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1、精品课程数学分析课外训练方案 第十三章 函数列与函数项级数 第十三章 函数列与函数项级数 一、基本概念一、基本概念 1、函数序列的一致收敛性概念 设函数列与函数定义在同一个数集上，若对任意的正数nffD，综存在一个正整数，使得当时，对一切NNn Dx，都有)()(xfxfn 则称函数列在上一致收敛于。记做 nfDf)()(xfxfn)(n，。Dx2、函数级数的一致收敛性概念 设是定义在数集)(xunE上的一个函数列，记，若=nknnxuxS1)()(对)()(,xSxSDxNnNn，都有当，则称函数项级数在=1)()(knxuxSE一致收敛。3、一致收敛判别法 定理定理 1（柯西一致收敛准则）
2、+=)()()(,0)(211xaxaxaxpNnNxapnnnnn当一致收敛 定理定理 2 (狄利克雷判别法)的部分和一致有界，单调趋于 0，则)(1xann=)(xSn)(xvn)()(1xvxannn=一致收敛。4、一致收敛函数列于函数项级数的性质 定理定理 3 设函数列在上一致收敛于，且对每个n，则和均存在且相等。nf),(),(00bxxa)(xfnnxxaxf=)(lim0nnalim)(lim0 xfxx定理定理 4（连续性）若函数列在区间nfI上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数在fI上也连续。定理定理 5（可积性）若函数列在区间上一致收敛，且每一项都连续，则 nf,ba
3、1精品课程数学分析课外训练方案 dxxfdxxfbannnba n)(lim)(lim=定理定理 6（可微性）设为定义在区间上的函数列，若nf,ba,0bax 为的收敛点，的每一项在又连续的导函数，且 nfnf,banf在上一致收敛，则,ba)(lim)(lim(xfdxdxfdxdnnnn=二、基本方法二、基本方法 1、用柯西熟练准则、M-判别法、阿贝尔和狄利克雷判别法判断函数列和函数项级 的一致收敛性。2、用可积性、可微性等定理计算某些函数项级数的和。3、用逐项求积、逐项求导定理计算某些函数项级数。三、基本要求三、基本要求 1 掌握函数列和函数项级数的一致收敛概念。2 用柯西熟练准则、M-
4、判别法、阿贝尔和狄利克雷判别法判断函数列和函数项级数的 一致收敛性。3用可积性、可微性等定理计算某些函数项级数的和。4用逐项求积、逐项求导定理计算某些函数项级数。四、典型例题四、典型例题 例例 1 函数列)1ln(21)(22xnnxfn+=，,2,1L=n与22/1)(xnnxxfn+=，在上都收敛于 0，由于,2,1L=n 1,021)()(maxlim/1,0=xfxfnxn，所以导函数列在不一致收敛，但有)(/xfn 1,0/)(lim0)(limxfxfnnnn=。例例 2 函数项级数+1)()1(nnnnnx在上一致收敛。因为记 1,0nxunn)1()(=，nnnxxv)1()(
5、+=时，有阿贝尔判别法就能得到结果。例例 3+)1(1nxnxnn-1,1上一致收敛。（证略）例例 4（1）!nxn 在上收敛。（2）,ba2x41x 在 R 上一致收敛 证：略。2精品课程数学分析课外训练方案 五、自测题五、自测题 1 设()nfx(1,2,n)=在,上有界，并且(a b)nfx在,上一致收敛，求证：a b()nfx在,上一致有界。a b2设定义于，令()f x(,)a b()()nnf xfxn=(1,2,n)=.求证：()nfx在(,上一致收敛于。)a b()f x3设在内有连续的导数()f x(,)a b()fx，且1()()(),nfxn f xf xn=+求证：在闭
6、区间,()ab可在积分号下取极限？6证明序列2()nxnfxnxe=(1,2,n)=在闭区间0上收敛，但,11100lim()lim().nnnnfx dxfx dx 7设()nfx(1,2,n)=在一致连续，且(,+)nfx在(,)+一致收敛于。求证：在上一致连续。()f x()f x(,+)8设()nfx是,上的连续函数列，且(a b)nfx在,一致收敛于；a b()f x又,nxa b(1,2,n=)，满足0limnnxx=，求证 0lim()().nnnfxf x=9 设()nfx在内 一 致 收 敛 于，(,)a b()f x0(,)xa b且0lim(),nnxxfxa=。证明：和
7、(1,2,n=)limnna0lim()xxf x存在且相等，即00lim lim()lim lim()nnnxxxx nfxf=x.10设()nfx(1,2,n=)在,黎曼可积，且(a b)nfx在,一致收敛于，a b()f x证明：在,黎曼可积。()f xa b11求出下列函数项级数的收敛区域（绝对的和条件的）：3精品课程数学分析课外训练方案 21;1nnnxx=+1;1 21nnnxnx=+1(1)1;21 1nnnxnx=+22111.1nna xn=+12按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性：0(1),0,1;nnx xx=1221(1),(,)(1)nnnxxx=+.13讨论下列函
8、数项级数的一致收敛性：3441sin,(,);nnxxnx=+421,(,);1nxxn x=+221(1)(1),0,);nnxnexnx=+1sin,(2,)2nnnxxx=+;14讨论下列函数项级数的一致收敛性：2212cos3,(,);nnxnx=+1sin sin,0,2;nxnxxnx=+1(1),(1,)nnxxn=+;1(1),(,);sinnnxnx=+15证明级数1211(1)nnnx=+关于在x(,)+上为一致收敛，但对任何并非绝对收敛；而级数x221(1)nnxx=+虽在(,x)+上绝对收敛，但并不一致收敛。4精品课程数学分析课外训练方案 16设每一项()nx都是,上的单调函数，如果a b()nx在,的端点为绝对收敛，那么这级数在,上一致收敛。a ba b17若的一般项|1()nnux=()|(),nnuxcxxX并且在1()nncx=X上一致收敛，证明在1()nnux=X上也一致收敛且绝对收敛。18求证31sin()nnxf xn=在(,)+内连续，并有连续导函数。19设21(),1nxnef xn=+求证：在上连续；在内无穷次可微。()f x0 x()f x0 x 5