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1、第卷第期系统：程理论与实践年月文章编号：中图分类号：文献标志码：供应链中耐用 品的广告投人和零售价策略分析熊新生赵勇华中科技大学自动化学院系统科学与工程系，武汉摘要针对供应链中制造商 和零售商关于耐用商品的合作广告和零售价定价问题，本文构建了一个微分博弈 模型将市场累计销售量作为状态变量，并把广告和价格因素引入到市场累计销售量的动态方程中运用汉密尔顿雅可比贝尔曼方程，分别得到了零售商的最优定价和广告投入策 略以及制造商对零售商广告成本的最优分担比例；发现零售商的最优定价和制造商的分担比例均为常数，而零售商的广告投入随市 场累计销售量的增加而递减；并且给出了制造商对零售商进行广告补贴的阈值最后，
2、给出了各厂商决策变量的比较 静态分析关键词微分博弈；广告投入零售价格；反馈纳什均衡引言广告是一种诱导消费者对相关产品和服务采取一些行动的常见工具企业为推广产品、树立品牌和应对竞争，会投入大量资金用于设计和发布广告由于广告对消费者的购买行为会产生显著的影响，故企业为了增加消费者对其产品的消费，应该对产品进行广告投入对于企业而言，一个合适的广告投入能够促进产品的销售和提高企业的利润因此现代企业都非常重视进行产品的广告宣传以及品牌推介目前对于企业广告投入策略的研究吸引 了众多学者，其研究一般集中在双寡头企业和垄断企业等情形下企业之间的广告竞争，但是很少有文献研究供应链中厂商之间的合作广告问题供应链中
3、渠道协调问题一直是学术界研究的热点，其研究内容基本上局限于以价格为基础的协调机制，然而作为一种重要协调机制纵向合作广告则很少涉及纵向合作广告是制造商为宣传其品牌的零售商提供广告支持，为其分担一定比例的广告费用，其实质是供应链系统中制造商和零售商所实施的纵向一体化的市场经营组织模式纵向合作广告被绝大多数行业所采用，它在许多公司 的营销战略中扮演了极为重收稿日期资助项目：国家自然科学基金作者简介：熊新生（男，汉，湖南桃江人，讲师，博士研究生，研究方向：决策理论与方法，赵勇男，汉，湖北天门人，教授，博士生导师，研究方向：决策理论与方法，：1426系统工程理论与实践第卷要的角色，是许多制造商财务预算中
4、的重要部分，制造商投入到地方性广告中的费用能达到整个合作费用的据估计在年美国公司大约花费亿美元在合作广告上而这个数字在年则翻了将近四番，达到了极为惊人的亿美元因此研究制造商与零售商之间合作广告的协作和有效交易具有重要的理论和实践意义大多数合作广告问题的研究都是从理论化的视角出发，建立相关数学模型以及运用博弈论方法来分析合作广告问题其中合作广告模型可以分为两类：静态模型和动态模型；由于广告、销售量以及合作都是动态的，故在动态架构下研究合作广告问题更加贴近现实文献被认为是供应链中动态合作广告研究的开创性论文，文中研究了一个两级供应链中的广告策略问题，得到了两个公司在合作与不合作下的广告投入策略 但
5、是文中的模型中只考虑了广告投入这一控制变量然而在现实生活中供销渠道中的成员可以通过广告投入和价格促销来提高自己的销售量和利润因此，许多学者对文献进行了扩展，其中研究了供应链中的合作广告和定价决策问题，其中制造商首先决定批发价和广告补贴比率，然后零售商决定零售价和广告投入得到了制造商和零售商的最优定价和广告投入策略等对的研究进行了扩展，分别考虑了制造商对供应链中其中一个和对两个存在竞争的零售商进行合作的广告问题在以上这些文献的广告投入模型中，动态方程中只考虑了广告投入对市场累计销售量（市场份额）的影响，而实际上市场累计销售量还会受到零售价的影响目前在研究供应链中厂商之间的合作广告问题时，一般是考
6、虑市场累计销售量对零售价的影响，而很少有文献在其市场累计销售量的动态方程中同时考虑广告投入和零售价对市场累计销售量的影响在双寡头垄断市场下，考虑了两寡头的广告竞争问题，在其广告投入模型中市场份额的动态方程同时考虑广告投入和零售价对市场份额的影响得到了两寡头在竞争情形下的广告投入和定价策略受文献的启发本文考虑含一个供应商和一个零售商的合作广告投入问题，其市场累计销售量受零售商的广告投入和零售价的共同影响将考虑供应链中制造商对零售商的广告成本分担比例和零售商的广告投入和定价策略问题，主要探讨以下几个问题：在销售渠道中，制造商最优广告分担比例零售商最优零售价和最优广告投入当供应链中各参数发生变化时，
7、对制造商的广告分担比例、零售商的最优定价、最优广告投入以及两厂商的最优利润有何影响模型描述本文考虑只含一个制造商和一个零售商的供应链中厂商之间的合作广告和零售价定价问题制造商的新产品通过零售商销售，其产品为耐用品零售商的销售量受广告投入和零售价影响零售商决定广告的投入和零售价，制造商为了激励零售商投入更多的广告，为零售商提供广告补贴，与零售商进行合作广告，决策关系如图所示设零售商的广告投入为制造商决定承担零售商广告支出的比例为若供应链中总广告成本为则制造商和零售商的广告成本函数分别为制造商零 售商“，户市场销售量图制造商和零售商的层决策关系在市场竞争中，价格和广告投入都会对市场累计销量产生影响
8、价格与广告投入策略的综合运用，有助于实现市场累计销量的提升等考虑了如下市场累积销售量的动态模型：彳其中，为市场累计销量为零售商的广告影响系数；为需求函数满足本文考虑含一个供应商和一个零售商的合作广告投入问题，其市场累计销售量受零售商的广告投入和零售价的共同影响，其动态方程满足式本文考虑的供应链中的两个成员具有相同且为正值的贴现率零售商的决策变量为广告投入和零售价，其目标是在无限时域内寻求使其利 润最大化的最优广告投入和定价策略零售商的目标函数为其中士为时刻的市场销售量为批发价本文假定批发价格固定第期熊新生等：供应链中耐用品 的广告投入和零售价策略分析从制造商角度看，制造商采用广告合作策略可以激
9、励零售商增加广告投入，从而达到增加市场销 售量的目的故制造商的决策变量为制造商承担零售商广告投入的分担比例，其目标是在无限时域内寻找使其利润最大化的最优广告分担比例，制造商的目标函数为以上两个目标函数的约束条件均为式由于等，通过实证研究表明反馈控制策略所得到的解与实证数据拟合效果比开环解要好，又由于反馈控制策略对于局部对策也是最优的，故本文将研究模型的反馈控制 策略（即反馈均衡均衡文本考虑线性需求函数，即其中常数为需求截距，常数为价格敏感系数；并且假设广告支出为广告成本系数并且把制造商和零售商之间的关系建立为制造商作为领导者而零售商作为追随者的博弈模型博弈顺序如下：第一阶段，制造商预见到零售商
10、反应，设定最优策略广告分担比例，最大化自己的收益第二阶段，在制造商设定的广告分担比例 下，零售商决定相应广告投入和零售价，最大化自己的收益用上标表示博弈下的最优值下面将分析均衡：由于该博弈为完全信息动态博弈，故制造商在选择自己的策略时，可以预先考虑自己的选择对零售商选择的影响并采取相应的对策因此可以采用逆向归纳法来求解博弈根据逆向归纳法，先求零售商的反应函数，其决策变量为零售价和广告投入其目标是利润最大化，故可以转化为以下最优控制问题其中值函数吻）经济学含义为初始市场销售量为时，零售商的最优累计利润现值最优利润函数必须满足汉密尔顿雅克比贝尔曼方程且存在一阶导数，其方程为，乜对上式右端关于和求最
11、大值，由一阶必要条件有其中下面分造商，制造商的决策变量为分担比例，其目标是利润最大化，制造商最优广告策略转化为以下最优控制问题最优利润函数必须满足且存在一阶导数其方程为对上式右端关于求最大值，利用一阶必要条件和（，两式有其中由的定义知，因此为了证明策略（，和（是反馈均衡，需要证明存在两个连续可微的函数和满足方程和（根据文献中的经验假设值函数分别为如下形式和1428系统工程理论与实践第卷其中和为待定常数将二工）和两式代入和（可得一由于，故二“，七将上两式代入（和（式得到二再将上两式及式代入和（两式有由上面的分析可以得到下面命题：命题在主从博弃情形下零售商的最优定价策略为零售商的最优广告策略为；制
12、造商的最优分担比例为其中，制造商和零售商的值函数中的参数满足下面两个代数方程，由命题可知，最优零售价为常数，与市场累计销量无关广告投入与成正比，即广告支出费用与潜在市场销量成正比当潜在的市场累计销量越大时此时零售商广告投入越大反之，零售商广告投入越小这是因为当零售商拥有比较大的市场份额时，广告的投入对市场份额的增加影响不大，即投入广告的效率不高而当市场份额比较小时，投入广告所增加的市场份额相对较高而在实际生活当中处于市场导入期或市场份额较低时，因为需要从竞争对手手中或者市场销售中提高市场份额，所以需要投入比较大的广告费用，这一事实与命题第条中结论相吻合当时零售商的广告投入随着的增加而增加，因此
13、制造商广告分担比例的提高能激励零售商的广告投入由命题第条可知，制造商的最优广告分担比例为一常数，与时间和市场销售量无关因为它不要求制造商时刻监视市场销售量，故从制造商角度来看，这种策略是很容易实施的制造商的广告补贴阈值并不是所有的供应链中制造商都会对零售商的广告进行补贴，那么在什么样的情况下制造商会对零售商进行广告补贴？下面将分析供应链中模型参数满足什么条件时，制造商才会对零售商进行广告投入补贴因为值函数和需求函数均不小于零，故有和如将代入中，可得由于（式左端和右端第一项均为正，故有由可得当时，当时，由上面的分析可以得到以下命题命题制造商进行合作广告的阈值二其中，是一元四次方程二的唯一正解只有
14、当时，制造商才会对零售的广告投入进行补贴证明令二，代入和（式，可得一工由（可得如由上两式可得又因为当日寸，制造商才会对零售商进行补贴，故将代入上式可得下面说明存在唯一解令有，和，且所以有唯一的正解第期熊新生，等：供应链中耐用 品的广告投入和零售价策略分析比较静态分析本小节将对以上均衡结果进行讨论和分析，分析的重点集中在模型参数对均衡的影响，以期获得一些管理启示以下分两种情况进行讨论零售商决策变量的静态比较分析在制造商的最优策 略是零售商的最优策略分别为，下面分析不同参数选择对零售商最优定价和广告投入策略及其利润的影响命题当制造商的广告投入策略时，以下结论成立赘暫瞀，脊和繫蔷齧，酱，盔，餐和蝥齧
15、蝥蘩，盔举和蘩由隐函数定理很容易得到上面结论这意味着，当需求截距和广告影响系数越大时，零售商的利润越高而价格敏感系数、广告成本系数、批发价和贴现率越大时，零售商的利润越低当需求截距、广告影响系数越大和批发价越高时零售价就越高而价格敏感系数、广告成本系数和贴现率越大时，零售价就越低当需求截距、贴现率和广告影响系数越大时零售商的广告投入就会越高而价格敏感系数、广告成本系数越大和批发价越高时，零售商进行广告投入的意愿度就越低以上分析结果都符合企业实际时，各厂商决策变量的比较静态分析当 阈值时，此时制造商的广告补贴比例，将代入和式，可以得到和式由于代数方程（比较复杂很难得到解析解，不过利用等数学软件不
16、难求得其数值解，从而可以得到制造商的最优广告分担比例和零售商的最优定价和最优广告投入策略的数值解下面将利用软件给出一个数值算例，并分析不同参数选择对零售商最优定价和广告投入策略制造商的广告投入策略以及两厂商利润的影响给定相关参数的具体值如下：基础参数设为二，二，在进行比较静态分析时，各参数的取值范围，通过数值分析，得到制造商和零售商的决策变量和利润函数的比较静态分析，如表所示表当时，在上面给定的模型参数值和取值范围 内，由表可以得到以下性质：比较静态分析性质制造商对零售商的广告分担比例随着需求截距和广告影响系数的增加而减少，随着价格敏感系数、广告成本系数、贴现率和批发价的增加而增加性质反映了
17、当批发价切越高时，制造商对零售商的广告分担比例就越大这说明当批发价越高时零售商的利润就会越低此时零售商于广告投入的积极性不高制造商为了增加销售量，激励零售商对产品广告的投入需要提高对零售商广告分担比例反之亦然当需求截距注：增加（减少（刁越大时说明此时的市场需求越大，从而市场销量越大此时零售商的利润较大对广告的投入积极性也很高因此制造商的广告分担比例可以降低当价格敏感系数越大时，制造商对零售商的分担越高，这是因为在同一价格水平下价格敏感系数越大时消费者的需求就越小，为了增大产品的销售量此时制造商需要增大对零售商的广告分担比例来促使其增大广告的投入力度性质零售价随着价格敏感度、广告成本系数和贴现率
18、的增加而减少随着批发价需求截距和广告影响系数的增加而增加性质揭示了，当需求栏截越大时，此时市场对产品的需求就会很大，适当地提高零售价能够增加零售商的利润，当价格敏感度越大时，情况刚好相反；由前面分析可知当批发价越高时，制造商会提高对零售商的广告分担比例，此时零售商可以适当提高零售价来追求最大利润当广告成本系数越大时此时零售商会减少广告投入，转而采用价格这个工具来提高市场的销售量，此时的零售价会降低性质在给定市场累计销售量工时，零售商的广告投入随着价格敏感度和广告成本系数的增加而减少；随着需求截距和贴现率、批发价和广告影响系数的增 加而增加14 30系统工程理论与实践第卷性质揭示了，当市场需求截
19、距增大时，消费者的需求就会增加，由表可知零售商的利润会增加，此揮售商有进行更多广告投入的动力同理，价格敏感系数越大，零售商的利润会减少此时零售商的广告投入会减少当广告影响系数增大时，一单位的广告投入对销售量的影响会越大，故零售商有进行更多广告投入的动力当广告成本系数增大时，由于零售商的广告成本会增加从而零售商会减少广告投入这些情况下零售商的广告投入与命题中的结果是一致的；当批发价增大时，此时虽然零售商的利润会减少，但是零售商此时仍然会增加广告的投入这是因为制造商为了扩大市场销售量会增加对零售商广告的支持力度，激励零售商增大广告投入这与命题的结论刚好相反结论目前研究商业和经济领域中的动态广告问题
20、一般采用的方法是优化控制和微分博弈根据不同的广告问题，现有的动态广告的文献中给出了许多不同数学形式的连续动态优化模型和微分博弈模型虽然有很多文献在动态广告模型中考虑了价格因素，但是在考虑市场累计销售量的动态方程时，只考虑了广告投入对其的影响，很少有文献同时考虑广告投入和价格对市场销售量的影响本文考虑了供应链中最优定价和广告投入问题，得到了制造商的最优补贴策略和零售商的最优定价及最优广告投入策略，给出 了制造商的广告补贴阈值除此之外，我们还得到了以下一些结论：零售商的最优定价为 常数，与市场销售量和时间无关而零售商的广告投入随着市场累计销量增加而减少制造商的最优广告分担比例为常数，但广告制造商承担的广告费用是随着市场累计销量增加而减少的；在供应链中，不是在所有的情况下制造商都会采用合作广告，对零售商的广告投入进行补贴制造商决定对零售商进行广告投入的阈值与模型参数有关在制造商不对零售商进行补贴时，枇发价越高，零售商的广告投入就越少而制造商对零售商进行广告补贴时，批发价越高，零售商的广告投入可能越多本文可以从以下几个方面进行扩展：在供应链中同时考虑批发价和零售价的最优定价考虑供应链外存在零售商竞争下的厂商之间的广告合作和最优定价参考文献付强，曾顺秋纵向合作广告的微分对策模型研究系统工程理论与实践，：，：