《2019-2020年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题44举重若轻——立体几何问题的.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题44举重若轻——立体几何问题的.pdf（44页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料专题 44 举重若轻-立体几何问题的空间向量方法（II）【热点聚焦与扩展】利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查此类问题往往属于“证算并重”题，即第一
2、问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.本专题通过例题重点说明利用空间向量求角和距离、存在性问题的方法与技巧.（一）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b表示直线,a b的方向向量，用,m n表示平面,的法向量）1、判定（证明）类（1）线面平行：abab（2）线面垂直：abab（3）面面平行：mn（4）面面垂直：mn2、计算类：（1）两直线所成角：coscos,a ba ba b（2）线面角：cos,sina ma ma m（3）二面角：coscos,m nm nm n或coscos,m nm nm n（视平面角与法向量夹角关系而定
3、）（4）点到平面距离：设A为平面外一点，P为平面上任意一点，则A到平面的距离为推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料AAP ndn，即AP在法向量n上投影的绝对值.（二）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧1、理念：先设再求 先设出所求点的坐标,x y z，再想办法利用条件求出坐标2、解题关键：减少变量数量,x y z可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最
4、终所使用变量的个数可根据如下条件判断：（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标规律：维度=所用变量个数3、如何减少变量：（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理若,abR使得ab例：已知1,3,4,0,2,1AP，那么直线AP上的某点,Mx y z坐标可用一个变量表示，方法如下：1,3,4,1,1,3AMxyzAP三点中取两点构成两个向量因为M在AP上，所以AMAPAMAP共线定理的应用（关键）11334343xxyyzz，即1,3,43M仅用一个变量表示（2）平面上的点：平面向量基本定理若,a b不共线，则平面上任意
5、一个向量c，均存在,R，使得：cab例：已知1,3,4,0,2,1,2,4,0APQ，则平面APQ上的某点,Mx y z坐标可用两个变量表示，方法如下：1,3,4,1,1,3,2,2,1AMxyzAPPQ，故AMAPPQ，即121232324343xxyyzz推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（三）方法与技巧1.两条异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线aa，bb，则a与b所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角范围：两异面直线所成角 的取值范围是(0,2向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则有cos|cos|a bab.2.直线和平面所成角的求法：
6、如图所示，设直线l的方向向量为e，平面 的法向量为n，直线l与平面 所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有 sin|cos|en|e|n|.3.求二面角的大小(1)如图 1，AB、CD是二面角l 的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 AB，CD(2)如图 2、3，12,n n分别是二面角l 的两个半平面，的法向量，则二面角的大小12,n n(或12,n n)4.点面距的求法如图，设AB为平面 的一条斜线段，n为平面 的法向量，则B到平面 的距离d|ABn|n|.【经典例题】例 1.如图，正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC和AD的中点，则直线AE和CF所成的角的余弦值为（）推荐学习K1
7、2 资料推荐学习K12 资料A.13 B.23 C.14 D.34【答案】B【解析】如图所示，作AO 底面 BCD，垂足为O，O为底面等边 BCD的中心，建立空间直角坐标系不妨取 CD=2 则：332 3131,0,1,0,0,0,033,326CDBE，利用空间向量求解余弦值有：2cos,3AE CFAE CFAECF.异面直线AE与 CF所成角的余弦值为23.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料例 2.【2017 江苏，22】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面 ABCD,且 AB=AD=2,AA1=3,120BAD.（1）求异面直线A1B与 AC1所成角的余弦值
8、；（2）求二面角B-A1D-A 的正弦值.【答案】（1）17（2）74推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料例 3.如图，在长方体1111CDC D中，11，D2，、F分别是、C的中点证明1、1C、F、四点共面，并求直线1CD与平面11C F所成的角的正弦值大小.【答案】1515推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【解析】解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为12,0,1、1C0,2,1、2,1,0、F 1,2,0、C 0,2,0、1D0,0,1取1u，得平面11C F的一个法向量)1,1,1(n又1CD0,2,1，故11CD1
9、515CDnn因此直线1CD与平面FECA11所成的角的正弦值大小为1515例 4.如图，三棱柱111ABCA B C中，01111160,4B A AC A AAAAC，2AB，,P Q分别为棱1,AA AC的中点.（1）在平面ABC内过点A作/AM平面1PQB交BC于点M，并写出作图步骤，但不要求证明.（2）若侧面11ACC A侧面11ABB A，求直线11AC与平面1PQB所成角的正弦值.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【答案】（1）见解析（2）3913试题解析：（1）如图，在平面11ABB A内，过点A作1/ANB P交1BB于点N，连结BQ，在1B BQ中，作1/NHB Q交
10、BQ于点H，连结AH并延长交BC于点M，则AM为所求作直线.（2）连结11,PCAC，0111114,60AAACACC A A，11AC A为正三角形.P为1AA的中点，11PCAA，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料Q为AC的中点，点Q的坐标为0,3,3，110,2,23,0,3,3ACPQ.011112,60A BABB A A，13,1,0B，13,1,0PB，设平面1PQB的法向量为,mx y z，由100PQ mPB m得33030yzxy，令1x，得3,3yz，所以平面1PQB的一个法向量为1,3,3m.设直线11AC与平面1PQB所成角为a，则11111139sincos
11、,13AC mACmACm，即直线11AC与平面1PQB所成角的正弦值为3913.例 5.【2017 课标 1，理 18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且90BAPCDP.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（1）证明：平面PAB 平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角A-PB-C 的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）33.【解析】试题解析：（1）由已知90BAPCDP，得 AB AP，CD PD.由于 AB CD，故 AB PD，从而 AB 平面 PAD.又 AB 平面 PAB，所以平面PAB 平面 PAD.推荐学习K12 资料推荐学习K12
12、资料由（1）及已知可得2(,0,0)2A，2(0,0,)2P，2(,1,0)2B，2(,1,0)2C.设(,)x y zm是平面PAB的法向量，则00PAABmm，即220220 xzy，可取(1,0,1)m.则3cos,|3n mn mnm，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料所以二面角APBC的余弦值为33.例 6.【2017 课标 II，理 19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，o1,90,2ABBCADBADABC E 是 PD的中点。（1）证明：直线/CE平面 PAB；（2）点 M在棱 PC 上，且直线BM与底面 ABCD 所成角为o45，
13、求二面角MABD的余弦值。【答案】(1)证明略；(2)105.【解析】试题解析：（2）由已知得BAAD,以 A为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则0,0,0A，1,0,0B，1,1,0C，0,1,3P，(103)PC，,(10 0)AB，设,01Mx y zx则1,1,3BMxy zPMx yz，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料例 7【2017 山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是DF的中点.（）设P是CE
14、上的一点，且APBE，求CBP的大小；（）当3AB，2AD，求二面角EAGC的大小.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【答案】（）30CBP.（）60.思路二：以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料写出相关点的坐标，求平面AEG的一个法向量111(,)mx yz，平面ACG的一个法向量222(,)nxyz计算1cos,|2m nm nmn即得.（）解法一：取EC的中点H，连接EH，GH，CH.因为120EBC，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料又1AM，所以1312 3EMCM.在BEC
15、中，由于120EBC，由余弦定理得22222222cos12012EC，所以2 3EC，因此EMC为等边三角形，故所求的角为60.解法二：以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料因此所求的角为60.例 8.【2017 北京，理 16】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD为正方形，平面PAD 平面 ABCD，点 M在线段 PB上，PD/平面 MAC，PA=PD=6，AB=4（I）求证：M为 PB的中点；（II）求二面角B-PD-A 的大小；（III）求直线MC与平面 BDP所成角的正弦值【答案】
16、（）详见解析：（）3；（）2 69【解析】推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（III）由题意知2(1,2,)2M，(2,4,0)D，2(3,2,)2MC.设直线MC与平面BDP所成角为，则|2 6sin|cos,|9|MCMCMCnnn.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为2 69.例 9.已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且2,1,ADABPA平面ABCD，,E F分别是线段,AB BC的中点（1）求证：PFFD（2）在线段PA上是否存在点G，使得EG平面PFD，若存在，确定点G的位置；若不
17、存在，请说明理由（3）若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角APDF的余弦值FEADBCP【答案】（1）见解析；（2）存在点G，为AP的四等分点（靠近A）；（3）66.【解析】因为PA平面ABCD，且四边形ABCD是矩形以,PA AD AB为轴建立空间直角坐标系，设PAh10,0,1,0,0,0,2,0,1,2,0,1,1,0,0,02PhBDCFE（1）1,1,1,1,0PFhFD0PFFDPFFD（2）设0,0,Ga1,0,2EGa推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料1202EG nha解得14ah存在点G，为AP的四等分点（靠近A）（3）PA底面ABCDPB在底面ABCD的投影
18、为BAPBA为PB与平面ABCD所成的角，即45PBAPBA为等腰直角三角形1APAB即1h平面PFD的法向量为1,1,2n平面APD为yOz平面，所以平面APD的法向量为0,1,0m设二面角APDF的平面角为，可知为锐角16coscos,66m n.例 10.【2018 届北京市十一学校3 月模拟】四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,侧面PAD底面ABCD,BCD60,2PAPD,E是BC中点,点Q在侧棱PC上.（）求证:ADPB;（）是否存在Q,使平面DEQ平面PEQ？若存在,求出,若不存在,说明理由.（）是否存在Q,使/PA平面DEQ？若存在,求出.若不存在,说明理由.推荐
19、学习K12 资料推荐学习K12 资料【答案】（I）详见解析；（II）详见解析；（III）详见解析.因为菱形ABCD中,60BCD,所以ABBD.所以BOAD.因为BOPOO,且,BO PO平面POB,所以AD平面POB.所以ADPB.（）由（）可知,BOAD POAD,因为侧面PAD底面ABCD,且平面PAD底面ABCDAD,所以PO底面ABCD.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料则2200DC nDQ n,即3031022xyyz.令3x,则1,3yz,即23,1,3n.所以12121221cos,7nnn nnn.由图可知,二面角EDQC为锐角,所以余弦值为217.（）设01PQPC
20、由（）可知2,3,1,1,0,1PCPA.设,Q x y z,则,1PQx y z,又因为2,3,PQPC,所以231xyz,即2,3,1Q.所以在平面DEQ中,0,3,0,12,3,1DEDQ,所以平面DEQ的法向量为11,0,21n,又因为/PA平面DEQ,所以10PA n,即11210,解得23.所以当23时,/PA平面DEQ推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【精选精练】1.设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是（）A.B.C.D.【答案】D 112 33A Dndn，故选 C2.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知4AB，6
21、AC，8BD，2 17CD，则该二面角的大小为()(A)150 (B)45 (C)60 (D)120【答案】C 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料3.在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】以为原点,为轴,在平面中过作的垂线为轴,为轴,建立空间直角坐标系,推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料在三棱柱中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,分别是棱上的点,且,设异面直线与所成角所成角为,则.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选 D.4【2018 届河北省定州中学高三上第二次月考】已知点在正方体的对角线
22、上，在上，则与所成角的大小为_.【答案】推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料5在正方体1111ABCDABC D 中，E为11AB 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离【答案】2 636【2018 届浙江省名校协作体高三上学期考试】如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面内，三条棱AB,AC,AD都在平面的同侧.若顶点B,C到平面的距离分别为2,3，则平面ABC与平面所成锐二面角的余弦值为_【答案】23【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设平面的一个法向量为000 xyz（，），设01x，连结BCCDBD、，则四面体ABCD为直角四面体；作平面的法线AH，作1BB于11BCC，于1
23、1CDD，于1D；连结111ABACAD，令AHhDAaDBbDCc，由等体积可得推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料22221111,habc2222221,hhhabc令111BABCACDAD，可得2221sinsinsin，设11123DDmBBCC，222231333m，面角的余弦值为22261,20,0,3223612327.【2018 届贵州省黔东南州高三上第一次联考】如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形，PAD为正三角形，且,E F分别为,AD AB的中点，PE平面ABCD，BE平面PAD（1）求证：BC平面PEB；（2）求EF与平面PDC所成角的正弦值【答
24、案】（1）见解析；（2）155.【解析】试题分析：（1）证明：AD 平面 PEB，利用四边形ABCD 为菱形，可得AD BC，即可证明BC 平面PEB；推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（2）以 E为原点，建立坐标系，求出平面PDC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求EF与平面 PDC所所以BC平面PEB（2）解：以E为原点，,EA EB EP分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，不妨设菱形ABCD的边长为2，则1,2,3AEEDPAPE，223BEABAE，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料又13,022EF，所以EF与平面PDC所成角的正弦值为133,1,1?,0221555
25、1n EFn EF8 如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【答案】（）详见解析（）33（）721【解析】1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)ABCDEFG，.（I）证明：依题意，(2,0,0),1,1,2ADAF.设1,nx y z为平面ADF的法向量，则11
26、00nADnAF，即2020 xxyz.不妨设1z，可得10,2,1n，又0,1,2EG，可得10EG n，又因为直线推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料因此有2226cos,3OA nOA nOAn，于是23sin,3OA n，所以，二面角OEFC的正弦值为33.（III）解：由23AHHF，得25AHAF.因为1,1,2AF，所以222 4,555 5AHAF，进而有3 3 4,5 5 5H，从而2 8 4,5 5 5BH，因此2227cos,21BHnBH nBHn.所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为721.9 如图，在直角梯形11AAB B中，190A AB，11A BAB
27、，11122ABAAA B，直角梯形11AAC C通过直角梯形11AAB B以直线1AA为轴旋转得到，且使得平面11AA C C平面11AA B BM为线段BC的中点，P为线段1BB上的动点（1）求证：11ACAP（2）当点P满足12BPPB时，求证：直线1A C平面AMP（3）当点P是线段1BB中点时，求直线1AC和平面AMP所成角的正弦值【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）直线1AC和平面AMP所成角的正弦值为3434.【解析】试题分析：（1）建立空间坐标系求两直线的方向向量，根据点积为0 可证的结论；（2）求得直线的方向向量和面的法向量，证得两向量垂直即可；（3）求直线的方向向量和
28、面的法向量的夹角即可.解析：推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料由已知可得，1A A，AC，AB两两垂直，以A为原点，AC，AB，1AA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，即1111ACA B，111ACAA，11A C平面11AA B B又AP平面11AAB B，11A CAP（2）设P点坐标为,x y z，则,2,BPx yz，1,1,2PBxyz12BPPB，2xx，222yy，42zz，解得：0 x，43y，43z，即4 40,3 3P设平面AMP的一个法向量,nx y z，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料1,1,0AM，4 40,3 3AP，00AM nAP
29、 n，即044033xyyz，设AMP的一个法向量为,mx y z1,1,0AM，30,12AP，00AM mAP m，解0302xyyz，令2x，则2y，3z，得2,2,3m设1AC与平面AMP所成角为，则111234sincos,342 217AC mAC mACm故直线1AC和平面AMP所成角的正弦值为343410【2018 届北京市昌平区高三上期末】如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD是边长为 2 的菱形，ABC60，PAB为正三角形，且侧面PAB 底面 ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD上.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（I）当M是线段PD的中点时，求证：
30、PB/平面 ACM；（II）求证：PEAC；（III）是否存在点M，使二面角MECD的大小为60，若存在，求出PMPD的值；若不存在，请说明理由【答案】（）见解析；（）见解析；()当13PMPD时，二面角MECD的大小为60.因为四边形ABCD是菱形，所以点 H为 BD的中点.又因为 M为 PD的中点，所以 MH/BP.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料()因为 ABCD 是菱形，ABC 60，E是 AB的中点，所以 CE AB.又因为 PE 平面 ABCD，以E为原点，分别以,EB EC EP为,x y z轴，建立空间直角坐标系Exyz，则0,0,0E，1,0,0B，0,0,3P，0,
31、3,0C，2,3,0D假设棱PD上存在点M，设点M坐标为,x y z，01PMPD，则,32,3,3x y z，所以2,3,3 1M，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料所以2,3,3 1EM，0,3,0EC，设平面CEM的法向量为,nx y z，则233 1030n EMxyzn ECy，解得023 1yxz令2z，则3 1x，得3 1,0,2n因为 PE 平面 ABCD，所以在棱PD上存在点M，当13PMPD时，二面角MECD的大小为60点睛：(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待
32、定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.11如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为菱形，BAD=60，Q为 AD的中点.（）若PA=PD，求证：平面PQB 平面 PAD；推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（）点M在线段 PC上，PM=tPC，试确定实数t 的值，使PA 平面 MQB；（）在（）的条件下，若平面PAD 平面 ABCD，且 PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小.【答案】（）见解析；（）13t；（）60.【解析】试题分析：（）证明平面PA
33、D内的直线AD，垂直平面PQB内两条相交的直线,BQ PQ，即可证明平面PQB平面PAD；（）连AC交BQ于N，由AQBC，可得ANQCNB，再由PA平面MQB推出PAMN，即可求出t的值；（）以Q为坐标原点，以QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出求出平面MQB与平面ABCD的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解.所以 AD 平面 PQB.因为ADPAD平面，所以平面PQB 平面 PAD.（）连接AC，交 BQ于点 N.由 AQ BC，可得 ANQ CNB，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料所以12AQANBCNC.因为 PA 平面 MQB，PAPAC
34、平面，平面 PAC 平面 MQB=MN，所以 PA MN.所以13PMANPCAC，即13PMPC，所以13t.（）由PA=PD=AD=2，Q为 AD的中点，则PQ AD，又平面PAD 平面 ABCD，所以 PQ 平面 ABCD.以 Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在的直线为x，y，z 轴，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，0,3,0B，Q(0,0,0)，0,0,3P.1,0,3PA，0,3,0QB.取平面 ABCD 的法向量m=(0,0,l)，所以1cos,2m n.故二面角M-BQ-C的大小为60.点睛：本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向
35、量解答立体几何问推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角.12.如图，在边长为4 的菱形ABCD中，60,BADDEAB于点E，将ADE沿DE折起到1A DE的位置，使得1A DDC（1）求证：1A E平面BCDE（2）求二面角1EA BC的余弦值（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面1A DP平面1A BC，若存在，求出EPPB的值，若不存在，
36、请说明理由【答案】（1）见解析；（2）77；（3）不存在该点.【解析】推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料以1,A E ED BE为坐标轴建立坐标系计算可得：2,2 3AEDE10,0,2,2,0,0,0,23,04,23,0ABDC（2）平面1EA B的法向量为0,1,0m设平面1A BC的法向量为,nx y z12,23,0,4,23,2BCAC1022303042320BC nxyxzyACnxyz3,1,3n设二面角1EA BC的平面角为17coscos,717m nm nmn（3）设,0,0P平面1A DP平面1A BC1302 3303n n解得：3推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料3,0,0P不在线段BE上，故不存在该点.点睛：（1）对待翻折问题要注意在翻折的过程中，哪些量和位置关系是不变的，要将平面图形的相关量与翻折后的几何体建立对应关系.（2）在处理点的存在性问题时，求该点所在平面法向量的过程中会遇到所解方程含参的情况，此时可先从含参方程入手，算出满足方程的一组值，再代入另一方程计算会比较简便.