式成立的条件，巧思妙解求出的取值范围3 詹森(J e n s e n)不等式定理5 若八戈)是 口，b 上的下凸函数(尸(戈)o)，则对任意气E a，b ，A，0(i=l，2，n)，茎A f=l，有以羞A i)夏A 八X i)例5(2 0 0 5 年全国高考题)(I)设函数八z)=x l o g：戈+(1 一菇)l 0 9 2(1 一z)(0 石 1)，求厂(菇)的最小值()设正数P l，P 2，P
13、 3，P 2。满足P 1+P 2+尸3+P 2，。=1，证明P l l 0 9 2 P I+P 2 l 0 9 2 P 2+P 3 l 0 9 2 P 3+P 2。l 0 9 2 P 2。一1,解(I)构造函数g(茗)=x l o g：z。那么g(1 一戈)=(1 一戈)l o g：(1 一算)，其中0 算 0，所以g(髫)在开区间(0，1)内的图象是严格下凸的由J e n s e n 不等式有g(半)g(石)+g(1 一戈)，即g(戈)+g(1 一龙)2 9()：2 了1l。9 2 下1；一1，所以厂(菇)一1。即八菇)的最小值是一1()由J e n s e n 不等式可知g(尘生笔单)丢
14、g(P。)+g(P 2)+g(P 2。)，将P I+P 2+P 3+P 2。=1 代人上式左边得g(者)者 g(P 1)+g(P 2)+g(P 2。)，所以g(P 1)+g(P 2)+g(P 2)，2 g(9 1-1)：2 n 1。9 2 石1：一n，即P ll 0 9 2 P l+P 2 l 0 9 2 p 2+P 3 l 0 9 2 P 3+P 2。l 0 9 2 P 2。一I,本题是当年全国高考理科卷压轴题，考察了考生巧构函数，利用求导数的方法判断函数图象的凸性，运用J e n s e n 不等式。可使解答过程简洁流畅参考文献：1 刘先德，毛光寿高等数学背景下的高考函数问题 J 中学数学
15、研究，2 0 0 7，(5)：1 6 一1 8 2 刘种以高等数学内容为背景的试题例析 J 中学数学教学参考，2 0 0 6，(6)：3 5 3 7 3 张喜堂数学分析 M 武汉：华中师范大学出版社，2 0 0 0 4 同济大学数学系高等数学(第六版)M 北京：高等教育出版社，2 0 0 8(张所滨)咕、_ 吣、崎、p 吣、p p q，、窜p p p 崎、p 哂、-_ 斗、o q、j 产崎、譬q，=、p q p 噜、q 喵p 吣、o 心p、9 4(上接第1 1 页)表3 方差分析参考文献：1 蒋仲荪，蒋庆医学科研设计及s P s s 软件应用(第l 版)M 杭州：浙江大学出版社。2 0 0 5
16、：1 0 0 1 0 9 2 马斌荣S P S Sf o rW i n d o w sV e r 1 1 5 在医学统计中的应用(第3 版)M 北京：科学出版社，2 0 0 4：1 6 4 1 7 2 3 侯华玲现代社会经济统计学S P S S 应用(第1 版)M 北京：中国统计出版社，2 0 0 2：1 5 3 1 6 9 4 王乐三，等S P S S 在医学科研中的应用(第l 版)M 北京：化学工业出版社，2 0 0 2：1 3 2 1 4 3(张所滨)万方数据高等数学背景下的函数与不等式高考试题分析高等数学背景下的函数与不等式高考试题分析作者：李明生作者单位：武汉体育学院,文化课教研室,
17、湖北,武汉,430079刊名：黄冈师范学院学报英文刊名：JOURNAL OF HUANGGANG NORMAL UNIVERSITY年，卷(期)：2009，29(6)引用次数：0次 参考文献(4条)参考文献(4条)1.刘先德,毛光寿.高等数学背景下的高考函数问题J.中学数学研究,2007,(5):16-18.2.刘(羽中).以高等数学内容为背景的试题例析J.中学数学教学参考,2006,(6):35-37.3.张喜堂.数学分析M.武汉:华中师范大学出版社,2000.4.同济大学数学系.高等数学(第六版)M.北京:高等教育出版社,2008.相似文献(10条)相似文献(10条)1.期刊论文 李世杰.
18、LI Shi-jie 一个母函数不等式的高维推广-北京联合大学学报（自然科学版）2005,19(1)将一个重要的母函数不等式作了高维推广,并由它得到了m维空间的一系列不同类型的函数不等式,它们是算术-几何平均值不等式、柯西不等式等的联合推广.2.学位论文 梅韬 关于鞅的(,)型不等式 2001 该文系统地研究了与两个函数,有关的不等式,包括:鞅的极大函数不等式,双均方与条件均方函数不等式、双鞅变换不等式、极大函数双凹不等式、反向双极大函数不等式,以及函数空间的双奇异积分不等式等.该文利用这些不等式深入地研究了几种Orlicz鞅空间L,H,S之间的关系,揭示了这些鞅不等式成立与函数自身几种特殊性
19、质这间的等价性.经典鞅论中的某些算子,例如极大算子,均方算子等在指标p的一定范围(1p)内具有良好的L性质;但在极端情形下,例如:p=1,p=时,呈现了奇异性.该文详细研究了这类奇异状况,有关结果推广了经典的鞅不等式,如Doob极大函数不等式、Burkholder-Davis-Gundy均方函数不等式、Lenglart不等式等,解决了在这些鞅不等式在函数数量指标取极端值时遇到的困难,并且得到了这些经典鞅不等工成立的充分必要条件,同时该文给出了函数几何性质;严格凸、严格凹、限制增长性等的鞅刻划,以及Orlicz空间L可分性与自反性的鞅刻划.3.期刊论文 陈颖树.俞元洪.CEHN Ying-shu
20、.YU Yuan-hong 二次可微函数的Ostrowski型不等式-数学的实践与认识2005,35(12)研究了一类二次可微函数,利用二阶导数的上界和下界,给出了二次可微函数的Ostrowski型不等式,同时也推广了经典的中点不等式和梯形不等式.4.期刊论文 蒙诗德.刘伟民.张正杰.MENG Shide.LIU Weiming.ZHANG Zhengjie 求解Sobolev和Caffarelli不等式的达到函数-华中师范大学学报（自然科学版）2009,43(3)在偏微分方程解的存在性研究过程中,一些特殊不等式的使用具有重要作用.而这些特殊不等式的达到函数是否存在又具有重要意义.要想得到这些
21、特殊不等式的达到函数的解析式是一件非常困难的事情.应用球对称原理及常微分方程求解的方法得到了Sobolev不等式和Caffarellie不等式的达到函数的一般解析式.5.学位论文 王五生 积分不等式的若干推广 2007 尽管多数微分方程无法求出精确解，但是人们可以利用适当的不等式技巧对解的模进行估计这样的估计可以证实解的存在性、唯一性、有界性、稳定性和不变流形等定性性质这样的不等式就足所谓的积分不等式自从两位数学家Gronwall和IlBellman提出具有划时代意义的不等式以来，Gronwall-Bellman积分不等式及其离散形式存不断地得到推广 欧阳亮在1957年为了研究二阶微分方程解的
22、有界性，给出了左边足未知函数平方的积分不等式，这个不等式推广了Gronwall-Bellman的积分不等式Defermos在1979年为了建立热力学第二定律与稳定性之间的联系，进一步把欧阳亮的不等式推广成被积函数是未知函数的一次项与二次项的和的积分不等式Pachpatte推广了Defermos的积分不等式的离散化形式，推广后的和差分不等式右边的和号内包含两项，一项是未知函数的一次项，另一个是包含未知函数与一个非递减函数的复合函数的项本文第二章进一步把Pathpatte的和差分不等式推广成带有时滞的和差分不等式，其中和号内是多项的和，和号内的每一项包含未知函数与一个不具有单调性的函数的复合函数我
23、们给出了不等式中未知函数的估计，并把所得结果用于研究时滞差分方程初值问题解的有界性与唯一性 另一方面，Bihari在1956年把Gronwall-Bellman积分不等式中右边被积函数中的未知函数推广成未知函数与非递减函数的复合函数，Lipovan在2000年又把Bihari的积分不等式中的积分的上下限从自变量推广成可求导增函数，从而使积分不等式含有时滞Agarwal等人在2005年又把Lipovan的积分不等式进一步推广成Gronwall类时滞积分不等式，其中积分号外的常数项推广成函数项，把两个积分项推广成多个积分项Cheung在2006年把Pachpatte的一元积分不等式和Lipovan
24、的二元积分不等式推广成二元时滞积分不等式，这个不等式的左边是未知甬数的幂函数，右边是一个常数项与两个积分项的和，其中一个积分项的被积函数含有未知函数的幂函数，另一个积分项的被积函数含有未知函数与非递减函数的复合函数本文第三章第一节在Cheung和Agarwal等人结果的基础上建立了一个具有时滞的Gronwall类二元积分不等式，与Cheung的不等式比较这个不等式把积分号外的常数项推广成二元函数项，把二个积分项推广成多个积分项，且不要求被积函数中与未知函数进行复合的函数具有单调性为了克服没有单调性带来的困难，我们采用了单调化技巧，由已知函数构造出强单调函数序列(即，每个函数单调，且列中后一个函
25、数与前一个函数的比也足单调函数)为了说明未知函数估计的有效区域，必须确定在不同情况下给出的多个区域之间的包含关系，我们利用比较不同区域的边界条件得出了它们的包含关系我们给出不等式中了未知函数模的估计，并把所得结果用于研究偏微分方程边值问题解的有界性、唯一性与连续依赖性用我们的结果可以估计CheungNonlinear Anal，2006，64，21122128的积分不等式中未知函数的模，也可以估计Agarwal等人ApplMathComput，2005，165，599612的积分不等式中未知函数的模Pachpatte在2002年建立了含四重积分的二元积分不等式，不等式中未知函数都足一次的本文在
26、第三章第二节推广了Pachpatte的结果，把Pachpatte的不等式右边的未知函数的一次项推广成非递减函数与未知函数的复合函数，给出了未知函数模的估计，把所得结果用来讨论积分微分方程解的唯一性与有界性本文在第四章第一节把JMathAnalAppl，2006，319，708724中的不等式推广成一个新的和差分不等式，这个不等式和号外是一个非常数项，和号内包括未知函数与不具有单调性的函数的复合函数我们给出了未知函数模的估计，并用我们的结果讨论了偏差分方程边界值问题解的有界性、唯一性和连续依赖性第四章第二节把Pachpatte的关于未知函数是线性的和差分不等式推广成关于未知函数足非线性的一个具有
27、四重和的和差分不等式，并用所得结果讨论了一类具有双重和的差分方程解的有界性与唯一性 在动力系统中不变曲线起着重要作用人们通过把一个动力系统限制存不变曲线上，可以把该系统简化成低微动力系统在1997年Ng等人研究了具有逐段常数变量的二阶微分方程的不变曲线司建国等人在2001年讨论了不变曲线的解析性，在不动点的特征值不在单位圆和特征值在单位圆上但满足Diophantine条件的情况下，证明了解析不变曲线的存在性，在2002年研究了另一个平面映射的解析不变曲线最近研究不满足Diophantine条件的情况也取得其它一些结果本文第五章讨论了非线性二阶差分方程的解析不变曲线的存在性问题，不仅讨论了特征值
28、不在单位圆和特征值在单位圆上满足Diophantine条件的情况，而且讨论了特征值为单位根又明显不满足Diophantine条件的情况6.期刊论文 桂旺生.GUI Wang-sheng 高阶可微函数Ostrowski型不等式-大学数学2007,23(2)研究了一类n阶可微函数,利用其n阶导数上、下界以及Cruis不等式,给出了n阶可微函数Ostrowski型不等式,从而推广二阶可微函数Ostrowski型不等式.7.期刊论文 侯宗毅.王五生.HOU Zong-yi.WANG Wu-sheng 一类非连续函数积分和不等式中未知函数估计的证明过程-广西科学院学报2009,25(3)利用数学归纳法和
29、积分不等式技巧,给出一类具有时滞的非连续函数积分和不等式中未知函数估计的证明过程.8.期刊论文 杨帆.陈超平 Gamma函数和Psi函数的单调性质与不等式-河南理工大学学报（自然科学版）2009,28(6)给出了一族含有Gamma函数的对数完全单调函数,建立了一些含有Psi函数和Polyamma函数的不等式,推广并改进了一些已有的结果.另外,给出了函数x2x+12-(x)-12x的单调递增性的新证明.9.期刊论文 姜卫东.JIANG Wei-dong 关于反余弦函数的Shafer-Fink型不等式-数学的实践与认识2009,39(2)改进了Carlson不等式,得到了关于反余弦函数的Shafer-Fink型不等式.10.期刊论文 姜天权 函数平均值的一个不等式及其应用-南都学坛（自然科学版）2001,21(6)证明了有关函数平均值的一个估值不等式,应用它推出了若干重要的不等式.本文链接：http:/