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1、 椭圆与双曲线常见题型归纳一. “曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解1.向量综合型例1.在直角坐标系中，点到两点的距离之和为4，设点的轨迹为,直线与交于两点。（）写出的方程; （）若，求的值。例1. 解:（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴，故曲线C的方程为（）设，其坐标满足 消去y并整理得，故若，即而，于是，化简得，所以例2设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围例2解：（）解法一：易知所以，设
2、，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或例3 设、分别是椭圆的左、右焦点，（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）若C为椭圆上异于B一点，且，求的值；（）设P是该椭圆上的一个动点，求的周长的最大值. 例3解：（）易知，所以,设,则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 （）设C（）， 由得，又 所以有解得 （）因为|P|PB|4|PF2|PB|4|BF2|周长4|BF2|B|8
3、所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，周长最大，最大值为8例4已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(1) 求双曲线C的方程；(2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。例4解：（）设双曲线方程为 由已知得故双曲线C的方程为（）将 由直线l与双曲线交于不同的两点得即 设，则而于是 由、得 故k的取值范围为例5已知椭圆（ab0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线ykx2（k0）与椭圆交于C、D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理
4、由例5解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab0依题意解得椭圆方程为4分（2）假若存在这样的k值，由得设，、，则8分而要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CEDE时，则，即10分将式代入整理解得经验证，使成立综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E13分2“中点弦型”例6.已知椭圆，试确定的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线对称。例6.解：设，的中点，而相减得即，而在椭圆内部，则即例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，焦距为（I）求该双曲线方程.（II）是否定存在过点，）的直线与该双曲线交于，两点，且点是线段 的中点？若存在，请求出直线的方程，若不存在，说明理
5、由.例7.（1）（2）设，直线：，代入方程得 （） 则，解得 ，此时方程为， 方程没有实数根。所以直线不存在。例8已知椭圆的中心在原点，焦点为F1，F2（0，），且离心率。 （I）求椭圆的方程； （II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围。例8解：（I）设椭圆方程为 解得 a=3，所以b=1，故所求方程为 4分 （II）设直线l的方程为代入椭圆方程整理得 5分 由题意得 7分 解得 又直线l与坐标轴不平行 故直线l倾斜角的取值范围是 12分3“弦长型”例9直线ykxb与椭圆交于A、B两点，记AOB的面积为S (I)求在k0，0
6、b1的条件下，S的最大值； （)当AB2，S1时，求直线AB的方程例9(I)解：设点A的坐标为(，点B的坐标为，由，解得所以当且仅当时，S取到最大值1（）解：由得AB 又因为O到AB的距离所以代入并整理，得解得，代入式检验，0 故直线AB的方程是 或或或例10已知向量 =（0，x），=（1，1）， =（x，0），=（y2，1）（其中x，y是实数），又设向量= +，=，且/，点P（x，y）的轨迹为曲线C.（）求曲线C的方程；（）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程.例10解：（I）由已知， 4分 5分 即所求曲线的方程是：7分（）由解得x1=0, x2=分别为M，N的横坐
7、标）.9分由 11分所以直线l的方程xy+1=0或x+y1=0.12分二“基本性质型”例11设双曲线的方程为，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线上的任一点，引，AQ与BQ相交于点Q。（1）求Q点的轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹为，、的离心率分别为、，当时，求的取值范围。例11. 解：（1）设，化简得：，经检验，点不合题意，点Q的轨迹方程为（2） 由（1）得的方程为，。例12P为椭圆上一点，、为左右焦点，若（1）求的面积；（2）求P点的坐标例12解析：a5，b3c4 （1）设，则 ，由2得 （2）设P，由得 4，将 代入椭圆方程解得，或或或例13已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程(12分)例13 解析：由椭圆 设双曲线方程为，则 故所求双曲线方程为例14.代表实数，讨论方程所表示的曲线.例14 .解：当时，曲线为焦点在轴的双曲线；当时，曲线为两条平行的垂直于轴的直线；当时，曲线为焦点在轴的椭圆；当时，曲线为一个圆；当时，曲线为焦点在轴的椭圆。