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1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料专题 26 应用ADxAByAC解题探秘【热点聚焦与扩展】高考对平面向量基本定理的考查，往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算要特别注意基底的不唯一性-只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底12ee，线性表示，且在基底确定后，这样的表示
2、是唯一的1、平面向量基本定理：若平面上两个向量12,e e不共线，则对平面上的任一向量a，均存在唯一确定的12,，（其中12,R），使得1122aee.其中12,e e称为平面向量的一组基底.（1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量（2）唯一性：若1 122aee且1122aee，则11222、“爪”字型图及性质：ABCD（1）已知,AB AC为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在,x y，使得ADxAByAC.则,B C D三点共线1xy当01xy，则D与A位于BC同侧，且D位于A与BC之间当1xy，则D与A位于BC两侧1xy时，当0,0 xy，则D在线段BC上；当0 xy，则D
3、在线段BC延长线上（2）已知D在线段BC上，且:BDCDm n，则nmADABACmnmn3、ADxAByAC中,x y确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定,x y推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程ADxABy AC，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于,x y的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于,x y的方程，再进行求解【经典例题】例 1.在梯形 ABCD 中，AD BC，已知AD 4，BC 6，若CDmBAnB
4、C(m，nR)，则mn()A.3 B.13C.13 D.3【答案】A【点睛】当向量等式中的向量系数含参时，可通过对两边作同一向量的数量积运算便可得到关于系数的方程.若要解出系数，则可根据字母的个数确定构造方程的数量例 2.【2017 课标 3，理 12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD，则+的最大值为（）A3 B22C5D2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量
5、基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料例 3.【2018 届安徽省淮南市高三第一次（2 月）模拟】已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，则的最小值是()A.B.C.D.【答案】D【解析】如图三点共线，是的重心，故当且仅当等号成立故选 D 例 4.【2018 届北京市朝阳区一模】在平面直角坐标系xOy中,已知点3,0A,1,2B,动点P满足OPOAOB,其中,0,1,1,2,则所有点P构成的图形面积为()A.1 B.2 C.3 D.2 3【答案】C【解析】设,P x y,则3,2,
6、OPOAOBx y,推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料32xy2332yyx,01230132312232yyxyyx02022 32 32314 3yxyxy,所有点P构成图形如图所示（阴影部分）,13232S,故选C.【方法点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及线性规划的应用及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答
7、，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，把向量问题转化为线性规划问题解答是解题的关键.例 5.【2018 年 4 月湖南 G10教育联盟高三联考】平行四边形ABCD中，3AB，2AD，120BAD，P是平行四边形ABCD内一点，且1AP，如APxABy AD，则32xy的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】APxAByAD，2AP=2xABy AD2219423 22xyxy（）2223323?3?232324xyxyxyxy（）（）（）=14232xy（）；推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料故选：B例 6.【2018 届四川省雅安市三诊】在直角梯形，分
8、别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）.若，其中，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系：则，即，.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料故选 A.例 7.在ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，过点H作一直线MN分别交,AB AC于点,M N，若,AMxAB ANyAC，则4xy的最小值是（）A.94 B.2 C.3 D.1【答案】【解析】若要求出4xy的最值，则需从条件中得到,x y的关系。由,M H N共线可想到“爪”字型图，所以AHmAMnAN，其中1mn，下面考虑将,m n的关系转为,x y的关系。利用条件中的向量关系：1
9、2AHAD且12ADABAC，所以14AHABAC，因为,AMxAB ANyAC，所以AHmxABnyAC，由平面向量基本定理可得：11441144mmxxnnyy，所以111144mnxy，所以11144414444yxxyxyxyxy，而4424yxyxxyxy，所以944xy答案：A 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料例 8.【2017 天津，文理】在ABC中，60A，3AB，2AC.若2BDDC，()AEACABR，且4AD AE，则的值为 _.【答案】311【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计
10、算数量积，选取基底很重要，本题的,AB AC已知模和夹角，选作基底易于计算数量积.例 9.【2018 年衡水金卷调研卷三】如图所示，已知在ABC中，23AEAC，13BDBC，BE交AD于点F，AFABAC，则_【答案】67【解析】设0ADk AF k,121332ADABBDABACABABAE,即2132k AFABAE，2132AFABAEkk，由FBE、三点共线，得21132kk，解得76k.又214342327777AFABAEABAEABACkk4277，67例 10.【2018 届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4 月联考】点M为ABC所在平面内一动点，且M满足：121
11、33AMABAC，3AC，3A若点M的轨迹与直线,AB AC围成封闭区域的推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料面积为32，则BC_【答案】3【解析】设13ADAB，23AEAC，则2AE.M满足：12133AMABAC1AD，即3AB.ABACABC为等边三角形3BC故答案为3.点睛：本题考查学生的是三角形面积公式与向量的交汇处，属于中档题目.由12133AMABAC为突破点，构造出1AMADAE是解题的关键，由系数和为1得出三点共线，可得M的轨迹为直线，结推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料合三角形面积公式即可.【精选精练】1【2018 届辽宁省朝阳市普通高中一模】在中，为的重心，过
12、点的直线分别交，于，两点，且，则（）A.B.C.D.【答案】A 2【2018 届河北省武邑中学高三下期中】已知在Rt ABC中，两直角边1AB，2AC，D是ABC内一点，且060DAB，设,ADABACR，则（）A.2 33 B.33 C.3 D.2 3【答案】A【解析】分析：建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于 DAB=60，设D点坐标为（m，3m），由平面向量坐标表示，可求出 和 详解：如图以A为原点，以AB所在的直线为x 轴，以 AC所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），因为 DAB=60，设D点坐标为（m，3m），ADABAC=（
13、1，0）+（0，2）=（，2）?=m，=32m，则2 33故选 A推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料3【2018 届衡水金卷】在平面直角坐标系中，为坐标原点，设，若，且，则的最大值为（）A.7 B.10 C.8 D.12【答案】B 点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）;(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值;注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.4【2018 届安徽省安庆市二模
14、】在ABC中，点是边BC上任意一点，M是线段的中点，若存在实数和，使得BMABAC，则（）A.12 B.122 C.2 D.2【答案】B 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料又BMABAC，所以112t，12t，所以12.故选 B.5【2018届北京市九中十月月考】如图,半径为3的扇形AOB的圆心角为120,点C在AB上,且30COB,若OCOAOB,则()A.3 B.33 C.4 33 D.2 3【答案】A【解析】推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料332 33，3，故选 A.【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算、相等向量以及平面向量基本定理，属于难题向量的运算有两种方法，一是几何
15、运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何或者三角函数问题解答6.【2018 年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】已知是边长为1 的正三角形，若点满足，则的最小值为（）A.B.1 C.D.【答案】C【解析】分析：以为原点，以为 轴，建立坐标系，可得，利用配方法可得的最小值.详解：以为原点，以为 轴，建立坐标系，为边长为的正三角形，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料点睛：本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题
16、向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则；（）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）.7【2018 届衡水金卷二】已知在中，为边上的点，若，则_【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，所以，故答案为.8【2018 届四川省德阳市二诊】如图，在三角形中，、分别是边、的中点，点在直线上，且，则代数式的最小值为 _【答案】【解析】因为点共线，所以由，有又因为、分别是边、的中点，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料所以【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向
17、量共线定理的应用及结论“点共线，由，有”的应用9【2018 届四川省高三“联测促改”活动】在平面向量中有如下定理：设点O、P、Q、R为同一平面内的点，则P、Q、R三点共线的充要条件是：存在实数t，使1OPt OQtOR.试利用该定理解答下列问题：如图，在ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且2CFFA，BF交CE于点M，设AMxAEyAF，则xy_【答案】75【解析】,B M F三点共线，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料43,55xy，75xy答案：7510【2018 届北京市北京166 中高三 10 月考】如图,在矩形OABC中,点E、F分别在线段AB、BC上,且满足3,3
18、ABAE BCCF,若,OBOEOFR,则OAOBOE_;_.【答案】0 34【解析】,0OAEBOAOBOEOA EB.3,3,ABAE BCCF推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料113311331133OBOEOFOAABOCCBOAOCOCOAOAOC，又,OBOAOC113,113两式相加得3.4即30;.4OAOBOE点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决11【2018 年齐鲁名校教科研协作体
19、山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟】已知G为ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足,AGxAMy AN其中31.,4xyAMAB若则 ABC 和 AMN 的面积之比为_.【答案】209【解析】连接AG并延长交BC于D，此时D为BC的中点，故12,23ADABACAGAD1()3ABAC，设3,4ANACAMAB，34AGxAMyANxABy AC，314313xy，又1xy，解得35，则4520339ABACS ABCS AMNAMAN，故答案为209.12【2018届山东省菏泽市一模】已知在 ABC中，D为边 BC上的点，且 BD=3DC，点 E为 AD的中点，则=_.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料【答案】【解析】如图：