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1、太原志成学校 艺术类理科数学讲义-1-第一讲第一讲 数列定义及其性质数列定义及其性质一、基本概念：1、通项公式：；2、前项和：nannS3、关系：1(2)nnnaSSn二、性质：1、单调性：增数列：；减数列：；常数列：1nnaa1nnaa1nnaa2、最值：77878789+(0)0,00,=0,0,nnaSaaSSSaaa最大值：减数列最小值：增数列最大值：若最大，则若或最大，则最小值:与上面相反3、前项积有最大值：nnT三、几种常见数列：1、-1,7,-13,192、7,77,777,3、1 3 52 4 8，4、161149，5、2468,3 15 35 63，随堂训练：太原志成学校 艺
2、术类理科数学讲义-2-1、已知数列通项公式是，那么这个数列是（）na231nnanA.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 2、已知数列满足，那么这个数列是（）na10a 112nnaaA.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 3、已知数列通项公式是，若对任意，都有成立，则na22nankn*nN1nnaa实数的取值范围是（）k4、已知数列通项公式是是数列的前项积，即，na10,21nnnaTnnan123nnTa a aa当取到最大值是，n 的值为（）nT5、设数列的前项和，则的值是（）nan2nSn8a太原志成学校 艺术类理科数学讲义-3等差数列专题等差数列专题一、
3、等差数列知识点回顾与技巧点拨一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1 1等差数列的定义等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示2 2等差数列的通项公式等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d(nm)dp.3 3等差中项等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A.xy24 4等差数列的常用性质等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN N*)(2)若
4、an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN N*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN N*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.(6)若n为偶数，则S偶S奇；nd2 若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)5 5等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式若已知首项a1和末项an，则Sn，或等差数列an的首项是a1，公差是d，na1an2则其前n项和公式为Snna1d.nn126 6等差数列的前等差数列的前n n项和公式与函数的关系项和公式与函数的关系Snn2n，数列a
5、n是等差数列的充要条件是SnAn2Bn(A，B为常数)d2(a1d2)太原志成学校 艺术类理科数学讲义-47 7最值问题最值问题在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值，若a10，d0，则Sn存在最小值一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sna1a2a3an，Snanan1a1，得：Sn.na1an2两个技巧两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元四种方法四种
6、方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n2 的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证 2an1anan2(n3，nN N*)都成立；(3)通项公式法：验证anpnq；(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.注注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列基础训练：（公式的运用，定义的把握）基础训练：（公式的运用，定义的把握）1已知等差数列an中，a3=9，a9=3，则公差 d 的值为（）AB1CD12已知数列an的通项公式是 an=2n+5，则此数列是（）A以 7 为首项，公差为 2 的等差数列B以 7 为首项，公差为 5 的等差数列C以 5 为首项
7、，公差为 2 的等差数列D不是等差数列3在等差数列an中，a1=13，a3=12，若 an=2，则 n 等于（）太原志成学校 艺术类理科数学讲义-5A23B24C25D264两个数 1 与 5 的等差中项是（）A1B3C2D5（2005黑龙江）如果数列an是等差数列，则（）Aa1+a8a4+a5Ba1+a8=a4+a5Ca1+a8a4+a5Da1a8=a4a5考点考点 1:1:等差数列的通项与前等差数列的通项与前 n n 项和项和题型题型 1 1：已知等差数列的某些项，求某项：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法【例例 1】1】
8、已知为等差数列，20,86015aa，则75a na对应练习对应练习：1、已知为等差数列，qapanm,（knm,互不相等），求ka.na2、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.题型题型 2 2：已知前：已知前n项和项和nS及其某项，求项数及其某项，求项数.太原志成学校 艺术类理科数学讲义-6【解题思路解题思路】利用等差数列的通项公式dnaan)1(1求出1a及d，代入nS可求项数n；利用等差数列的前 4 项和及后 4 项和求出naa 1，代入nS可求项数n.【例例 2】2】已知nS为等差数列的前n项和，63,6,994nSaa，求n na对应练习：对应练习：3、若
9、一个等差数列的前 4 项和为 36，后 4 项和为 124，且所有项的和为 780，求这个数列的项数n.4、已知nS为等差数列的前n项和，100,7,141nSaa，则n .na题型题型 3 3：求等差数列的前：求等差数列的前 n n 项和项和【解题思路解题思路】（1 1）利用nS求出na，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.（2 2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例例 3】3】已知nS为等差数列的前n项和，212nnSn.na（1）321aaa；求10321aaaa；求naaaa321.太原志成学校 艺术类理科数学讲义-7练习：对应练习：对应练习：5、已知nS为等差数列
10、的前n项和，10,10010010SS，求110S.na考点考点 2 2 ：证明数列是等差数列：证明数列是等差数列【名师指引名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法：daann1（Nn，d是常数）是等差数列；na2、中项法：212nnnaaa(Nn)是等差数列；na3、通项公式法：bknan（bk,是常数）是等差数列；na4、项和公式法：BnAnSn2（BA,是常数，0A）是等差数列.na【例例 4】4】已知nS为等差数列的前n项和，)(NnnSbnn.求证：数列 nb是等差数列.na太原志成学校 艺术类理科数学讲义-8对应练习：对应练习：6、设nS为数列的前n项和，)(Nnpn
11、aSnn，.21aa na（1）常数p的值；（2）证：数列 na是等差数列.考点考点 3 3 :等差数列的性质等差数列的性质【解题思路解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例例 5】5】1、已知nS为等差数列的前n项和，1006a，则11S ；na2、知nS为等差数列的前n项和，)(,mnnSmSmn，则nmS .na对应练习：对应练习：7、含12 n个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）.Ann12 .Bnn1 .Cnn1 .Dnn218.设nS、nT分别是等差数列、的前n项和，327nnTSnn，则55ba .na na 考点考点 4 4：等差数列与其它知识的综合等差数列与其它
12、知识的综合【解题思路解题思路】1、利用na与nS的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出nT后，判断nT的单调性.【例例 6】6】已知nS为数列的前n项和，nnSn211212；数列 nb满足：113b，nannnbbb122，其前9项和为.1531 数列、nb的通项公式；na太原志成学校 艺术类理科数学讲义-9 设nT为数列 nc的前n项和，)12)(112(6nnnbac，求使不等式57kTn对Nn都成立的最大正整数k的值.课后练习：课后练习：1.(2010.(2010 广雅中学广雅中学)设数列 na是等差数列，且28a ，155a，nS是数列 na的前n项和，则A1011SS B101
13、1SS C910SS D910SS2.在等差数列中，1205a，则8642aaaa .na3.数列中，492 nan，当数列的前n项和nS取得最小值时，n .na na4.已知等差数列共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 .na5.设数列 na中，112,1nnaaan，则通项na .太原志成学校 艺术类理科数学讲义-10对应练习：对应练习：9.已知nS为数列的前n项和，31a，)2(21naSSnnn.na1数列的通项公式；na 数列中是否存在正整数k，使得不等式1kkaa对任意不小于k的正整数都成立？na若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由太原志成学校 艺术类理科数学讲义-11