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1、1二、希克斯需求函数二、希克斯需求函数（HicksHicks demanddemand functionfunction）或或补偿需求函数（补偿需求函数（compensatedcompensated demanddemand functionfunction）希克斯需求函数的定义有两种形式。1.用最小支出问题的解定义希克斯需求函数，记为 x x x x。),(u u u up p p ph h h h实际上，就是说表示消费者在最小支出时所选),(u u u up p p ph h h h择的优化消费束。而用来购买消费束商品量的支出，),(u u u up p p ph h h h是消费者为达到
2、效用的最小支出，此时，二者之u u u u),(u u u up p p pe e e e间存在如下关系nipupeuphxiii,2,1),(),(*L=称为谢伯特（谢伯特（ShephardShephard）定理）定理。：用最小支出问题的解：用最小支出问题的解),(uph*xxpminuxuts)(.证明：)(),(xuuxpxL+=在处有。xpmin)(),(*xuuxpxL+=利用包络定理可得：。),(),(),(*uphxpxLpupeiiii=2.另一种定义希克斯需求函数的方式是从财富补偿思路2出发的。（希克斯需求函数更具有政策性）当商品价格变化之后，为保证消费者的效用保持不变，我们
3、给消费者一些补偿，因此改变了收入水平，此时可定义一个消费者的补偿需求函数，将购买的商品数量作为这些条件下的价格的函数，称为补偿需求函数补偿需求函数。利用固定消费者效用水平约束下，消费者支出最小化而得到。希克斯需求函数具有对价格的零齐次的性质。p对于任意，都有0 0 0 0 a a a a),(),(u u u up p p ph h h hu u u uapapapaph h h h=成立。由谢伯特定理，而支出函数i i i ii i i ip p p pu u u up p p pe e e eu u u up p p ph h h h =),(),(是价格的一次齐次函数，而一次函数的一阶导
4、数是零),(u u u up p p pe e e e齐次的。这个性质的经济含义经济含义是指在条件下最小化()u xup x导出的最优消费束和在同样条件下最小化所导出的ap x最优消费束是相同的，即。),(),(uphuaph=三、对偶原理三、对偶原理对偶性通常是指一些成对问题或概念。比如，消费者效用最大化问题和支出最小化问题，两者的行为原则是一致的，只是目标和约束条件的表达刚好相反。在需求分析中，存在四个重要的恒等关系，称之为对偶3性。如果效应函数如果效应函数是严格单调和连续的，而且消费者是严格单调和连续的，而且消费者效效)(u u u u用最大和支出最小问题都有解，用最大和支出最小问题都有
5、解，则（1 1）马歇尔马歇尔),(,),(wpvphwpx（2 2）希克斯希克斯),(,),(upepxuph（3 3）支出函数支出函数wwpvpe),(,（4 4）间接效用函数间接效用函数uupepv),(,证明：只需证明（1）、（2）两个恒等式，（3）、（4）两个恒等式同时得证。1、按照定义是问题),(w w w wp p p px x x x)(maxmaxmaxmaxx x x xu u u uw w w wpxpxpxpxt t t tS S S S .的解。记。将如此定义的最大),(),(w w w wp p p pv v v vw w w wp p p px x x xu u u
6、 uu u u u=化效用水平，置换到问题pxpxpxpxminminminminu u u ux x x xu u u ut t t tS S S S=)(.中，只要证明仍然还是最小支出问题的解即可。),(w w w wp p p px x x x假设最小支出问题的解是，而且，则x x x x ),(w w w wp p p px x x xx x x x 有，。w w w ww w w wp p p ppxpxpxpxx x x xp p p p 且，由于是严格递增函数，必然存在一个，使w w w wx x x xp p p p=u u u ux x x x 得),()()(u u u u
7、p p p ph h h hu u u ux x x xu u u ux x x xu u u u 且w w w wx x x xp p p p E1E必需品必需品(necessity)(necessity)：弹性值很小且的商品。1E3.3.由弹性定义的收入与价格变动的关系。由弹性定义的收入与价格变动的关系。由于消费者在上的支出是，则单位价格变动对x x x xpxw=收入的影响为)1()1(Exdpdxxpxdpdxpxdpdpxdpdw+=+=+=显然当价格上升时，p若，消费者购买商品（必需品）的支出1E0 0 0 0 dpdpdpdpdwdwdwdw增加；若，消费者购买商品的支出不变；1
8、=E0 0 0 0=dpdpdpdpdwdwdwdw7若，消费者购买商品（奢侈品）的支出1E0 0 0 0 吉芬商品：01五、恩格尔合并条件五、恩格尔合并条件对预算约束进行全微分，有2211xpxpw+=（1 1）22221111dxpdpxdxpdpxdw+=10假定价格不变，也就是说，由此，（1）变成021=dpdp2211dxpdxpdw+=两边同乘以，右边第一项乘以，第二项乘以，然w w w ww w w w1 1 1 11 1 1 1x x x xx x x x2 2 2 22 2 2 2x x x xx x x x后等式两边除以，则dwdwdwdw22221111xxdxpxxdxpwwdw+=dwdxwxpxwdwdxwxpxw222211111+=而，故有wxpa111=wxpa222=（2 2）12211=+aa（2）式称为恩格尔合并条件恩格尔合并条件，表明收入弹性以商品支出比收入弹性以商品支出比率加权之和等于率加权之和等于 1 1。注意：注意：对于希克斯需求函数对于希克斯需求函数，由于收入不是这些函数，由于收入不是这些函数),(u u u up p p ph h h h的自变量，所以不存在收入弹性。的自变量，所以不存在收入弹性。