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1、武汉理工大学多元统计分析课程设计论文第1页湖北省各地区经济差异的多元统计分析摘摘 要要本文通过多元统计分析的方法，对湖北省各地区主要的经济指标进行因子分析和方差分析，进而可以得出湖北省12个城市的经济发展水平的差异，由因子分析的结果可知，这12个城市的综合经济实力从大到小的排名依次为武汉、宜昌、襄樊、黄石、荆州、十堰、鄂州、荆门、随州、孝感、黄冈、咸宁。由方差分析的结果可知，以武汉为中心，根据地理位置将这12个城市划分为四个地区：武汉以东的地区（黄石、鄂州、黄冈）、武汉以南的地区（孝感、荆州）、武汉以西的地区（宜昌、荆门、随州）、武汉以北的地区（十堰、襄樊、咸宁）这四个地区的经济发展趋于稳定。
2、根据分析的结果我们可以为湖北省经济的稳步发展出一份薄力。关键词关键词经济指标；因子分析；方差分析TheTheTheThe multivariatemultivariatemultivariatemultivariate statisticalstatisticalstatisticalstatistical analysisanalysisanalysisanalysis ofofofofHubeiHubeiHubeiHubei regionalregionalregionalregional economiceconomiceconomiceconomic disparitiesdispar
3、itiesdisparitiesdisparitiesAbstractAbstractAbstractAbstractBy multivariate statistical analysis method Hubei region of the main economicindicators for factor analysis and analysis of variance.thus can reach 12 cities inHubei Province in the level of economic development,ranging from factor analysis
4、ofthe results,This 12 cities in the overall economic strength of the smallest order of therankings Wuhan,Yichang,Xiangfan,Huangshi,Jingzhou,Shiyan,Ezhou,Jingmen,Suizhou,Xiaogan,Huanggang,Xianning.By analysis of variance to the results,withWuhan at the center,according to this location 12 cities is d
5、ivided into four areas:thearea to the east of Wuhan(Huangshi,Ezhou,Huanggang),in the area south of Wuhan(Xiaogan,Jingzhou)Wuhan west of the region(Yichang,Jingmen,Suizhou),the areato the north of Wuhan(Shiyan,Xiangfan,Xianning)The four areas of economicdevelopment has become stable.According to the
6、results of the analysis we will beable to Hubeis steady economic development of a thin edge.KeyKeyKeyKey wordswordswordswords：Economic indicators；Factor analysis；Analysis of variance武汉理工大学多元统计分析课程设计论文第2页1 引言近几年湖北省经济得到了快速发展，但发展中还是碰到了很多问题，各个城市的经济水平还存在很大的差异，为了准确弄清楚湖北省主要的 12 个城市的经济差异，我们利用因子分析对各个地区的综合经济实
7、力进行比较分析，然后再利用方差分析对各个地区的整体实力进行比较，为湖北今后的经济发展提供一些比较科学的发展方案。2 分析方法介绍2.1因子分析因子分析模型是主成分分析的推广。它也是利用降维的思想，由研究原始变量相关矩阵内部的依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多变量统计分析方法。相对于主成分分析，因子分析更倾向于描述原始变量之间的相关关系；因此，因子分析的出发点是原始变量的相关剧增。因子分析的思想始于 1904 年查尔斯斯皮尔曼对学生考试成绩的研究。近年来，随着电子计算机的高速发展，人们将因子分析的理论成功地应用于心理学、医院、气象、地质、经济学等各个领域，也
8、使得因子分析的理论和方法更加丰富。2.2.2.2.1.1.1.1.1 1 1 1 基本思想基本思想因子分析的基本思想是根据相关性大小把原始变量分组，使得同组内的变量之间相关性较高，而不同组的变量间的相关性则较低。每组变量代表一个基本结构，并用一个不可观测的综合变量表示，这个基本结构就称为公共因子。对于所研究的某一具体问题，原始变量就可以分解成两部分之和的形式，一部分是少数几个不可测的所谓公共因子的线形函数，另一部分是与公共因子无关的特殊因子。2.2.2.2.1.1.1.1.2 2 2 2因子分析的模型因子分析的模型查尔斯斯皮尔曼提出因子分析时用到的例子 一般因子分析模型：设有 n 个样品，每个
9、样品观察 p 个指标，这p 个指标之武汉理工大学多元统计分析课程设计论文第3页间有较强的相关性（要求 p 个指标相关性较强的理由是很明确的，只有相关性较强才能从原始变量中提取出“公共”因子）。为了便于研究，并消除由于观测量纲的差异及数量级不同所造成的影响，将样本观测数据进行标准化处理，使标准化后的变量均值为 0，方差为 1。2.1.3因子分析的步骤确定因子载荷：主成分法、主轴因子法、最小二乘法、极大似然法、因子提取法等。由于这些方法求解因子载荷的出发点不同，所得的结果也不完全相同，为此我们就本论文所用到的主成分法寻找公共因子的方法做详细介绍。主成分寻找公共因子的方法如下：假定从相关阵出发求解主
10、成分，没有 p 个变量，则我们可以找出 p 个主成分。将所得的 p 个主成分按由大到小的顺序排列，记为，则主成分与原始变量之间存在如下关系式：pYYY,21L（1）11111221221122221122ppppppppppYXXXYXXXYXXX=+=+=+LLLLLL式中，为随机向量 X 的相关矩阵的特征值所对应的特征向量的分量，因为特ij征向量之间彼此正交，从 X 到 Y 的转换关系是可逆的，很容易得出由 Y 到 X 的转换关系为：（2）111 121 21212 122221122ppppppppppXYYYXYYYXYYY=+=+=+LLLLLL我们对上面每一等式只保留前 m 个主成
11、分而把后面的部分用代替，则式可i变为：（3）111 121 211212 1222221122mmmmpppmpmpXYYYXYYYXYYY=+=+=+LLLLLL这个式子在形式上已经与因子模型相一致，且之间相互独立，为),2,1(miYiL=武汉理工大学多元统计分析课程设计论文第4页了把转化成合适的公因子，现在要做的工作只是把主成分变为方差为 1 的变iYiY量。为完成此变换，必须将除以其标准差（即为特征根的平方根。于是，iYi令，则式变为：jiiijiiiaYF=,/（4）1111122112211222221122mmmmppppmmpXa Fa Fa FXa Fa FaFXa Fa F
12、aF=+=+=+LLLLLL这与因子模型完全一致，这样，就得到了载荷 A 矩阵和一组初始公因子（未旋转）。因子旋转：因子旋转分为正交旋转与斜交旋转，正交旋转由初始载荷矩阵 A左乘一正交阵而得到。经过正交旋转而得到的新的公因子仍然保持彼此独立的性质。而斜交旋转则放弃了因子之间彼此独立这个限制，因而可能达到更为简洁的形式，其实际意义也更容易解释。但不论是正交旋转还是斜交旋转，都应当使新的因子载荷系数要么尽可能地接近与零，要么尽可能地远离零。因子得分：因子得分就是公共因子在每一个样品点上的得分。根据因子得分我们可以知道那个城市的经济发展水平要高，那个城市的经济发展水平要底。2.2 方差分析方差分析的
13、基本思想是根据研究目的和设计类型，将总变异中的离均差平方和SS及其自由度分别分解成相应的若干部分，然后求各相应部分的变异；再用各部分的变异与组内（或误差）变异进行比较，得出统计量F值；最后根据F值的大小确定P值，作出统计推断方差分析的检验假设H0 为各样本来自均数相等的总体，H1 为各总体均数不等或不全相等。若不拒绝H0 时，可认为各样本均数间的差异是由于抽样误差所致，而不是由于处理因素的作用所致。理论上，此时的组间变异与组内变异应相等，两者的比值即统计量F为 1；由于存在抽样误差，两者往往不恰好相等，但相差不会太大，统计量F应接近于 1。若拒绝H0，接受H1 时，可认为各样本均数间的差异，不
14、仅是由抽样误差所致，还有处理因素的作用。此时的组间变异远大于组内变异，两者的比值即统计量F明显大于 1。在实际应用中，当统计量F值远大于 1 且大于某界值时，拒绝H0，接受H1，即意味着各样本均数间的差异，武汉理工大学多元统计分析课程设计论文第5页不仅是由抽样误差所致，还有处理因素的作用方差分析的用途两个或多个样本均数间的比较；分析两个或多个因素间的交互作用；回归方程的线性假设检验；多元线性回归分析中偏回归系数的假设检验；两样本的方差齐性检验等。3 问题分析我们给出 2003 年湖北省 12 个城市的主要经济指标，借助这些指标体系对湖北省 12 个城市的经济差异作出分析。然后以武汉为中心，根据
15、地理位置将这12个城市划分为四个地区：武汉以东的地区（黄石、鄂州、黄冈）、武汉以南的地区（孝感、荆州）、武汉以西的地区（宜昌、荆门、随州）、武汉以北的地区（十堰、襄樊、咸宁），用方差分析对这四个地区的经济进行分析比较。4 数据处理过程下表给出的是 2003 年湖北省 12 个城市的主要经济指标，为了得出它们的经济的差异，我用多元统计方法里面的因子分析和方差分析对这些数据进行处理。表 1 湖北省 12 个城市的经济指标武汉黄石十堰宜昌襄樊鄂州116621797136610014360052332767241456712570002804368506564653097407949473524231
16、177840836287568915902614874070224424398914137396123922682527125472013180425005134503292366133449381474692308076914523192474900152580977550216423602697305512238132997131398619375310813552742113492151786796364459664261545010232476610622821539418831570018467806336252936571116954682933784229110486932352
17、340712542.7929.6433.2667.3373.7634.32134273309305052228599238951453595324188814749861761811816930728101252401532476795761003110852316651320011220523284297877武汉理工大学多元统计分析课程设计论文第6页续表注：数据来源于2004 年中国统计年鉴其中 1地区生产总值（单位：万元）2地方财政一般预算内收入（单位：万元）3地方财政一般预算内支出（单位：万元）4当年合同外资金额（单位：万美元）5环境污染治理投资额（单位：万元）6工业总产值（单位：万元
18、）7建成区绿化覆盖面积（单位：公顷）8产品销售收入（单位：万元）9邮政业务总量（单位：万元）10固定资产投资完成额（单位：万元）11房地产开发投资完成额（单位：万元）12商品房屋销售面积（单位：万平方米）13全年新增固定资产（单位：万元）14全年供水总量（单位：万立方米）15年末实有铺装道路总面积（单位：万平方米）16园林绿地面积（单位：公顷）17工业废水排放总量（单位：万吨）18液化石油气供气总量（单位：吨）19高等学校学生数（单位：人）20各类专业技术人员（单位：万人）21医院、卫生院数（单位：个）1734577969638016933105412301188751626050692089
19、17218738116194905301723324185234992677031302044841364600399721139025127833120212623328464838荆门孝感荆州黄冈咸宁随州1147763855471510833273403603919001123200243007188904458920095288272862736852750342934555113746190633294189211915720720536210553339450077913084282968613838423707491026484177251285771114935872251175
20、4171183682824298138897835379794964620296227686111475959412629035421857336039991017619218001840607721352912770318652411348912588057039256658334258221214.7733.7225.0611.576.0620.1813155296177269319940793589912518652414691037639111346651004342155514947416023151116161940154915497625421593717539554415001
21、5242248015271828525598614700872040001100019211441952651133206001764617042026128186004470014600132002373221282320181942武汉理工大学多元统计分析课程设计论文第7页4.1 因子分析的结果由于经济指标太多，不利于我们进行问题的分析，因此我们需要对其进行降维处理。用 spss 软件可得到上述经济指标的相关系数矩阵，除了少数指标之间的相关性较低外，其他指标之间均有较强的相关性（全部大于 0.3），故可以做因子分析。表 2 相关系数矩阵aThis matrix is not positiv
22、e definite.续表12345678910Correlation11.000.934.912.676.132.738.859.597.817.6982.9341.000.978.767.121.583.739.434.799.8113.912.9781.000.783.065.519.723.364.773.8474.676.767.7831.000.417.267.519.181.419.9075.132.121.065.4171.000.103.085.051.258.0366.738.583.519.267.1031.000.702.973.642.2337.859.739.723
23、.519.085.7021.000.596.710.4908.597.434.364.181.051.973.5961.000.459.1509.817.799.773.419.258.642.710.4591.000.36610.698.811.847.907.036.233.490.150.3661.00011.827.868.881.652-.160.676.729.609.588.77212.852.875.903.649.080.560.717.417.758.73713.650.755.790.887.003.171.460.100.290.99214.610.539.509.22
24、5.404.623.337.484.784.15815.684.636.709.474-.078.368.756.229.582.52016.165-.022-.025-.114-.234.475.472.536.055-.10717.556.653.631.540.503.284.518.137.632.39218.450.340.284.194.457.287.482.163.505-.02819.126.285.335.176-.196.070.102.047.233.19520.772.836.857.982.322.395.592.305.505.93021.839.723.724.
25、543.164.555.750.410.690.5721112131415161718192021Correlatio1.827.852.650.610.684.165.556.450.126.772.8392.868.875.755.539.636-.022.653.340.285.836.7233.881.903.790.509.709-.025.631.284.335.857.7244.652.649.887.225.474-.114.540.194.176.982.5435-.160.080.003.404-.078-.234.503.457-.196.322.1646.676.560
26、.171.623.368.475.284.287.070.395.5557.729.717.460.337.756.472.518.482.102.592.7508.609.417.100.484.229.536.137.163.047.305.4109.588.758.290.784.582.055.632.505.233.505.69010.772.737.992.158.520-.107.392-.028.195.930.572111.000.826.718.331.587.186.477.093.435.759.545武汉理工大学多元统计分析课程设计论文第8页继续用 spss 软件得到
27、因子分析的结果，见下表：表 3 总方差解释解释表Total Variance ExplainedExtraction Method:Principal Component Analysis.从表中我们可以看到，当保留五个公共因子时，公共因子可以解释原始变量90.931%的方差，这样就把一个二十一维的问题降至五维。同时spss软件还给出了因子载荷矩阵，见下表：表4 因子分析的成分矩阵ComponentComponentComponentComponent Matrix(a)Matrix(a)Matrix(a)Matrix(a)n12.8261.000.684.610.638.022.611.12
28、6.148.733.77013.718.6841.000.073.482-.095.310-.076.136.903.55214.331.610.0731.000.260-.105.454.343-.068.313.59115.587.638.482.2601.000.478.357.265.023.522.78016.186.022-.095-.105.4781.000-.322-.112-.302-.065.34917.477.611.310.454.357-.3221.000.629.375.524.31918.093.126-.076.343.265-.112.6291.000.177
29、.192.24919.435.148.136-.068.023-.302.375.1771.000.229-.34720.759.733.903.313.522-.065.524.192.2291.000.60321.545.770.552.591.780.349.319.249-.347.6031.000ComponentInitial EigenvaluesExtraction Sums of SquaredLoadingsRotation Sums of SquaredLoadingsTotal%ofVarianceCumulative%Total%ofVarianceCumulativ
30、e%Total%ofVarianceCumulative%111.13553.02353.02311.13553.02353.0237.75136.91136.91122.86113.62566.6482.86113.62566.6483.90318.58855.49932.38611.36178.0092.38611.36178.0093.27615.60071.09941.5827.53485.5431.5827.53485.5432.51511.97883.07751.1315.38890.9311.1315.38890.9311.6497.85390.9316.9814.67295.6
31、037.3961.88697.4898.3031.44198.9309.144.68599.61510.081.385100.000114.02E-0161.91E-015100.000123.82E-0161.82E-015100.000132.71E-0161.29E-015100.000141.83E-0168.70E-016100.000151.27E-0166.04E-016100.000161.67E-0187.96E-018100.00017-1.68E-016-8.02E-016100.00018-2.44E-016-1.16E-015100.00019-2.84E-016-1
32、.35E-015100.00020-9.76E-016-4.65E-015100.00021-3.31E-015-1.57E-014100.000武汉理工大学多元统计分析课程设计论文第9页Undefined error#11401-Cannot open text file E:SPSSenwindowsspss.err:No such file or directa5 components extracted.由上表可以写出特殊因子忽略不计时的因子模型，以第一行为例，有：标准 化地 区生产 总值 0.967fac1+0.143 fac2+0.004fac3-0.002fac4+0.010fa
33、c5此时所得未旋转的公因子实际意义不好解释，对公因子进行方差最大化旋转，得到其旋转矩阵：表 5 旋转后因子成分矩阵RotatedRotatedRotatedRotated ComponentComponentComponentComponent Matrix(a)Matrix(a)Matrix(a)Matrix(a)Component123451.967.143.004-.002.0102.965-.117.030.085-.0143.964-.181-.028.094.0414.790-.469.005-.216-.0745.195-.020.710-.475-.1736.672.621-.
34、039.196-.3037.837.322-.095.027.3108.531.637-.137.231-.3899.806.277.326.093.06110.790-.527-.272-.098-.08911.876-.053-.278.353-.10012.909-.041-.044-.003-.09613.734-.554-.331-.148-.07714.571.373.455-.108-.36515.717.144-.265-.152.52516.123.677-.586-.113.21517.642-.159.603.132.18518.362.225.672.050.44119
35、.207-.329.154.862.10820.864-.384-.048-.121-.12021.805.254-.137-.460.087Component123451.668.520.358.334.0212.795.383.344.180.1533.835.311.309.216.190武汉理工大学多元统计分析课程设计论文第10页Undefined error#11401-Cannot open text file E:SPSSenwindowsspss.err:No such file or directUndefined error#11408-Cannot open text f
36、ile E:SPSSenwindowsspss.err:No such file or directaRotation converged in 10 iterations.从上表可以看到，旋转后因子载荷矩阵发生了很大的变化。第一个公共因子基本上反映了地区生产总值与其他行业的信息，大体可以解释为一个城市的综合经济实力以及经济发展的创新能力。第二个因子主要集中了第二产业的信息，可以解释为第二产业对经济的贡献。第三个因子也集中了第二产业的部分信息，但较第二因子而言，它对经济的贡献没第二因子重要。第四个公共因子主要集中了各地区公共支出的信息，可以解释为各地区公共支出对经济的影响。由于第五个公因子不好
37、解释，故我们在这不作解释。事实上，这与我们客观存在的事实是相符合的。对原始的二十一个指标提取共因子后，就可以通过分析少数几个公因子来对个城市进行比较研究了。利用 spss 软件可以得到各个城市的经济水平在五个公4.916.033.219-.028-.0805.102.061.623-.370-.5086.183.924.133.250.0307.448.419.357.632.0718.091.927-.032.201.0399.377.534.603.223.06910.993.031-.032.058.05511.725.496.014.245.38712.748.432.240.184.
38、03613.984-.031-.098.072.01614.192.682.485-.139-.25015.496.083.244.768-.01516-.165.347-.309.777-.17117.415.116.789-.066.20318-.049.081.884.183.07819.166.027.182-.169.91620.928.171.187.015-.01121.573.366.239.502-.424武汉理工大学多元统计分析课程设计论文第11页共因子上的得分，同时也可以得到各个城市的经济水平在五个公共因子上的秩的排序（由于武汉明显比其他城市的各项指标要高出很多，故武汉的
39、综合经济实力是最强的，所以我们在对各城市的经济水平进行综合排名时除去武汉，此举是实用可行的）。下表即给出了因子得分表以及各城市经济水平在各个公共因子上的排序和综合排名。由于我们只需要研究其综合经济实力，故各因子水平上的排名我们不作过多的说明。由下表我们可以得出这 11 个城市的综合经济实力从大到小的排名依次为宜昌、襄樊、黄石、荆州、十堰、鄂州、荆门、随州、孝感、黄冈、咸宁。表 6 因子得分表续表FAC1_1FAC2_1FAC3_1FAC4_1FAC5_1RFAC1_1黄石0.07473-0.088991.90908-0.77653-1.152323十堰-0.424332.15839-1.293
40、710.040570.526937宜昌2.84656-0.41248-0.650160.10302-0.045211襄樊0.433041.190781.510810.851650.553052鄂州-0.170040.90176-0.44378-1.07731-1.594075荆门-0.71969-0.232650.794790.362310.5075811孝感-0.3712-0.7971-0.29784-0.304130.128946荆州-0.09454-0.302630.186-0.203731.951814黄冈-0.47779-1.17413-0.42057-0.420540.377188
41、咸宁-0.5308-0.6258-0.71687-1.02574-0.110559随州-0.56594-0.61715-0.577732.45042-1.1433410RFAC2_1RFAC3_1RFAC4_1RFAC5_1yRy黄石419100.141183十堰11153-0.054395宜昌79471.385281襄樊22220.649122鄂州371111-0.160736荆门5334-0.276017孝感10576-0.357179荆州6461-0.009854黄冈11685-0.4781510咸宁910108-0.5297211随州8819-0.309558武汉理工大学多元统计分析课
42、程设计论文第12页4.2 方差分析结果接下来我们利用方差分析对我们题中的四个地区的经济进行分析，看各个地区的经济是否有显著性差异。用 spss 软件得到下面的多变量检验表：表 7 方差分析的多元检验表MultivariateMultivariateMultivariateMultivariate Tests(cTests(cTests(cTests(c)aExact statisticbThe statistic is an upper bound on F that yields a lower bound on the significance level.cDesign:Intercep
43、t+x0上表给出了几个统计量，由Sig.值可以看到，无论从哪个统计量来看，四个地区的经济没有显著性差异。由此可知，湖北除武汉以为各个地区发展是均衡的。接着用spss软件可以得到每个公共因子的分析结果，见下表，由表可以看到，五个公共因子的Sig.值分别为0.828，0.336，0.941，0.194及0.216，说明四个地区在五个公共因子上也没有显著性差别。表8 方差分析的组间效应检验表TestsTestsTestsTests ofofofof Between-SubjectsBetween-SubjectsBetween-SubjectsBetween-Subjects EffectsEffe
44、ctsEffectsEffectsEffectValueFHypothesis dfError dfSig.InterceptPillais Trace.018.011(a)5.0003.0001.000Wilks Lambda.982.011(a)5.0003.0001.000Hotellings Trace.019.011(a)5.0003.0001.000Roys Largest Root.019.011(a)5.0003.0001.000 x0Pillais Trace1.449.93415.00015.000.552Wilks Lambda.125.64915.0008.683.77
45、8Hotellings Trace3.191.35515.0005.000.945Roys Largest Root1.7341.734(b)5.0005.000.280SourceDependent VariableType III Sumof SquaresdfMeanSquareFSig.CorrectedModelREGR factor score1 for analysis 11.121(a)3.374.295.828REGR factor score2 for analysis 13.652(b)31.2171.342.336REGR factor score3 for analy
46、sis 1.516(c)3.172.127.941REGR factor score4 for analysis 14.693(d)31.5642.063.194REGR factor score5 for analysis 14.504(e)31.5011.912.216武汉理工大学多元统计分析课程设计论文第13页InterceptREGR factor score1 for analysis 1.0041.004.003.957REGR factor score2 for analysis 1.0221.022.025.880REGR factor score3 for analysis
47、1.0001.000.000.990REGR factor score4 for analysis 1.0051.005.006.939REGR factor score5 for analysis 1.0801.080.102.759x0REGR factor score1 for analysis 11.1213.374.295.828REGR factor score2 for analysis 13.65231.2171.342.336REGR factor score3 for analysis 1.5163.172.127.941REGR factor score4 for ana
48、lysis 14.69331.5642.063.194REGR factor score5 for analysis 14.50431.5011.912.216ErrorREGR factor score1 for analysis 18.87971.268REGR factor score2 for analysis 16.3487.907REGR factor score3 for analysis 19.48471.355REGR factor score4 for analysis 15.3077.758REGR factor score5 for analysis 15.4967.7
49、85TotalREGR factor score1 for analysis 110.00011REGR factor score2 for analysis 110.00011REGR factor score3 for analysis 110.00011REGR factor score4 for analysis 110.00011REGR factor score5 for analysis 110.00011CorrectedTotalREGR factor score1 for analysis 110.00010REGR factor score2 for analysis 1
50、10.00010武汉理工大学多元统计分析课程设计论文第14页aR Squared=.112(Adjusted R Squared=-.268)bR Squared=.365(Adjusted R Squared=.093)cR Squared=.052(Adjusted R Squared=-.355)dR Squared=.469(Adjusted R Squared=.242)eR Squared=.450(Adjusted R Squared=.215)5 总结及建议由因子分析的数据处理过程我们可以看到，湖北省主要的12个城市的综合经济实力是有差别的，武汉市具有雄厚的经济实力，作为特大城