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1、专题提升(五)一次函数的图象与性质的应用类型之一一次函数的图象的应用【经典母题】如图Z51，由图象得5x2y40，3x2y120的解是x2，y3图Z51【思想方法】(1)每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，于是也对应着两条直线从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标；(2)一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着独立的概念，但在本质上，后者是前者的特殊情况，从而可以利用函数图象解决方程或方程组问题，体现出数形结合的思想【中考变形】1高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便五一期间，乐
2、乐和颖颖相约到杭州市某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1 h后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车东站，然后转乘出租车去游乐园(换车时间忽略不计)，两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y(km)与乘车时间 t(h)的关系如图 Z52所示请结合图象解决下列问题：图Z52(1)高铁的平均速度是每小时多少千米？(2)当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？(3)若乐乐要提前 18 min到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少？解：(1)v24021240(km/h)，答：高铁的平均速度为240 km/h；(2)设乐乐离开衢州的距离y与时间 t 的函数关系为 ykt，则 1.5
3、k120，k80，函数表达式为y80t，当 t2 时，y160，21616056(km)答：乐乐距离游乐园还有56 km；(3)把 y216 代入 y80t，得 t2.7，2718602.4(h)，2162.490(km/h)答：乐乐要提前18 min 到达游乐园，私家车的速度必须达到90 km/h.22017 宿迁 小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留 2 min，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上，小刚7：39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早1
4、 min到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数图象如图 Z53所示图Z53(1)求点A的纵坐标 m的值；(2)小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程解：(1)校车的速度为 3 40.75(km/min)，点 A的纵坐标 m的值为 30.75(86)4.5.答：点 A的纵坐标 m的值为 4.5；(2)校车到达学校站点所需时间为9 0.75416(min)，出租车到达学校站点所需时间为16916(min)，出租车的速度为9 61.5(km/min)，两车相遇时出租车出发时间为0.75(94)(1.5
5、0.75)5(min)，相遇地点离学校站点的路程为91.551.5(km)答：小刚乘坐出租车出发后经过5 min 追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校站点的路程为1.5 km.3方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地设乙行驶的时间为 t(h)，甲乙两人之间的距离为 y(km)，y与t的函数关系如图 Z54所示方成思考后发现了图的部分信息：乙先出发1 h；甲出发 0.5 h与乙相遇请你帮助方成同学解决以下问题：(1)分别求出线段 BC，CD所在直线的函数表达式；(2)当20y30时，求 t的取值范围；(3)分别求出甲，乙行驶的路程s甲，s乙与时间 t的函数表达
6、式，并在图所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；(4)丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往 M地，若丙经过43h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？图Z54 解：(1)设直线 BC 的函数表达式为yktb，把32，0，73，1003分别代入，得032kb，100373kb，解得k40，b60，直线 BC的表达式为 y40t60.设直线 CD 的函数表达式为y1k1tb1，把73，1003，(4，0)分别代入，得100373k1b1，04k1b1，解得k120，b180，直线 CD 的函数表达式为y120t80；(2)设甲的速度为 a km/h，乙的速度为 b km/h，根据题意，
7、得0.5a1.5b，a731 73b1003，解得a60，b20，甲的速度为 60 km/h，乙的速度为 20 km/h，OA 的函数表达式为 y20t(0t1)，点 A的纵坐标为 20，OA段，AB 段没有符合条件的t值；当 20y30 时，即 2040t6030 或 2020t8030，解得 2t94或52t3；(3)根据题意，得 s甲60t601t 73，s乙20t(0t4)，所画图象如答图所示；中考变形 3答图(4)当t43时，s乙803，此时丙距 M地的路程 s丙与时间t的函数表达式为 s丙40t80(0t2)，当40t8060t60时，解得 t75，答：丙出发75h与甲相遇【中考预
8、测】2017 义乌模拟甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)的函数图象如图 Z55所示图Z55(1)直接写出甲组加工零件的数量y与时间 x之间的函数关系式 _y60 x(0 x6)_；(2)求乙组加工零件总量 a的值；(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？解：(1)图象经过原点及(6，360)，设表达式为 ykx，6k360，解得 k60，y60 x(0 x6)；(2)乙 2 h 加工 100 件，乙的加工速度是每小
9、时50件，更换设备后，乙组的工作速度是每小时加工100件，a100100(4.82.8)300；(3)乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间 x的函数关系式为 y100100(x2.8)100 x180，当 0 x2时，60 x50 x300，解得 x3011(不合题意，舍去)；当 2x2.8 时，10060 x300，解得 x103(不合题意，舍去)；当 2.8x4.8 时，60 x100 x180300，解得 x3，符合题意答：经过 3 h 恰好装满第 1 箱类型之二一次函数的性质的应用【经典母题】某商场要印制商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印制费，另收 1 500
10、元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费(1)分别写出两厂的收费 y(元)与印制数量 x(份)之间的关系式；(2)在同一直角坐标系中画出它们的图象；(3)根据图象回答下列问题：印制800份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费 3 000元用于印刷上述宣传材料，找哪一家印刷厂印制宣传材料多一些？解：(1)甲厂的收费函数表达式为y甲x1 500，乙厂的收费函数表达式为y乙2.5x；(2)图略；(3)当 x800 时，y甲x1 5008001 5002 300(元)，y乙2.5x2.58002 000(元)；当 y3 000时，y甲x1 5003 000，解
11、得 x1 500，y乙2.5x3 000，解得 x1 200，答：印制 800 份材料时，选择乙厂合算；花费3 000元时，甲厂印制的宣传材料多一些【思想方法】解此类一次函数在实际生活中的应用的问题，需综合运用方程等知识，体现了数形结合思想【中考变形】1某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：甲乙进价(元/部)4 0002 500 售价(元/部)4 3003 000 该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元毛利润(售价进价)销售量(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，
12、减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，才能使全部销售后获得的毛利润最大？求出最大毛利润解：(1)设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机 y部，由题意，得0.4x0.25y15.5，0.03x0.05y2.1，解得x20，y30.答：商场计划购进甲种手机20 部，乙种手机 30 部；(2)设甲种手机的购进数量减少a部，则乙种手机的购进数量增加2a部，由题意，得 0.4(20a)0.25(302a)16，解得 a5.设全部销售后获得的毛利润为W万元，由题意，得W0.03(20a)0
13、.05(302a)0.07a2.1.k0.070，W随 a的增大而增大，当 a5 时，W最大2.45万元答：该商场购进甲种手机15 部，乙种手机 40 部可使获得的毛利润最大，最大毛利润为 2.45 万元22017 绵阳江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和 3台小型收割机 1 h可以收割小麦 1.4公顷，2台大型收割机和 5台小型收割机 1 h可以收割小麦 2.5公顷(1)每台大型收割机和每台小型收割机1 h收割小麦各多少公顷？(2)大型收割机每小时费用为 300元，小型收割机每小时费用为200元两种型号的收割机一共有 10台，要求 2 h完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5 400元
14、有几种方案？请指出费用最低的一种，并求出相应的费用解：(1)设 1 台大型收割机每小时收割小麦a公顷，1 台小型收割机每小时收割小麦 b公顷，根据题意，得a3b1.4，2a5b2.5，解得a0.5，b0.3.答：1 台大型收割机每小时收割小麦0.5 公顷，1 台小型收割机每小时收割小麦 0.3 公顷(2)设需要大型收割机x台，则需要小型收割机(10 x)台，根据题意，得600 x400（10 x）5 400，x0.6（10 x）8，解得 5x7，又x取整数，x5，6，7，一共有 3 种方案设费用为 W元，则 W600 x400(10 x)200 x4 000.由一次函数性质知，W随 x 增大而
15、增大 当 x5时，W值最小，即大型收割机5 台，小型收割机 5 台时，费用最低，此时，所有费用W600540055 000(元)答：采用大型、小型收割机各5 台时费用最低，最低费用为5 000 元【中考预测】某商店销售 10台A型和20台B型电脑的利润为 4 000元，销售 20台A型和10台B型电脑的利润为 3 500元(1)求每台A型电脑和 B型电脑的销售利润；(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中 B型电脑的进货量不超过A型电脑的 2倍，设购进 A型电脑 x台，这 100台电脑的销售总利润为 y元求y关于x的函数关系式；该商店购进 A型，B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？解：(1)设每台 A 型电脑销售利润为m元，每台 B型电脑的销售利润为n 元，根据题意，得10m20n4 000，20m10n3 500，解得m100，n150.答：每台 A型电脑的销售利润为100元，每台 B 型电脑的销售利润为150 元；(2)根据题意，得 y100 x150(100 x)，即 y50 x15 000.根据题意，得100 x2x，解得 x3313，y50 x15 000，y随 x的增大而减小，x 为正整数，当 x34时，y 有最大值，则 100 x66.答：商店购进 34 台 A型电脑和 66 台 B型电脑时，销售利润最大