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1、1概率论与数理统计第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念2样本空间、随机事件样本空间、随机事件1事件间的关系 则称事件 B 包含事件 A，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生 BA 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅Bxxx 或ABA当 A，B 中至少有一个发生时，事件发生BA 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当Bxxx 且ABAA，B 同时发生时，事件发生BA 称为事件 A 与事件 B 的差事件，指当且仅Bxxx 且ABA当 A 发生、B 不发生时，事件发生BA ，则称事件 A 与 B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事 BA件 B 不能同时发生，基本事件是两
2、两互不相容的 ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件且S BA BAA 与事件 B 互为对立事件2运算规则 交换律 ABBAABBA 结合律)()()()(CBACBACBACBA分配律 )()B(CAACBA）（)()(CABACBA徳摩根律BABAABA B 3频率与概率频率与概率定义 在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数称为An事件 A 发生的频数频数，比值称为事件 A 发生的频率频率nnA概率：概率：设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1概率满足下列条件：)(AP（
3、1）非负性非负性：对于每一个事件 A 1)(0AP（2）规范性规范性：对于必然事件 S 1)S(P2（3）可列可加性可列可加性：设是两两互不相容的事件，有nAAA,21（可以取）nkknkkAPAP11)()(n2概率的一些重要性质：（i）0)(P（ii）若是两两互不相容的事件，则有（可以取）nAAA,21nkknkkAPAP11)()(n（iii）设 A，B 是两个事件若，则，BA)()()(APBPABP)A()B(PP（iv）对于任意事件 A，1)(AP（v）（逆事件的概率）)(1)(APAP（vi）对于任意事件 A，B 有)()()()(ABPBPAPBAP4 等可能概型（古典概型）等
4、可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含 k 个基本事件，即，里21kiiieeeA个不同的数，则有中某，是，kkn2,1iii,21 中基本事件的总数包含的基本事件数S)(1jAnkePAPkji5条件概率条件概率（1）定义：设 A,B 是两个事件，且，称为事件 A 发生的0)(AP)()()|(APABPABP条件下事件 B 发生的条件概率条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件1。非负性：对于某一事件 B，有0)|(ABP 2。规范性：对于必然事件 S，1)|(ASP3 可列可加性：设是两两互不相容的事件，则有,
5、21BB311)()(iiiiABPABP（3）乘法定理 设，则有称为乘法公式0)(AP)|()()(BAPBPABP（4）全概率公式：niiiBAPBPAP1)|()()(贝叶斯公式：niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(6独立性独立性定义定义 设 A，B 是两事件，如果满足等式，则称事件 A,B 相互独)()()(BPAPABP立定理一 设 A，B 是两事件，且，若 A，B 相互独立，则0)(AP BPABP)|(定理二 若事件 A 和 B 相互独立，则下列各对事件也相互独立：A 与与，与，BABAB第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1 随机变量随
6、机变量定义 设随机试验的样本空间为是定义在样本空间 S 上的实值单值函X(e)X e.S数，称为随机变量X(e)X 2 离散性随机变量及其分布律离散性随机变量及其分布律1 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量满足如下两个条件（1），（2）=1kk)(pxXP0kp1kkP2 三种重要的离散型随机变量（1）分布(0 1)设随机变量 X 只能取 0 与 1 两个值，它的分布律是，则称 X 服从以 p 为参数的分布或)101,0kp-1p)k(k-1kpXP（，）（(0 1)两点分布。（2）伯努利实验、二项分布4 设实验 E 只有两个可
7、能结果：A 与，则称 E 为伯努利实验.设A，此时.将 E 独立重复的进行 n 次，则称这一串重复的1)p0pP(A)（p-1)AP(独立实验为 n 重伯努利实验。满足条件（1），（2）=1 注意n2,1,0kqpkn)kX(k-nk，P0kp1kkP到是二项式的展开式中出现的那一项，我们称随机变量 X 服从参数k-nkqpknnqp）（kp为 n，p 的二项分布。（3）泊松分布 设随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2，而取各个值的概率为 其中是常数，则称 X 服从参数为的泊松分布记,2,1,0,k!e)kX(-kkP0为）（X3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数定义 设 X 是一个
8、随机变量，x 是任意实数，函数 x-x,PX)x(F称为 X 的分布函数分布函数，具有以下性质(1)是一个不减函数 （2）)()(xXPxF)(xF （3）1)(,0)(1)(0FFxF，且是右连续的即)(),()0(xFxFxF4 连续性随机变量及其概率密度连续性随机变量及其概率密度 连续随机变量：如果对于随机变量 X 的分布函数 F（x），存在非负可积函数，使)(xf对于任意函数 x 有则称 x 为连续性随机变量，其中函数 f(x)称为 X,dttf)x(Fx-）（的概率密度函数，简称概率密度1 概率密度具有以下性质，满足（1）；)(xf1)(2),0)(-dxxfxf（3）；（4）若在点
9、 x 处连续，则有21)()(21xxdxxfxXxP)(xf)(F x，)(xf2,三种重要的连续型随机变量(1)均匀分布5若连续性随机变量 X 具有概率密度，则成 X 在区间(a,b)上服，其他，0aa-b1)(bxxf从均匀分布.记为），（baUX(2)指数分布若连续性随机变量 X 的概率密度为 其中为常数，则称，其他，00.e1)(x-xxf0X 服从参数为的指数分布。（3）正态分布若连续型随机变量 X 的概率密度为，）xexfx-21)(222(的正态分布或高斯分布，记为，服从参数为为常数，则称（，其中X)0），（2NX特别，当时称随机变量 X 服从标准正态分布10，5 随机变量的函
10、数的分布随机变量的函数的分布定理 设随机变量 X 具有概率密度又设函数处处可导且恒有,-)(xxxf，)(xg，则 Y=是连续型随机变量，其概率密度为0)(,xg)(Xg其他，0,)()()(,yyhyhfyfXY第三章第三章 多维随机变量多维随机变量1 二维随机变量二维随机变量定义 设 E 是一个随机试验，它的样本空间是和是定义在 SX(e)X e.SY(e)Y 上的随机变量，称为随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y）叫做二维随机X(e)X 变量设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数 x，y，二元函数称为二维随机变量（X，Y）的yYxPXy)(Yx)P(XyxF，记成），（分布函数如果二
11、维随机变量（X，Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称6（X，Y）是离散型的随机变量。我们称为二维离散型随机变量（X，Y）的，2,1ji)yY(ijjipxXP分布律。对于二维随机变量（X，Y）的分布函数，如果存在非负可积函数），（yxFf（x，y），使对于任意 x，y 有则称（X，Y）是连续性，），（），（y-x-dudvvufyxF的随机变量，函数 f（x，y）称为随机变量（X，Y）的概率密度，或称为随机变量 X 和 Y的联合概率密度。联合概率密度。22 边缘分布边缘分布二维随机变量（X，Y）作为一个整体，具有分布函数.而 X 和 Y 都是随），（yxF机变量，各自也有分布函数，
12、将他们分别记为，依次称为二维随机变量）（y),xFXYF（X，Y）关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数。边缘分布函数。，2,1ixPXp1jiijip，2,1jyPYp1iiij jp分别称为（X，Y）关于 X 和关于 Y 的边缘分布律。边缘分布律。ipjp 分别称，dyyxfxfX）,()(dxyxfyfY）,()()(xfX为 X，Y 关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度边缘概率密度。)(yfY3 条件分布条件分布定义 设（X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若,0jyYP则称为在条件下,2,1,ippyYPyYxXPyYxXPjijjjijijyY 随机变量 X 的条件分布律，
13、同样为在条件下随机变量 X,2,1,jppxXPyYxXPXXyYPiijijiijixX 的条件分布律。设二维离散型随机变量（X，Y）的概率密度为，（X，Y）关于 Y 的边缘概),(yxf率密度为，若对于固定的 y，0，则称为在 Y=y 的条件下 X 的条件)(yfY)(yfY)(),(yfyxfY概率密度，记为=)(yxfYX)(),(yfyxfY74 相互独立的随机变量 定义 设及，分别是二维离散型随机变量（X，Y）的分布），（yxF)(FxX)(FyY函数及边缘分布函数.若对于所有 x,y 有，即yPY,xXPyYxXP，则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的。(y)F(F,FYXxy
14、x对于二维正态随机变量（X，Y），X 和 Y 相互独立的充要条件是参数05 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布1，Z=X+Y 的分布 设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度.则 Z=X+Y 仍为连续性),(yxf随机变量，其概率密度为或dyyyzfzfYX）,()(dxxzxfzfYX）,()(又若 X 和 Y 相互独立，设（X，Y）关于 X，Y 的边缘密度分别为则)(),(yfxfYX 和这两个公式称为dyfyzfzfYXYXy)()(（）dxxzfxfzfYXYX)()(）的卷积公式卷积公式YXff,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布有限个相互独
15、立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布2，的分布的分布、XYZXYZ设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度，则),(yxfXYZXYZ，仍为连续性随机变量其概率密度分别为dxxzxfxzfXY),()(又若 X 和 Y 相互独立，设（X，Y）关于 X，Y 的边缘密度分别dxxzxfxzfXY),(1)(为则可化为 )(),(yfxfYXdxxzfxfzfYXXY)()()(dxxzfxfxzfYXY)()(1)(X3的分布及，,minNYXmaxYXM设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为由于)(),(yFxFYX不大于 z 等价于 X 和 Y 都不大于 z
16、故有YXmax，M8又由于 X 和 Y 相互独立，得到的分布函zYz,PXzPMYXmax，M数为)()()(maxzFzFzFYX的分布函数为,minNYX)(1)(11)(minzFzFzFYX第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1数学期望数学期望定义 设离散型随机变量离散型随机变量 X 的分布律为，k=1,2，若级数绝kkpxXP1kkkpx对收敛，则称级数的和为随机变量 X 的数学期望，记为，即1kkkpx)(XEikkpxXE)(设连续型随机变量连续型随机变量 X 的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积)(xfdxxxf)(分的值为随机变量 X 的数学期望，记为，即dxx
17、xf)()(XEdxxxfXE)()(定理 设 Y 是随机变量 X 的函数 Y=(g 是连续函数)(Xg（i）如果 X 是离散型随机变量离散型随机变量，它的分布律为，k=1,2，若kpXPxk绝对收敛则有kkkpxg1(）)Y(E)(XgEkkkpxg1(）（ii）如果 X 是连续型随机变量连续型随机变量，它的分概率密度为，若绝对收敛则)(xfdxxfxg)()(有)Y(E)(XgEdxxfxg)()(数学期望的几个重要性质1 设 C 是常数，则有CCE)(2 设 X 是随机变量，C 是常数，则有)()(XCECXE3 设 X,Y 是两个随机变量，则有；)()()(YEXEYXE4 设 X，Y
18、 是相互独立的随机变量，则有)()()(YEXEXYE2 方差方差9定义 设 X 是一个随机变量，若存在，则称为 X 的方)(2XEXE)(2XEXE差，记为 D（x）即 D（x）=，在应用上还引入量，记为，)(2XEXE)(xD)(x称为标准差或均方差。222)()()()(EXXEXEXEXD方差的几个重要性质1 设 C 是常数，则有,0)(CD2 设 X 是随机变量，C 是常数，则有，)(C)(2XDCXDD(X)(CXD3 设 X,Y 是两个随机变量，则有特别，若 X,Y 相互独立，则有E(Y)-E(X)(Y-2E(XD(Y)D(X)(YXD)()()(YDXDYXD4的充要条件是 X
19、 以概率 1 取常数，即0)(XDE(X)1)(XEXP切比雪夫不等式切比雪夫不等式：设随机变量 X 具有数学期望，则对于任意正数，不等式2)(XE成立22-XP33 协方差及相关系数协方差及相关系数定义 量称为随机变量 X 与 Y 的协方差为，即)()(YEYXEXE),(YXCov)()()()()(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov而称为随机变量 X 和 Y 的相关系数D(Y)D(X)YX(XY），Cov对于任意两个随机变量 X 和 Y，),(2)()()_(YXCovYDXDYXD协方差具有下述性质1),(),(),(),(YXabCovbYaXCovXYCovYXCov2)
20、,(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov定理 1 1XY 2 的充要条件是，存在常数 a,b 使1XY1bxaYP10当0 时，称 X 和 Y 不相关XY附：几种常用的概率分布表分布参数分布律或概率密度数学期望方差两点分布10 p，1,0,)1()1kppkXPkkp)1(pp二项式分布1n10 p，nkppCkXPknkkn,1,0,)1()(np)1(pnp泊松分布0,2,1,0,!)(kkekXPk几何分布10 p,2,1,)1()(1kppkXPkp121pp均匀分布ba，其他0,1)(bxaabxf2ba 12)(2ab 指数分布0其他,00,1)(xexfx2正态分
21、布0222)(21)(xexf2第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1 大数定律大数定律弱大数定理（辛欣大数定理）弱大数定理（辛欣大数定理）设 X1，X2是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并具有数学期望.作前 n 个变量的算术平均，则对于任意),2,1()(kXEknkkXn11，有011lim1nkknXnP定义 设是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数，有nYYY,21，则称序列依概率收敛于依概率收敛于 a，记为1limaYPnnnYYY,21aYpn11伯努利大数定理伯努利大数定理 设是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在
22、每次试Af验中发生的概率，则对于任意正数0，有或1limpnfPnn0limpnfPnn2 中心极限定理中心极限定理 定理一（独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理）设随机变量相互独立，服从同一nXXX,21分布，且具有数学期望和方差（k=1,2，），则随机变量之和2)(,)(kiXDXE，标准化变量nikX1nnXXDXEXYniknkknknkkkn1111)()(定理二（李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理）设随机变量相互独立，它们具有数学期nXXX,21望和方差记2,1,0)(,)(2kXDXEkkkknkknB122定理三（棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯定理拉普拉斯定理）设随机变量）10(,),2,1(ppnnn服从参数为的二项分布，则对任意，有 x)(21)1(lim22xdtexpnpnpPxtnn