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1、2 2 6 价值工程基于M A T L A B 的人口预测方法分析P o p u l a t i o nP r e d i c t i o nB a s e do nM A T L A B易亮Y iL i a n g(西安工业大学经济管理学院，西安7 1 0 0 3 2)(X i a nT e c h n o l o g i c a lU n i v e r s i t yE c o n o m i c sa n dM a n a g e m e n tC o l l e g e，X i a n7 1 0 0 3 2，C h i n a)摘要：本文运用曲线拟合、灰色系统理论和插值方法并接合M
2、A T L A B 编程实现对我国人口发展进行预测，并对预测结果进行分析比较A b s t r a c t：I nt h i sp a p e r,c u r v ef i t t i n g,a n di n t e r p o l a t i o no ft h eg r a ys y s t e mt h e o r ya n db o n d i n gM A T L A Bp r o g r a m m i n ga l eu s e dt op r e d i c tt h ed e v e l o p m e n to fC h i n e s ep o p u l a t i
3、o n a n dt h ep r e d i c t e dr e s u l t sw e r ec o m p a r e d 关键词：曲线拟合；灰色预测：分段插值；人口预测K e yw o r d s：c u r v ef i t t i n g；g r e yp r e d i c t i o n；p i e c e w i s ei n t e r p o l a t i o n；p o p u l a t i o np r e d i c t i o n中图分类号：G 4 2文献标识码：A文章编号：1 0 0 6-4 3 1 l(2 0 1 2)0 9-0 2 2 伽20 引言人
4、口问题是2 l 世纪我国面临的最重大问题之一，无论是对我国目前经济发展状况的认识，还是对未来经济发展的预测，人口问题的研究都具有十分重要的意义。本文分别结合曲线拟合、灰色系统理论和插值方法的预测原理并通过M A l r I A B 编程实现对我国未来1 5 年的人口发展进行预测，并对预测结果进行分析比较，从而找出一种更为合理的预测方法。1 人口预测数学模型的建立1 1 曲线拟合模型的建立所谓最小二乘法就是根据实验数据(x i，Y；)(i-1，2，n)，寻找函数f(x)，经过多次待定函数f(x)或者函数f(x)中的未知参数，使得函数“x)在点X；(i=l，2，n)处的函数值“x j)分别与各个观
5、测数据点y I 偏差的平方和r=r 2=(“x i)一y i)2zIitl达到最小。即要求数据点(】【i，y 1)分别与预测数据点(x i，f(x i)重合，这种方法也就是所谓的数据拟合法。在此我们选取多项式拟合的方法对其实验数据进行拟合。即设f(X)=a o+a l x+a 2 x 2+a 叩x“。对于拟合次数m 的选取，当m为何值时拟合的结果与实验数据的误差最小即拟合效果最好。在此借助于最小二乘法的原理并通过m a t l a b 编程实现对拟合次数m 的选取。进而实现对人口的预测。1 2 灰色预测模型的建立灰色预测法是一种对既含有已知信息又含有不确定因素的系统进行预测的方法，它的特点是所
6、需信息量少，不仅能够将无序离散的原始序列转化为有序序列，而且预测精度高，能够保持原系统的特征，较好地反映系统的实际情况。这里我们用G M(1，1)模型对人口进行预测。G M(1，1)模型是基于累加生成的数列预测模型，建立的步骤为：x o(1)，x o(2)，x 0(M)是所要预测的某项指标的原始数据。对原始数据作一次累加生成处理，即三x l(M)=艺x v(t)(1)1；l得到一个新的数列。这个新的数列与原始数列相比，其随机性程度大大弱化，平稳性大大增加。将新数列的变化趋势近似地用微分方程描述，1【1J粤一+缸：I l(2)d t其中a，u 为辨识参数。辨识参数通过最小二乘法拟合得到，l a1
7、-(B T B)。B T Y。(3)l UJ一构造数据矩阵，(3)式中Y。为列向量，Y。=【x o(2)，x o(3)，x 0(4)，x o(M)r，B 为构造数据矩阵，作者简介：易亮(1 9 8 3 一)。男，陕西西安人，西安工业大学经济管理学院，助教，硕士研究生，研究方向为应用数学和管理学。B=(1)+x“(2)】l告(2)+x(3)】li-上(M-1)+x(M)】1(4)(蓟求出预测模型x(t+1)：x I(1)一旦1e 1+旦(5)LaJa根据以上步骤并通过m a r l a b 编程实现对人口的预测。1 3 插值模型的建立所谓插值法就是根据已知的数据点(轴Y。)，i=l，2，n，求一
8、个函数f(x)，使得函数f(x)在已知的数据点(x i，Y i)处有f t x i)-Y l，由此来预测未知点x 处的函数值y j。在此我们选取多项式插值法来给出未知点处的预测函数值。即求一个n 次多项式P。(X)=a o+a l x+a 撰2+a F(n+1 个数可以确定一个n 次多项式)，使得多项式P n(x)在插值结点上满足条件P n(】【i)=y，i-O，l，n。一般情况下，当插值结点较少，插值区间 r a i n x I ，m a x x i 较小，未知点x l 属于插值区间内部时，预测值一般较为准确，当未知点x；属于插值区间外部时，很难保证能够达到一定的精度。为了避免这些问题发生，
9、我们采用分段插值的方法。根据以上方法并通过m a t l a b 编程实现对人口的预测。2 人口预测实例2 1 曲线拟合预测及分析对于以上提供的曲线拟合的原理及方法，我们根据我国1 9 9 1 年到2 0 0 6 年这1 6 年间的人口统计数字，采用多项式拟合的方法并通过m a t l a b 编程预测未来1 5 年的人口数字。通过选取不同的次数执行相关程序，得到不同拟合次数时的误差值进而确定拟合效果最好的多项式。表1 即为部分不同次数时的误差值。表1 不同次数的拟合误差值3456780 0 0 0 9 60 0 0 0 2 20 0 0 0 2 2+0 0 0 1 90 0 0 3 7O 0
10、 4 8 l从表l 中我们可以看出拟合次数为4 和5 时的误差值最小，也就是说这时拟合效果相对来说比较好。在此我们选取拟合多项式的次数为5 来进行人口预测。以下为实际统计数据与预测数据的对比图。图l 中实线表示1 9 9 1 年到2 0 0 6 年的人口统计数字，“一点表示5 次多项式拟合后给出的人口预测数字。2 2 灰色预测及分析由以上所提供的灰色预测方法，我们根据我国1 9 9 1 年到2 0 0 6 年这1 6 年间的人口统计数字，采用G M(1，1)模型并通过m a t l a b 编程预测未来1 5 年的人口数字。执行相关程序，我们得到未来1 5 年的人口预测数据。图2 为实际统计数
11、据与预测数据的对比图。图中实线表示1 9 9 1 年到2 0 0 6万方数据V a l u eE n g i n e e r i n g2 2 7 鼍竺，_ 鼍，螋_ 掣型鬯竺磐掣州嘲哼竺竺!皇崎嘴墅粤奠寰岬竺塑苎!篡哩粤皇世苎!曼!寰亨烹粤岬鼍，!，鼍攀蔓!繁鼍苎苎鼍咛瞿奠寰鼍蔓，曼坤烹_ _!_ 孽鼍，鼍皇鼍竹蔓鼍堂喈苎苎孽_ 孽 粤，_ ，_ _ 唑q _，!烹图1年的人口统计数字，“n 点表示通过G M(1，1)模型给出的人口预测数字。图22 3 插值预测及分析由以上所提供的插值预测方法，我们根据我国1 9 9 1 年到2 0 0 6 年这1 6 年间的人口统计数字，采用分段插值方法并
12、通过m a t l a b 编程预测未来1 5 年的人口数宇，即用每5 年的统计数宇来进行一次预测。图3 为实际统计数据与预测数据的对比图，图中实线表示1 9 9 1 年到2 0 0 6 年的人口统计数字，“”点表示通过分段插值方法给出的人口预测数字。3 人口预测模型的分析比较以上通过曲线拟合、灰色系统理论和插值法分别对我国未来1 5 年的人口进行了预测，但哪一种方法的预测值更精确呢?为此我们通过误差值检验法来对三种方法进行分析比较，从中找出一种更为合理的预测方法。表2 为三荦中方法的预测值与实际统计数值之间的误差值。裹2预测法拟合预测灰色预测插值预测误差值0 0 0()2 20 0 5 1
13、3O 1 1 1 3从表2 中可以看出，对于1 9 9 1 年至2 0 0 6 年闻的人口预测数据与统计数据之间的误差值，拟合法预测的精度最好，灰色预测法精度较次之，而插值预测法的精度最低。因此对于预测数据，我们可以选择拟合预测和灰色预测。表3 为分别用三种方法对我国未来1 5年人口的预测数据。衰3年份拟合预测数宇灰色预测教字擂值预测教字2 0 0 61 3 1 4 7 31 3 2 3 8 71 3 3 6 0 52 0 0 71 3 2 3 0 61 3 3 4 6 21 3 2 3 5 32 0 0 81 3 3 2 5 31 3 4 5 4 61 3 2 2 3 32 0 0 9】3
14、4 3 6 31 3 5 6 3 91 3 1 1 7 22 0 1 01 3 5 6 9 21 3 6 7 4 11 3 0 3 5 22 0 1 l1 3 7 3 0 11 3。7 8 5 l1 3 踟2 0 1 21 3 9 2 5 81 3 8 9 7 11 4 2 9 4 92 0 1 31 4 1 6 3 31 4 0 1 0 01 6 4 9 1 82 0 1 41 4 4 5 0 61 4 1 2 3 72 0 3 3 8 22 0 1 51 4 7 9 6 11 4 2 3 8 52 6 4 4 3 52 0 1 61 5 2 0 黼1 4 3 5 4 13 5 5 4 6
15、52 0 1 71 5 6 9 7 81 4 4 7 0 74 6 8 2 1 22 0 1 81 6 2 7 3 61 4 5 8 8 26 7 加2 42 0 1 91 6 9 4 6 71 4 7 0 6 79 2 2 9 1 32 0 2 01 7 7 2 8 51 4 8 2 6 l1 2 4 7 3 2 9从表3 中可以看出，对于拟合与灰色预测的数据都比较符合人口发展的趋势，对于插值法预测的数据，在很短时间内进行预测是较为准确的，但是当预测时间较长时，就会出现很大偏差。对于拟合预测法与灰色预测法，预测短时间内的数据时精度都较高，当预测时间较长时，哪一种预测值更精确些呢?图4 为我们
16、给出的两种方法预测数据的对比图。图中实线表示1 9 9 1 年到2 0 0 6 年的人口统计数字，“矿点表示通过拟合法给出的人口预测数字。“+”点表示通过G M(1，1)模型给出的人口预测数字。从图4 中可以看出。两种方法在短时间内的预测精度都比较高，但是对于长时间的人口预测，显然灰色预测法比拟合预测法更合理一些。4 结论通过曲线拟合、灰色系统理论和插值法分别对我国未来1 5 年的人口进行预测并分析比较，得出对于短时间内的人口预测，曲线拟合法的预测效果最好。而对于长时间的人口预测来说，灰色预测法的效果则更好一些。参考文献：刘思峰，党耀国等灰色系统理论及其应用科学出版社，2 0 0 4，(1 1
17、)【2 1 杨泮池，崔荣泉等计算方法陕西科学技术出版社，1 9 9 6，(1 2)1 3】李继成，戴永红数学实验西安交通大学出版社，2 0 0 3，(8)【4 l 杨丽曩，杨桂山等数学模型在人口预测中的应用长江流域资源与环境，2 0 0 6，(5)5 1 贤才非线形实验数据曲线拟合的实践安徽技术师范学院学报，2 0 0 5，(2)【6】中国统计年鉴，2 0 0 6 万方数据基于MATLAB的人口预测方法分析基于MATLAB的人口预测方法分析作者：易亮，Yi Liang作者单位：西安工业大学经济管理学院,西安,710032刊名：价值工程英文刊名：Value Engineering年，卷(期)：2012,31(9)本文链接：http:/