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1、第40卷第2期华中师范大学学报(自然科学版)Vol.40No.22006年6月JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY(Nat.Sci.)Jun.2006收稿日期:2005208229.基金项目:国家自然科学基金委员会数学天元基金资助项目(10226035).作者简介:赖兴珲(1965-),男,广西陆川人,讲师,主要从事微分方程教学与研究.文章编号:100021190(2006)0220146205用微分方程方法研究红绿灯控制下的交通流模型赖兴珲1,张正杰2(1.玉林师范学院 数学与计算机科学系,广西 玉林537000;2.华中师范大学 数学与统计学
2、学院,武汉430079)摘 要:红绿灯模型是交通流动力学模型研究中一个重要而困难的问题,首先给出交通流模型,然后给出红绿灯交通流模型与特征线的求解,根据红绿灯模型与特征线意义,对交通流的红绿灯转换周期的设置具有重要意义.关键词:交通流模型;红绿灯;连续交通流;微分方程中图分类号:O175.2文献标识码:A 交通流模型和红绿灯交通流模型,是城市交通管理的科学依据,是科学设置城市交通管理中红绿灯转换周期的根据.而城市交通管理问题一直是一个难题,特别近几年来变得更严重,它给社会经济的结构和生活方式、能源和环境等带来了许多不良影响.而许多交通问题都可以用红绿灯交通流模型和特征线来处理.现在许多城市十字
3、路口的红绿灯的转换周期都是固定的,应该根据不同的时间段的车流量的变化,调节红绿灯的转换周期,以提高城市十字路口的车流量,对节约能源,改变城市环境和交通状况等均具有重要意义.1交通流模型1.1Greeshields速度密度模型设流量q(x,t)为时刻t单位时间内通过点x的车辆数;密度(x,t)为时刻t点x处单位长度内的车辆数;速度u(x,t)为时刻t通过点x的车流速度.由于单位时间内通过的车辆数等于单位长度内车辆数与车流速度的乘积,即q(x,t)=u(x,t)(x,t).(1)一般车流密度,不访假设u是的线性函数,即Greeshields速度密度模型1,u=um(1-m).(2)当车流密度很大时
4、,Greenberg速度密度模型为u=umln(m).(2a)当车流密度很小时,Unuerwood速度密度模型为u=ume-/m.(2b)式(2)、(2a)、(2b)分别代入(1)式可得q=um(1-m),(3)q=umln(/m),(3a)q=ume-/m.(3b)1.2连续交通流守恒模型将交通流类比于流体,设q(x,t),(x,t)和u(x,t)都是x和t的连续、可微函数,考虑时刻t,路段 x,x+x内的车辆数为x+xx(x,t)dx,单位时刻内通过x、x+x点的流量q(x,t)和q(x+x,t)之差等于车辆的变化率,即q(x,t)-q(x+x,t)=ddtx+xx(x,t)dx.(4)由
5、微积分学知识可得5 5t+5q5x=0.(5)若q表示为的已知函数q=q(),则式(5)可改写为5 5t+()5 5x=0,t 0,-x,(x,0)=f(x),(6)其中,()=dqd,f(x)表示初始密度.第2期赖兴珲等:用微分方程方法研究红绿灯控制下的交通流模型147式(6)就是连续交通流守恒模型2.1.3间断交通流模型设(x,t)和(x+x,t+t)为间断线两点,由式(4)得q-(x,t)-q+(x+x,t)=ddtx+xx-(x,t+t)-+(x,t)dx.(7)再由微积分学知识可得q-(x,t)-q+(x+x,t)=x+xx5 5tdx+-(x,t+t)dxdt-x+xx5 5tdx
6、-+(x,t)dxdt,再令x0,t0得q-(x,t)-q+(x+x,t)=-(x,t+t)dxdt-+(x,t)dxdt,q+(x,t)-q-(x,t)=+(x,t)-(x,t)dxdt,即dxdt=q.(8)其中,q=q+(x,t)-q-(x,t),=+(x,t)-(x,t).式(8)就是间断交通流模型.2红绿灯交通流模型与特征线求解红绿灯交通流模型的研究是一个较难课题,通过特征线的求解和对其意义的了解,对理解交通流的间断特性、交通流模型具有重要意义.设t=0+时交通灯突然由绿变红,t=时又由红变绿,红灯亮前车流密度为常数=00,-x,(x,0)=f(x),是一阶拟线性偏微分方程,用特征方
7、程和首次积分法求解.令(x(t),t)=f(x0),两边对t求导得,5 5t=5 5t+5 5xdxdt=0,所以dxdt=(),则x(t)=()t+x0,x(0)=x0.(9)分别由(3),(3a),(3b),则()=dqd=um1-2m.(10)()=dqd=umln(m/)-2m.(10a)()=dqd=ume-/m1-m.(10b)所以x(t)=um(1-2m)t+x0.(11)x(t)=umln(m/)-2mt+x0.(11a)x(t)=ume-/m(1-m)t+x0.(11b)图1连续交通流的特征线式(11)是连续交通流在点x0处的特征线.它的几何意义,在Oxt平面上(11)式表示
8、一族直线(如图1),它与x轴的交点坐标为x0,斜率k=um(1-2m)-1(t对x的斜率),k随x0改变,这族直线称为特征线3.图2特征线相交形成激波但是,当密度函数(x,t)是x增函数时,即前面密度大,后面密度小,那么在某两点x1和x2处的特征线相交于点P(x,t),这说明点P的密度既等于点x1的密度,又等于点x2的密度.对于特征线相交而造成多解现象,在微分方程数值理论中称为激波,在交通流问题中的实际意义就是发生车祸或遇148华中师范大学学报(自然科学版)第40卷到红灯所致,如图2所示4.式(11a)、(11b)情况的特征线较复杂,在此不做研究.2.20+t时形成的两条特征线红灯亮在红灯后面
9、(x 0)车辆继续行驶,空出的路段导致最大密度=0与=0形成间断,这条右间断线记作x=xsr,表示远离的车队尾部随时间向前(右)延伸的过程.下面给出这两条特征线的求解.对于x=xst(t),=m-0,q=q(m)-q(0)=0-um0(m-0)m=-um0(m-0)m,所以q=-um0m,于是由(8)式得dxsldt=-um0m,xsl(0)=0,其解为xsl(t)=-um0mt.(12)同理,若车流密度较大和车流密度较小时,分别解得xsl(t)=-umln(m/0)m0-1t.(12a)xsl(t)=um(me-1-0e-0/m)m-0t.(12b)对于x=xsr(t),=0-0=0,q=q
10、(0)-q(0)=um0(m-0)m-0=um0(m-0)m,所以q=um(m-0)m,于是由(8)式得dxsrdt=um(m-0)m,xsr(0)=0,其解为xsr(t)=um(m-0)mt.(13)同理,若车流密度较大和车流密度较小时,分别解得xsr(t)=umln(m/0)t.(13a)xsr(t)=ume-0/mt.(13b)因为0时绿灯亮后的特征线绿灯亮后车辆得到放行,用x1(t)表示堵塞车队行驶时最前面那辆车的位置,即由=0变为0那一点的位置;用x2(t)表示堵塞车队行驶时最后面那辆车的位置,即由m变为=m那一点的位置;用x表示x2(t)x x1(t),密度(x,t)是连续的.对x
11、1(t),由于x0=0+,=0,且当t=+时x=0,由(10)式得()=um,再由(8)得x1(t)=um(t-).(14)对x2(t),由于x0=0+,=m,且当t=+时x=0,由(10)式得()=-um,再由(8)得x2(t)=-um(t-).(15)而对x2(t)x x1(t),由密度(x,t)是连续的.由(10)式得()=um(1-2m),x=um1-2m(t-).(16)即(x,t)=m21-xum(t-),x2(t)x tu时.特征线xsl(t)和xsr(t)的变化设tu表示当x1(t)赶上xsr(t),堵塞车队的最前面那辆车追上远离的车队的时刻,由(13),(14)式得即x1(t
12、)=xsr(t)得tu=m0.xsl(t)和xsr(t)继续移动,而(x,t)在间断处的跳跃值逐渐减小,此时xsl(t)和xsr(t)的变化规律是:对于xsl(t),同样可由(8)来求,其中+由(17)式确定+=m21-xslum(t-),-=0,由(3)式算出q+=q(+),q-=q(-),因为q+-q-=um+1-+m-um-1-m=um(+-)-1m(+-)(+-)=umm-+-m(+-),又dxsldt=q=q+-q-+-,m-+-m=m-m21-xslum(t-)-0m=第2期赖兴珲等:用微分方程方法研究红绿灯控制下的交通流模型149xsl2um(t-)+121-20m,因此dxsl
13、dt=umxsl2um(t-)+121-20m=xsl2(t-)+um21-20m.(18)方程(18)的定解条件是xsl(td)=-um(td-).(19)其中,td由(12)和(15)解得td=mm-0.(20)由(18),(19),(20)式用常微分方程的常数变异法求解,具体解法如下:由(18)式,令dxsl(t)dt=xsl(t)2(t-).(18a)解得xsl(t)=Ct-,再设xsl(t)=C(t)t-,(18b)所以dxsl(t)dt=C(t)t-+C(t)12t-,代入(18)式,解得C(t)=um(1-20m)t-+C0.(18c)式(18c)代入(18b),得xsl(t)=
14、um(1-20m)(t-)+C0t-.(21)又因其定解条件为xsl(td)=-um(td-),而td-=mm-0-=0m-0,所以um(1-20m)0m-0+C00m-0=-um(0m-0),解得C0=-2um(1-0m)0m-00.(26)而间断线x=xsr(t)就是红灯亮前放行的最后那辆车的迹线;间断线x=xsr(t)就是红灯亮后最前面那辆车的迹线.由(21)和(25)式容易求得5limtdxsldt=um1-20m0,(27)limtdxsrdt=um1-20m0.(28)这说明当t足够大时,间断线x=xsl(t)与x=xsr(t)移动的速度是一样,它们不会再相交而形成新的间断.3应用
15、对这些特征线的意义理解后,可根据这些特征线求解一些问题.3.1设置红绿灯转换周期红绿灯转换周期表示红灯亮时到绿灯亮时的时长.一般的车流密度时,已知司机等待时间td和车流密度比,求红绿灯转换周期.由(12)和(15)解得=m-0mtd.(29)同理,若车流密度较大和车流密度较小时,分别由(12a)和(15)及(12b)和(15)解得=m0-1-lnm0m0-1td,(29a)=1-0me-0m-e-11-0mtd.(29b)150华中师范大学学报(自然科学版)第40卷3.2追赶问题已知堵塞时间和车流密度比,求经过多少时间可追上远离的车队.一般车流密度,可利用(13)和(14)令x1(t)=xsr
16、(t),可算出tu=m0.(30)同理,若车流密度较大和车流密度较小时,分别由(13a)等于(14)和(13b)等于(14),解得tu=11-ln(m/0),(30a)tu=1-e-0/m.(30b)tu表示堵塞车队最前面那辆车追上远离的车队所花的时间等等.由上面可知,在交通流密度不同的情况下,有不同的计算公式,因此设置城市十字路口在不同时间段的红绿灯转换周期是不同的;或已知堵塞时间,则追赶上远离的车队要花多少时间的问题也不同等等.特别是红绿灯转换周期的设置问题,应根据不同时段的车流密度来设置,打破现行的城市十字路口的红绿灯转换周期固定不变,对提高车辆通过率,科学管理城市十字路口交通状况、节约
17、能源、改善环境具有重要意义.参考文献:1李 云.应用数学模型M.武汉:华中理工大学出版社,1993.2姜启源,谢金星,叶 俊.数学模型(第三版)M.北京:高等教育出版社,2003.3王高雄.常微分方程(第二版)M.北京:高等教育出版社,1983.4杨开春,段胜军.交通流的红绿灯模型J.西安联合大学学报,2004,7(5):41243.5张鹏,刘儒勋.红绿灯间断模型与特征线求解J.昆明理工大学学报,2000,25(3):93297.Using differential equation methods to study traffic flowmodels under the control o
18、f traffic lightsLAI Xing2hui1,ZHANG Zheng2jie2(1.Mathematics and Computer Science Department,Yulin Teachers College,Yulin,Guangxi 537000;2.School of Mathematics and Statistics,Central China Normal University,Wuhan 430079)Abstract:Traffic light model is an important and difficult problem in the resea
19、rch of thetraffic flow dynamic model.This paper,firstly shows the traffic light models,thenexplains the solution to traffic lights models and various characteristics.Based on themeaning of traffic light models and various characteristic lines,the establishment oftransferring cycle of traffic light in the traffic circulation is of great significance.Key words:traffic flow models;traffic lights;continuous traffic flow;differentialequation