《多自由度线性阻尼系统的模态分析法.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多自由度线性阻尼系统的模态分析法.pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、?年 月固体力学 学!报第期多自亩嗽经性租尼系统的模态分析法方同#西 北工业 大 学提要本文将文献仁%中所述的模态展式,推广到系统质量、阻 尼、刚度矩阵均为非对称 的情形!在论 证中利用 了伴随矩阵的特点,推导较为简捷!一、弓&言在考察多白由度线性系统 的动响应时,常常采用模态分析法!人们比较熟悉 的是基于实模态#无阻尼系统的模态的分析法,但这种方法只适用于系统的 阻尼矩阵可借实模态 变换进行对角化 的情形!为了克服这一 困难,人们建立了基于复模态#线性阻尼系统的模态的分析法,但只是近些年来才得到 工程上的重视和应用!有关复模态分析的代表性文献有?一%!总 的说来,建立系统响应的模态展式 的方
2、法 大体有三种一 种是 将一个。自由度的系统化为(。个一阶系统来处理)+,一种是先对。个二阶方 程 组找出特征矢量 之间的 正交关系,再建立 系统响应 的展式川另 一种是利用拉氏变换,先建立传递函数的模态展式,再求系统的响应./!三 种方法 异曲同土,得到的展式完全一致,只是 展式建 立 的途 径不 同!本文采用第三种论证方法,将文献 习的结论推广到系统质量、阻尼、刚 度矩阵为非对称的情形!亩于在论证中利甩了伴随矩阵的特点,故简捷地得到了模态展式!二、本征运动设”个 自由度的线性非保守系统的运动微分方程 可表示为0牙12分13二4了#5#+式 中二为。6阶位移列 阵,7#5 为,6阶扰力列阵,
3、而0、2、3 分别 为 系统 的 质量、阻尼、刚度矩阵,它 们都是86”阶实数矩阵!我们假设0与3 是正定的!关于工?9年%月?:日收 到!第期方同多 自由度线性阻尼系统的模态分析法阻尼矩阵2,假设它 不满足可以用实模态变换进行对 角化的条件),!系统的本 征运动微分方程可表 示为0云12毖13劣49#(本征运动 可设为如下 形式戈4;?定义本征矩阵#.为刀#二.=01213#%方程#?可写 成#.尤49#这一方 程有非零解的条件为#.二】#.卜。#:它称为系统 的特征方程!这一方程 的(8 个根.,#,4?,(,8 称 为特征值,它们 可以是 实数、虚数 或复数!按 假设0、2、3 都是实数
4、阵,这时 系统的复数#或虚数特征根必定共扼成 对地出现!当 阻尼矩阵2正定时,特征值就只能取负实数或 具负实 部的复数!对应于每个特征值.,由方程#可确定一特征列矢量;,#带一个任意常数乘子!它 确定着系统的某种本征 运动形式!当.,为虚数时,它对应着系统的正 弦型保守振动当.+为负 实数时,它对 应着系统的自由衰减运动,当勺为具有负实部的复数时,它 对应 着系统中具有特定的频率 与减幅率的自由衰减振动!当./为正实数或具有正实部 的复数时,它对应着系统的发散运动!所有这些特征 列矢量 可构成一个列矢模态矩阵#86(8阶,或称右模态 矩阵巾二;=,#数学上,从本征矩阵刀#.,还可按下述方程刀#
5、.49#对应 于各个特征值.,确定一系 列特征行矢量于#;。阶,所有这些特征行矢量 可构成一个行矢模态矩阵#(968阶,或称左模态矩阵#?、&(加。户月!.式 在二.,时,有 唯一 确定的规范化解,从上述方 程可以断定列均与;,差 一任 意常数乘子!再对#?9?式两端后乘以脚#.,可得#4?刀#.#.当二凡时,上式成为#?9?#.,中各#?9第期方同多 自由度线性阻尼系统的模态分析法+?#.,#%?49考虑到#式,从上述方程可以断定?#.+中各行均与于差 一任意常数乘子!由此可见,?#.+可表 示为?#,4?,;,衅#?式中?+为待定常数乘子!为了求?+,将式#对求导,可 得华#.一#华?、刀
6、#.?刀#.1?.。#.华刀#.?.仁?.少一口上式 两 端后乘以;,再 令二,可 得#.,;,4?#.,(,012;+4?,;,歹(%,012;,按假设.,是#.的单根,故有#.子9!再令上式右端花括号 内的量 为于=.012;,三。,于是有#?#.?7一一刀之#?%将#?、#?%式 代入#?(式,得/;、万!月石巩再将它代入#?式,得#.4乙二;歹从.#.一%(#?:这就是 我 们要找的传递函数矩阵用 系统的特征 行、刀#.三+?刀,#.,刀,#.于是#?:式可 写成列矢量 表示 的展式!?引入矩阵刀娜一胡#.一%双#.4巾刀#.梦#?顺便指出,上 述(8个特征列 矢量与(8个特征行矢量并
7、不相 互独 立!在求系统响应时要用到它 们之间的一个关系式共;,于一分一而一一“#?事实上,当的模充分大时,#.可写成,占一了/六八!4夕十十二丁二、乙问一一将它代入#?9式,有买嗜二#1,一、=0十2、4?:固体力学学报一一一,一一一一一一一一一!一一!一 一一一一?年一一一一比较上式两端一次项系数,即可得上述关系式!#?:式 与#?式 可以看作文献乞/中#!?式与#!?式在非对称情形的推广!参考文献夔?,%3,2+8?5.+8 5?5+875+几7?+8?8?+.5.!_!,/!0!,(%#?%,85+85 5?5+875 55.+8?.5+5+.,0+5,!,8?5+?7?,?!?8+.
8、,!88,?也+8,85.!,公,%77+?5+8.上?#?:!+口+?5+8.,58?位+.0?+?82!,!,#+,:!7?红?8 8 8.?5+.5也.,、尸、尹、/!山公/月廿岁!气5三!,%(,(%#?:!%胡海昌,多自由度线性 阻尼系统的振动问题,固体力学学报,?#?9!又:?!,/人0,5 857+?5+8至?鱼.。戈.,?8.!0,?(#?!0 口00 0 0?8 8#5人口5亡川,亡心人”.5+5“.5?5?2”5+.仁8.又 6?8.王8?5+.58 8 8.?5+.5.+58.5+?功?5+。?_+8王?王?+8?7555?8.7 5+.75?+8+8?5+.,5已6也?7 85+8?5+6?.8+5五?.!