系统的数学模型.pdf

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1、第三章 系统的数学模型 3-1 求题图 3-1(a)、(b)所示系统的微分方程。(a)解：（1）输入 f(t),输出 y(t)(2)对质量块 m：()()()=f tky tmy t (3)整理得：()()()=my tky tf t（b 解：(1)输入 f(t),输出 y(t)(2)引入中间变量 x(t)为12,k k连接点向右的位移，（yx）(3)12()=k xkyx ()2fkyxmy=(4)由、消去中间变量得：1212k kmyyfkk+=+3-2 求题图 3-2(a)、(b)、(c)所示三个机械系统的传递函数。图中，x表示输入位移，y表示输出位移。假设输出端的负载效应可以忽略。(a

2、)(b)题图 3-1 题图 3-2（a）解：（1）输入,rx输出cx()rcxx （2）对质量块 m：12()=rcccc xxc xmx（3）整理得：12()+=ccrmxcc xmx （4）两边进行拉氏变换得：2121()()()()+=ccrms Xscc sXsc sXs（5）传递函数：1212()()()()=+crXsc sG sXsmscc s（b）解：（1）输入,rx输出cx（2）引入中间变量 x 为1k与 c 之间连接点的位移 ()rcxxx（3）1()()=rck xxc xx 2()=ccc xxk x （4）消去中间变量 x,整理得：1221()+=ccrc kkxk

3、xcxk（5）两边拉氏变换：1221()()()()+=ccrc kksXsk XscsXsk（6）传递函数：1221()()()()=+crXscsG sc kkXsskk（c）解：（1）输入,rx输出cx（2）21()()=+crcrck xk xxc xx（3）两边拉氏变换：211()()()()()=+crcrck x sk x sk x scsx scsx s（4）传递函数：112()()()+=+crXskcsG sXskkcs 3-3 证明题图 3-3(a)和(b)所示系统是相似系统。(a)(b)题图 3-3 解：（a）(1)输入ru，输出cu （2）系统的传递函数：sCRsCR

4、sCRsususGrc221122111)()()(+=1)1)(1(212211221211122+=sCRsCRsCRsCCRRsCRsCR（b）（1）输入rx，输出cx（2）引入中间变量 x 为1k与 c1之间连接点的位移 ()rcxxx（3）11()=ck xc xx 122()()()=+crcrcc xxkxxc xx （4）两边拉氏变换：111()()()=ck x sc sx sc sx s 112222()()()()()()=+crcrcc sx sc sx sk x sk x sc sx sc sx s （5）消去中间变量)(sx整理得：1 1222211()()()()

5、()+=+cccrrk c sx sk x sc sx sk x sc sx skc s （6）传递函数：212121 22111 2212(1)(1)()1+=+c sc skkG scc sc sc sc sk kkkk（a）和（b）两系统具有相同的数学模型，故两系统为相似系统。3-4 在题图 3-4 所示的无源网络中，已知1100Rk=，2121,10,1RMCF CF=。K2 2 k1 1 r o 试求网络的传递函数()/()crUsUs，并说明该网络是否等效于 RC 网络串联？解 对于题图 3-4。利用复数阻抗的方法可得网络的传递函数为 212121122122()1()()112.

6、11=+=+crUsUsR R C C sRCR CRC sss 由于两个 RC 网络串联的传递函数为 21122()11()(1)(1)21=+crUsUsRC sR C sss 故该网络与两个 RC 网络串联形成的网络不等效。3-5 已知一系统由如下方程组组成，试绘制系统结构图并求闭环传递函数 C(s)/R(s)。11178()()()()()()()=X sG s R sG s G sG s C s 22163()()()()()=XsG sX sG s Xs 3253()()()()()=XsXsG s C s G s 43()()()=C sG s Xs 解：根据系统方程组可绘制系统

7、结构图，如题图 3-5 所示。题图 3-5 系统结构图 由()()221633253,=XGXG XXXG C G 可得：2313532361=+G G XG G CXG G G 代入()11178=XG RG GG C 得 ()2311783532361G GG RG GGCG G CXG G G=+题图 3-4 rucu)(sR)(1sG)(2sG)(4sG)(3sG)(6sG)(5sG)()(87sGsG)(2sX)(1sX)(3sX又因为43=CG X 故 ()23411783452361G G GG RG GGCG G G CCG G G=+即()()()12342363451234

8、781C sGG G GR sG G GG G GGG G GGG=+又解：（1）运用结构简化的办法，将3()Xs的引出点后移，可得系统的前向通道传递函数为 34234512341346236345234541111+=+G GGG G GGG G GGG GGG G GG G GGG G G G 则系统的闭环传递函数为 12342363451234782363451()()1()1+=+GG G GG G GG G GC sGG G GR sGGG G GG G G12342363451234781()=+GG G GG G GG G GGG G G GG（2）运用信号流图的办法，本系统有一

9、条前向通道，三个单独回路，无互不接触回路 123623453123478,()=LG G G LG G G LGG G G GG 1232363451234781()1()LLLG G GG G GGG G G GG=+=+11234pGG G G=，11=由梅林增益公式可得系统的传递函数为 ()()()12342363451234781iipC sGG G GR sG G GG G GGG G GGG=+3-6 试简化题图3-6（a）所示系统结构图，并求出相应的传递函数()/()C sR s和()/()C sN s。解：当仅考虑()R s作用时，经过反馈连接等效可得简化结构图（题图3-6(a

10、)），则系统的传递函数为 题图 3-6 1()G s2()G s 2()H s 1()H s 3()H s()R s()C s+()N s+题图 3-6（b）()R s作用时的简化结构图 12221212221233221()()111=+GGG HGGC sGGR sG HGG HHG H 当仅考虑()N s作用时，系统结构如题图3-6（c）所示。系统经过比较点后移和 串、并联等效，可得简化结构图，如题图3-6（d）所示。则系统传递函数为 1122121221322123(1)()()1()1=+G H GGGG HC sN sG HG HG HGG H 题图 3-6(c)()N s作用时的

11、系统结构图 题图 3-6（d）()N s作用时的简化结构图 又解：可用信号流图方法对结果进行验证。题图3-6（a）系统的信号流图如题图3-6（e）所示。题图 3-6（e）系统信号流图 当仅考虑()R s作用时，由图可知，本系统有一条前向通道，两个单独回路，无互不 GG1G HHR(s)C(s)122 23H(s)C(s)1G1G2H2H3+GH(s)C(s)122G131G HRC1G2G1H2H3H111接触回路，即 ()12221231212322,11LG HLGG HLLGG HG H=+=+，1121,1pGG=由梅林增益公式可得系统的传递函数为 1222123()()1=+iipG

12、GC sR sG HGG H 当仅考虑()N s作用时，由图可知，本系统有两条前向通道，两个单独回路，无互不接触回路，即 ()12221231212322,11LG HLGG HLLGG HG H=+=+12pG=，11=2121pGG H=，21=由梅林增益公式可得系统的传递函数为 212122123()()1=+iipGGG HC sN sG HGG H.3-7 已知某系统的传递函数方框如题图3-7所示，其中，R(s)为输入，C(s)为输出，N(s)为干扰，试求，G(s)为何值时，系统可以消除干扰的影响。解：()()()()()41231231=+NCNCsk sk k G sksN ss

13、k k ks Ts 若使()()()0=NCNCss N s，则412()0=k sk k G s，即412()=k sG sk k 3-8 求题图3-8所示系统的传递函数()()C sR s。-+-+13+sTk()sG1k sk24k题图3-7()R s()C s()N s 解：1234231123212343344()1=+GG G GG sG G HGG G HGG G G HG G H 3-9求题图3-9所示系统的传递函数()()C sR s。解：()1234123121233431GG GGG SGG G H HGG G HG H+=+3-10 求题图3-10所示系统的传递函数()

14、()C sR s。-+-+()sC()sR+1G2G4G3G4H1H2H3H题图3-8+()sC()sR-+1G2G4G3G1H2H3H题图3-9+-+()sC()sR+1G2G4G3G1H2H5G题图3-10-解：1234512512123212345125()1+=+GG G G GGG GG sGG HG G HGG G G GGG G 3-11 求题图3-11所示系统的传递函数()()C sR s。解：（1）KsssKsG5.05.35.0)(23+=（2）324331422132342312651543211)(HHGGHHGGHHGGHGHGHGGGGGGGGGsG+=3-12 设

15、系统的微分方程为 71483yyyyu+=试求系统的状态空间表达式。解：若321,yxyxyx=，可导出状态方程和输出方程 uxxxxxx+=3007148100010321.321=.32.1001xxxy 3-13 给定系统传递函数为 232()23()()24610Y sssG sU ssss+=+试写出它的状态空间表达式。解：232()0.51.5()()235+=+Y sssG sU ssss 0123,5,3,2=naaa 题图3-11K21s(a)1 0.5 11s+1-5 s-1()R s()C s(a)6G2G3G4G 5G 1G3H2H 1H()R s()C s0011231.5,1,0.5,0=bbbbbb 1122330100001010641 =+&xxXxxuxx 1231.510.5=xyxx