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1、1 9 9 8 年 模糊系统与数学 第十二卷第二期 模 7 【f一 糊 聚 类 分 析 理 论 与 应 用 研 究 进 展 何清(北京师范大学数学系，北京，1 0 0 8 7 5)(二)7 摘要本文对模糊聚类分析在国内的理论与应用情况作了综述和评价，并介绍了作者在该领域的一些新成果。关 键 词 竹；模 糊 聚 类 塑 传 递 闭 包；莲 塑 兰 堡 丝 堕 1前 言 茯糊 聚类就是把具有相似性质的事物区分开加以分类。聚类分析就是用数学方法研究和 处理给定对象的分类。“人以群分，物以类聚”，聚类问题是一个古老的问题，是伴随着人类 的产生和发展而不断深化的一个问题。人类要认识世界就必须 区别不同的
2、事物并认识事 物间的相似性。经典分类学往往是从单因素或有限的几个因素出发，凭经验和专业知识对 事物分类。这种分类具有非此即彼的特性，同一事物归属且仅归属所划定类别中的一类，这种分类的类别界限是清晰的。随着人们认识的深入，发现这种分类越来越不适用于具有 模糊性的分类问题。如把人按身高分为“高个子的人，“矮个子的人”，“不高不矮的人”。如 何判别特定的一个人的类别便产生了经典分类学解决不了的困难。模糊数学的产生为上 述软分类提供了数学基础，由此产生了模糊聚类分析。我们把应用普通数学方 法进行分类 的聚类方法称为普通聚类分析，而把应用模糊数学方法进行分析的聚类 分析称为模糊聚 类分析。1 9 6 5
3、年 L A Z a d e h创立了模糊集合论不久，E H Ru s p i n i d于 1 9 6 9年引入了模糊划 分的概念进行模糊聚类分析。I Gi t ma n和 M D L e v i n e提出了单峰模糊集方法用于处理 大数据集和复杂分布的聚类。1 9 7 4年 J C B e z d e k和 J C Du n n提出了模糊 I S OD ATA聚 类方法。随着模糊数学传人我国，模糊聚类分析也传人了我国。我国学者也给出了许多模 糊聚类方法如文 1 3 3、3 1 3、3 2 、3 3 3 5 3 3 8 3、3 7 3、3 0 3 等，同时我国学者对模糊聚 类 分析 的数学基础
4、也进行了研究，得到了很多令人瞩 目的成果，如文 1 3 3、2 0 3 L 2 5 、2 8 3 Z 7 3、Z 9 3 等。另外有更多的学者将模糊聚类方法广泛应用于各专业领域，取得了满 意的效果和可观的效益，如文 4 8 一 6 0 。其应用领域已包括了天气预报、气象分析、模式 识别 生物 医学、化学等诸多领域。1 9 8 2 年方开泰等对常用数学聚类分析方法进行了系统总结”。1 9 9 4 年李相镐 李洪 兴等对模糊聚类分析及其应用的有关文献作了系统总结，本文不拟对此 以前文献逐一 本文 1 9 9 7年 1 O月 1 9日收到 维普资讯 http:/ 模糊系统与数学 评述，而着重对此之后
5、的一些文献作一总结，并介绍作者的一些新成果。然不可避免地 要对以前一些起到重要作用的文献予 以涉及 2 基于模糊等价关系的传递闭包方法 利用传递闭包进行 F u z z y聚类 就是由标定得到的 F u z z y相似矩阵 R，求出包含矩阵 R的最小模糊传递矩阵即 R的传递闭包 R 一 )，之后再依据 )进行聚类。这种方法 是最基本的而且是常用的方法。该法得到的传递闭包(尺)是一个反映等价关系的模糊等 价矩阵 求传递闭包常用的方法是平方法。由于平方法在使用中有大量合成运算，计算量 大，因此又有不少求传递闭包的简便方法提出 罗承忠教授在文 3 中，李相镐在文 1 2 3 中 都介绍了求传递闭包的
6、简便方法，肖奚安在文 2 6 中又提出了一种升值法。关于这些简便 方法 在理论上 已证 明了得到的是传递闭包，但是传递闭包是否真实反映了原来问题的聚 类呢?或者说在多大程度上反映了原问题 的聚类呢?这种“失真 问题 是朱剑英教授在文 4 1 3 中提出的 他指出应当求出与相似阵R的某种距离意义下的距离最小的模糊等价矩 阵 R ，依据 R 聚类才是合理的。围绕该问题不少学者散了工作，其中李洪兴教授最先 用摄动的方法，在解决了模糊关系方程 X x 的解 的结构问题的基础上提出了一种有效 解决方法。详细介绍将在 4中进行 关于传递闭包还有另一方面的问题，就是具有相同 传递闭包的模糊相似矩阵有哪些?李
7、相镐教授在文 2 0 3 中回答了这一问题。为了寻求模 糊传递闭包 R 与 F u z z y分类矩阵 焉 之间的关系，史开泉、汪保明在文 2 5 3 中提出了关于 R。与 的s KQ判定定理 杨留记在文 2 7 中给出了F u z z y 关系传递闭包有限表示 的两个充要条件。利用传递闭包进行模糊聚类的方法在实践中得到了广泛的应用，如楼世博、陈化成、吴震将此法用于天气预报。这方面应用很多，这里不再一一列举。3 聚类分析的图论方法 早在 1 9 8 0年，吴望名教授就在文 2 8 3 中把 F u z z y图论的基本 内容介绍到了国内，当 时国外已经用图论方法研究聚类问题了。吴望名教授提出了
8、最大树法 1 沙丹为寻求在 绝对距离意义下与R最近的模糊等价阵了 1 ，建立了R与赋权图G 等价阵了 1 与树 了 1 之间 的联系，得出最优解丁 必可在 G 生成树集合中找到，并给出了丁 必须满足的条件 以上重要成果都是应用图论方法得到的。总之，用图论方法研究 F u z z y聚类不失为一种直观有效的方法 4 基于模糊关系方程的聚类 由于寻求最优模糊等价矩阵问题与 F u z z y相似关系方程 X。一 X 的解的构造密切相 关，这样聚类问题可以通过先研究X。一X的结构再聚类 关于F u z z y 相似关系方程X 一 维普资讯 http:/ 第二期 何清：模糊聚类分析理论与应用研究进展
9、x 的解的结构，在理论上最先突破的是李洪兴教授 在文 1 3 中，他 采用分解构造的方 法，利用参数系的树形结构给出了 X。=X 的解 的构造和解的特征数表示。这样对给定阶 数的模糊等价矩阵就可以根据参数系是否相似而划分为有限个不同的类，同时根据参数 系可以写 出X 一X的基础解系，在此理论基础上进行聚类，就是在某种距离意义下，求已 知相似阵R与各类模糊等价阵中距离最小者，通过比较就得到整体最优的模糊等价阵。文 Z 1 在文 1 3 基础上，明确了参数系在什么意义下是唯一的，提出了F u z z y 置换等价标 准型与平移等价标准型的概念，并在群作用观点下讨论 了解的分类数计算公式，最后证明
10、了 失真最小”的最优模糊等价阵的存在性。文 2 2 在文 Z 1 基础上不仅指出了最优等价 阵的存在性，而且指出整体的唯一性一般不存在，但证明了某种局部意义下的唯一性。文 Z 1 与文 2 2 是作者在李洪兴教授具体指导下完成的。李洪兴教授关于F u z z y 相似关系 方程的分解构造理论早在 1 9 8 8年就提 出了，这为模糊聚类分析奠定了基础 文 3 9 完全 在李洪兴教授提出的分解构造理论基础上(虽然该文未明确列出文献)，并结合汤服成教 授在文 3 5 3 中的一个理论结果给出了一种最优模糊等价阵的算法，该文指 出了最优模糊 等价阵不具有 唯一性，但文 2 2 中所说的局部唯一性没有
11、得到。由于 F u z z y关 系方程在聚类分析中起 了重要作 用，聚类 同题 的深入研究 又带 动了 F u z z y关系方程的研究，见文 1 7 、1 8 、2 3 。总之，朱剑英教授所提出的寻求失真最小的最优模糊等价矩阵问题在理论上得到了 系统、圆满的解决。传递 闭包法与最优等价矩阵法相比较，最优 F u z z y等价矩阵法在理论 上才更有保障 有关这两种方法的比较，将在文 2 4 中予 讨论 5 模糊 I s 0 D A T A 方法 模糊 I S OD AT A方法是基于模糊划分的思想，利用迭代方法，在泛函极值意义下，不 断修正聚类中心的局部优化算法 该算法是 1 9 9 4年
12、由j C B e z d e k和J C D u n n提出 这 种方法可以很快求出聚类 中 C,-，但朱剑英教授在文 4 1 中指 出该方法必须事先确定类别 个数，且要求分类前能大体知道各样本隶属各类的程度，并提出了初始值如何选定和收敛 判定问题。吴从虫 斤 教授在文 4 中对上述方法从泛函分析角度进行了讨论。陈守煜教授在 文 3 3 中提出了一种新的模糊聚类模型，并指出了I S O D A T A聚类方法存在的不足。在计 算机得到迅速普及的今天，这种方法更能得到广泛的应用。关于利用计算机进行聚类计算 的最近文献还有文 6 1 、6 4 。6 其它模糊聚类方法 郭嗣琮、彭先图在汪培庄教授提出
13、的集值统计方法的基础上，提出了一种聚类方法，见文 4 7 。张伟对 V o g e l 和Wa n g于 1 9 7 9 年提出的伪 F统计聚类法进行了修改，建立了 模糊 伪 F统计 聚类 法，这 种方法可 以在进 行聚类 运算 的同时，获得最佳 分类数，见文 3 1 。模糊 c 均值法经C a n n o n等人改进得到了一种近似的模糊 c 值算法，为克服比较大 的数据集运算耗时过长的问题，刘建庄与谢维信提出了一个改进的AF C M算法 L A F C M 维普资讯 http:/ 9 2 模糊系统与数学 1 9 9 8 年 法，见文 3 6 。陈觉婷和姜立芝从模糊集理论 出发，引进模糊平均数
14、、模糊方差及模糊方差 比，确定 了一个线性手 0 别函数，使在实数空间上最大可能分离模糊类，见文 3 7 3。陈世权考 虑到某些客观事物在分类分级时，样本与总体之间存在着类似的抽样误差，而对聚类指标 进行加权处理，此法适用较广，运算简便，见文E 3 2 3。从广义方面讲，模糊聚类、模糊识别、模糊决策、综合评判这些问题是互通的，都属于 分类学范畴。有关综合评判的理论研究与实际应用参见文 4 2 、4 3 3、4 4 、4 5 、4 6 ，这 里不再重述。7 一些待解决的问题 传递闭包与最优等价矩阵一般在数值上不吻合，但它们是否属于同一平移等价类?另 外，传递闭包是包含R的最小模糊等价阵，对同一个
15、相似阵R而言，其传递闭包R 是唯一 的 我们相 应考虑被R包含的最大 F u z z y等价阵 R 是否存在?若存在是否唯一?R 与 R 是否属于 同一个平移等价类?对 以上问题文 2 4 3给出了部分回答，更探人 的研究正在继 续。朱剑英教授关于 I S O D AT A方法提 出的几个问题尚未获得系统圆满的回答。1 2 3 4 I s 参考文献 汪培庄 模糊集合论及其应用-上海：上海科学技术出版社，1 9 8 3 汪培庄 模糊集与随机集落影 北京：北京师范大学出版社，1 9 8 5 罗承忠 模糊集引论(上册)北 京：北京师范大学出版社，1 9 8 9 是从蜥，马明 模糊分析 学基础 北 京
16、：国防工业出版社，1 9 9 1 是望名，陈永义，黄金丽，陈图云，邹开其，余康元-应用模糊集方法 北京：北京师范大学出版社，1 9 85 张文修 模糊数学基础 西安：西安交通大学出版社，1 9 8 4 汪培 庄，李洪兴 模糊 系坑理论与 模糊计算机，北京：科学出版社，1 9 9 6 李洪兴，汪培庄模糊数学 北京：国防工业出版社，1 9 9 4 葛苏林 模糊子集 模糊关系 模糊映射 北京：北京师范大学出版社，1 9 8 5 方开泰，潘恩沛 聚类分析 北京 地质 出版社，1 9 8 2 李洪 等 工程模糊数学方法及其应用-天津：天津科学技术出版社，1 9 9 3 李相镐，李洪兴，陈世权，汪培庄 模
17、糊聚类分析及其应用 贵阳：贵州科学技术出版社，1 9 9 4 李洪，征培庄-基 于摄 动酌 F u z z y聚类 方法 数学季刊，1 9 8 8，3(1)9 1 9 LiHF u z z y P e r t u r b a l i o nAn a s i s J D f F u z z y s e t s a n d S y s t e ms，1 9 8 6，1 9(2)1 O s 一1 7 8 Li HF u z z y P e r t u r b a t i o nAn a l y s i s J o fFu z z y s e t s a n d s y s t e ms，1 9 9
18、5，1 7(2)1 8 9 1 9 8 李洪 F u z z y摄动的公理化 定义 天津纺织工学 院学报，1 9 8 9(3)李洪兴 F u z z y关系方程解的稳定性 工程数学学报，1 9 8 5(1)余泽昌 F u z z y相似矩阵方程 模糊系坑与数学，1 9 9 1(1)罗承 忠-有限集上的模糊 关系方程 北京 师范大学学报，1 9 8 1(2)牵相镐 变次F u z z y相似矩阵方程 模糊数学，1 9 8 4，4(1)何清，李潜兴 F u z z y相似矩阵方程 一 与聚类 模糊系统与数学(待发表)嘲啪嘲 嘲 嗍嘲 M 嘲 维普资讯 http:/ 第二期 何清：模糊聚类分折理论与
19、应用研究进展 9 3 何清，李洪兴 F u z z y关系方程=与 聚类 北京 师范大学学报(自然科 学版)(待 发表)李艳萍 模橱关系方程 北京师范大学硕士学位论文，1 9 9 7 何清，李洪-传递闭包与最优模糊等价矩阵 北京师范大学学报(自然科学版)(待发表)史开泉，汪保明 F u z z y传递闭包与 F u z z y分类矩阵的S K Q判定定理模糊系统与数学，1 9 9 0(2)肖溪安 求 F u z z y传递闭包的升值法 模糊数学，1 9 8 5，5(4)杨留记-F u zzy关 系传递闭包的若 于定理 摸期数学，1 9 8 4，4(】)吴望名 弗晰图与弗晰树 数学 实践 与认识
20、，1 9 8 0(4)抄丹-绝对距离 D(R，丁)最小的模糊等 价矩 阵 模糊系统与数 学，1 9 9 4(1)：4 7 一 s 4 赵汝怀 弗晰聚类的编阿法 西安 交通 大学学报，1 9 8 0(4)张伟 F u z z y聚类法的一个新算法 模糊数学，1 9 8 7，7(3 4)陈世权 一种聚类分析的 F u z z y模式 模糊数学，1 9 8 4，4(3)陈守煜 模糊识别决策与聚类理论模型 模糊系统与数学，1 9 9 1，9(2)傅国耀 一求最优模糊等价矩阵的一个算法 模糊系统与数学，1 9 9 7，I I(2)汤服成 一种聚类分析方法 数学实践与认识，1 9 8 8(2)刘建庄，谢维
21、信 一种改进的快速模糊 c均值聚类方法 中国系统工程学会模糊数学与模糊系 统专业委员会第五届年会论文选集 西南交通大学出版杜，1 9 8 0 陈觉婷，姜立芝 模糊数量化整别模型及其应用应用数学，1 9 8 8(4)陈永义，陈图云 F u z z y关系 模 糊数学，1 9 8 1(1)彭祖赠，孙韫 玉 Fu z z y聚类分析 模糊数 学，1 9 8 2，2(1)于纯海 F u z z y集上 的 F u z z y关 系及其分类 模糊数 学，1 9 8 7，7(3 4)朱剑英 应用模糊聚类法应注意的若干关键同题 模糊系统与数学，1 9 8 7，1(1)Li HMu l t i l a c t
22、 o r l a l Fu z z y S e t s a n d M u l t J a eto r i a l De g r e e 0 f Ne a r n e Fu z z y l s a n d S y s t e m5，“HMu ki f a eto r l a l f u nc t i o n s i n f u z z y s e t s t h e o r y Fu z z y s e t s a n d S y s t e ms，1 9 9 0，3 5(1)：6 9 8 4 李洪-综 台分析、模期系统与数学，1 9 8 8，2(I】：9 I 9 李洪兴 一 综合评判逆问题
23、模糊数学，1 9 8 5(1)李洪 兴，汪培庄-关于综舍评判的几点注记 天津纺织工学院学报，1 9 8 7，5(1)：2 6 3 O 郭嗣琮，彭先图 F u z z y聚类的集值统计法 全国模糊集与随机集落影学术讨论会，1 9 8 5 曹 鸿，陈 国范-天气过程 的 F u z z y划分 科学通报，1 9 8 0(1 0)陈国范-F u z z y集合理论在气象 中的应用 模糊数学，1 9 8 2(3)楼世博，陈化成 一 F u z z y聚类与天气预报 模糊数学，1 9 8 1，1(1)吴震 一 气象预报中F u z z y聚类分析 最佳值的选定 模糊数学，1 9 8 3，3(3)袁嘉祖，
24、舒永昌 我国亚热带地区柑桔冻害的聚类分析模糊数学，1 9 8 8，3(1)石贵青一雷达目标的F u z z y分类 模糊数学，1 9 8 3，3(3)严洪范 F u z z y聚类分析在生物医学工程中的应用 模糊数学，1 9 8 3，3(1)李湘中 F u z z y聚类分析在水体、水质分类中的应用模糊数学，1 9 8 4，4(1)谌红 生物 电的模糊聚类分析 模糊数学，1 9 8 7，7(3 4)王春保，王新 中-舰船磁性防护等级的分类与模式识别 模糊系统与数学，1 9 8 8，2(1)赵德玉 模糊聚类分析在啤酒大麦育种上的应用 模糊数学，1 9 8 7 7(1)王松年-F u z z y
25、聚类分析的语音识别 模糊数学，1 9 8 4，4(2)虞英军-F u z z y聚类分析在零件分类编组中的应用 横 暂 数学，1 9 8 7，7(2)；i；i in n r _；m m I兰 哪m瞰 嘞呻呻 维普资讯 http:/ 9 4 模糊系统与数学 1 9 9 8芷 6 1 谢维信 6(2)6 2 朱剑英 E 6 3 3 朱计生 E 6 4 3 阮晓纲 刘健庄 硬聚 类与模 糊聚类 的结台 双 层 F C M 快 速算法 模 糊系统与数学，1 9 9 2 应用模糊数学 方法 的若干关键 问题 及处理方法 模糊系统与数学，1 9 9 2，6(2)F u z z y矩 阵的 广义传递 c 玎
26、 包 模糊 系统与数学，1 9 9 3，7(2)模糊 H o p fi e l d网络及其模糊聚类功 能的研究 模糊系统 与数 学，1 9 9 2，6(1)Adv a nc e i n Fuz z y C!u s t e r i n g The o r y a n d Ap p l i c a t i o n HeQi n g (De p a r t m e n t o f Ma t h e ma t i c s，B e i j i n g No r m a l Un i v e r s i t y，B e i j i n g，1 0 0 8 7 5)Ab s t r a e t I n t
27、h i s p a p e r，t h e a d v a n c e i n f u z z y c l u s t e r i n g t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n i n C h i n a i s d i s c u s s e d S o me n e w r e s u l t s i n t h i s a r a a o b t a i n e d b y a u t h o r i s p o i n t e d O u t Ke v w o r d s Cl u s t e r i n g；Fu z z y c l u s t e r i n g；F u z z y g r a p h Tr a n s i t i v e c l o s u r e；F u z z y e q u i v a l e n t ma t r i x 维普资讯 http:/